线性代数在数学建模中的应用举例

线性代数在数学建模中的应用举例1基因间“距离”的表示在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。表1.1基因的相对频率爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1.0001.0001.0001.000问题一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。解有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记.由于对这四种群体的每一种有，所以我们得到.这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a1和a2之间的夹角记为θ，那么由于|a1|=|a2|=1，再由内只公式，得而故得°.按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人0°23.2°16.4°16.8°班图人23.2°0°9.8°20.4°英国人16.4°9.8°0°19.6°朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2Euler的四面体问题问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的.解建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,(a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为由立体几何知道，该四面体的体积V等于以向量组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V6的EQ\F(1,6).而于是得将上式平方，得根据向量的数量积的坐标表示，有于是（2.1）由余弦定理，可行同理将以上各式代入（2.1）式，得（2.2）这就是Euler的四面体体积公式.例一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l=10m,m=15m,n=12m,p=14m,q=13m,r=11m.则代入（2.1）式，得于是即花岗岩巨石的体积约为195m3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3动物数量的按年龄段预测问题问题某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为EQ\F(1,2)和EQ\F(1,4).假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数量（k=1，2，3；i=1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有于是我们得到递推关系式：用矩阵表示则其中则有结果分析15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注要知道很多年以后的情况，可通过研究式中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令是在时间周期k时第i个年龄组的（女性）人口，i=1,2,…,n.用1表示最低年龄组，用n表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第i个年龄组的成员将全部转移到i+1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减.于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：其中是在第i个年龄组在一个周期的存活率，因子可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程（3.1）这里是第i个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是或者简写成（3.2）矩阵称为Leslie矩阵.由（3.2）式递推可得这就是Leslie模型.4企业投入产生分析模型问题某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型设x1为煤矿本周内的总产值，x2为电厂本周的总产值，x3为铁路本周内的总产值，则（4.1）即即矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则方程组（4.1）为即，（4.2）其中矩阵E为单位矩阵，（E-A）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表设D=（1，1，1）C.矩阵B称为完全消耗矩阵，它与矩阵A一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D称为总投入向量，它的元素是矩阵C的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C，向量Y，X和D，可得投入产出分析表4.1.表4.1投入产出分析表单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿电厂铁路总投入计算求解按（4.2）式解方程组可得产出向量X，于是可计算矩阵C和向量D，计算结果如表4.2.表4.2投入产出计算结果单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿036505.9615581.5150000102087.48电厂25521.872808.152833.002500056163.02铁路25521.872808.150028330.02总投入51043.7442122.2718414.525交通流量的计算模型问题图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：系数矩阵为增广矩阵阶梯形最简形式为其对应的齐次方程组为取（x5,x8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量其对应的非齐次方程组为赋值给自由未知量（x5,x8）为（0,0）得非齐次方程组的特解于是方程组的通解其中k1，k2为任意常数，x的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6小行星的轨道模型问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1坐标数据x1x2x3x4x5X坐标5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5Y坐标0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为.问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x1,y1）,（x2,y2）,（x3,y3）,（x4,y4）,（x5,y5）.由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为.为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴和短半轴计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长.根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:所以,椭圆长半轴:;椭圆短半轴:;椭圆半焦矩:.计算求解首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵使用计算机可求得从而的特征值于是,椭圆长半轴,短半轴,半焦距.小行星近日点距和远日点距为最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7人口迁移的动态分析问题对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?解设开始时,令乡村人口为城镇人口为一年以后有乡村人口城镇人口或写成矩阵形式.两年以后,有.十年以后,有事实上,它给出了一个差分方程:.我们现在来解这个差分方程.首先年之后的分布(将对角化):这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态总人口仍是,与开始时一样,但在此极限中人口的在城镇,而在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地和也是非负的,从而和和等等也是这样.8常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因和控制.基因对是和的人,眼睛是棕色,基因对是的人,眼睛为蓝色.由于和都表示了同一外部特征,或认为基因支配,也可认为基因对于基因来说是隐性的(或称为显性基因,为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为,,.人们计划用型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?我们假设分别代表第代植物中,基因型为,和的植物占植物总数的百分率,令为第代植物的基因分布,表示植物基因型的初始分布,显然,我们有(8.1)先考虑第代中的型，第代型与型相结合，后代全部是型；第代的型与和与相结合，后代是型的可能性为；代的型与型相结合，后代不可能是型。因此，我们有（8.2）同理,我们有（8.3）（8.4）将(8.2),(8.3),(8.4)式相加,得（8.5）将(8.5)式递推,并利用