指数平滑法试验

指数平滑法实验实验目的：掌握用指数平滑法对时序的平滑过程并进行相关的预测。实验内容：指数平滑法知识准备：指数平滑法是另一种计算时间序列长期趋势的方法，是加权平均的一种特殊形式。指数平滑法是布朗(RobertG.Brown)所提出，是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，是最常用的一种预测方法，特别适用于中短期预测。1、单指数平滑法单指数平滑通常适用于不可预测的向上或向下趋势的预测。设观测序列小丁2,…,匕p为加权系数，其计算公式如下：TOC\o"1-5"\h\z£="+(1-a)£ (0<a<1) (43)t t t—1现对(43)式进行递推，则(43)式可写成：£=oX(1-a)i£ (44)t t-ii=0(44)式表明£是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为a，ta(1-a),a(1-a)2，…；由于加权系数呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱随机干扰的影响，所以(43)式称为指数平滑。根据实践经验，a的实际取值范围一般以0.1〜0.3之间为宜。如何进一步确定a的最佳取值，通常要结合理论分析和模型对比的方法来进行。单指数平滑的预测公式如下：TOC\o"1-5"\h\z人 人£T+k=£T (45)2、双指数平滑双指数平滑是对一次指数平滑的再平滑，当观测数据有清楚的趋势并可能包括未来向上运动预测的信息时采用此法预测。其表达式如下：a， 、，£ =2S-D+ (S-D)k(46)T+kTT1-aTT(46)其中，(47)D=aS+（1—a）D1 （48）其中：0<a<1,St是单指数平滑序列，2是二次指数平滑序列。双指数平滑的预测公式如下：另外，由于指数平滑公式是递推计算公式，所以必须确定初始值S0,D0。初始值实质上是序列起始点之前所有历史数据的加权平均值，但在实际工作中，由于获得历史数据多少的不同，往往采用经验方法来确定。因而可以通过在最初预测时，选择较高的a值来减少由初始值选择不当所造成的预测偏差，从而使预测模型调整到当前水平。Holt-Winters法也是指数平滑中的一种，它适用于对具有季节影响的线性增长趋势的序列进行预测。这种方法计算截距（常数项）、趋势系数（斜率）和季节影响的各个递推值。其可分为乘法、加法及无季节模型。3、Holt-Winters乘法模型这种方法适用于序列具有线性趋势和乘法季节变化。其利用三个方程，其中每一个方程式都用于平滑模型的三个组成部分（平稳的、趋势的、季节的），它包含三个参数（从0〜1）和一个追加的季节性方程式，其基础方程式如下：TOC\o"1-5"\h\zS=a工+(1—a)(S+b) (0<a<1) (49)tI t—1 t—1t—Lb=丫(Sss1)+(1—y)b1 (0<7<1) (50)I=P3+(1—P)I(0<隈1) (51)tS tLt式中，L为季节的长度(每年的月数或季数)；I为季节修正系数。利用其预测的公式如下：y =(S+bk)I (52)T+k TTT+k—L4、Holt-Winters加法模型这种方法适用于序列具有线性趋势和加法季节变化。其基础方程如下:TOC\o"1-5"\h\zS=a(X—IL)+(1—a)(S]+b1)(0<a<1) (53)b=丫(S-S1)+(1-丫)b1 (0<丫<1) (54)I=P(xtsSt)+(1-P)IL (0<0<1) (55)利用其预测如下：f=S+bk+1 (56)T+k TT T+k-L其中IT+k-L用样本数据最后一年的季节因子。5、Holt-Winters 无季节模型这种方法适用于序列具有线性趋势但无季节变化。其基础方程如下：TOC\o"1-5"\h\zS=ox+(1-a)(S1+b1)(0<a<1) (57)b=丫(S-S1)+(1-丫)b1 (0<Y<1) (58)利用其预测如下：f=S+bk (59)T+k TT采用Holt-Winters方法的一个重要问题是如何确定a,P,y的值，以使均方差达到最小。虽然有一些方法可以利用非线性最佳算法求得最佳参数值，但通常确定a,P,y值的最佳方法仍是反复试验法。实验背景：现获得某企业2000年至2005年各季的销售量（单位：万元）资料如下：362385432341382409498387473513582474544582 681557628707773592 627725854661要求采用指数平滑法预测2006年第二个季度的销售量。实验步骤：点击Proc/ExponentialSmoothing,打开指数平滑对话框，如图9.15所示：Smoothingmethod-复选框：选择平滑方法，包括一Single（单指数平滑）、口0处1©（双指数平滑）、Holt-Winters-Noseasonal（无季节Holt-Winters模型）、Ho1t-Winters-Additive（Ho1t-Winters加法模型）及Holt-WintersMultiplicative（Holt-Winters乘法模型）。Smoothingparameters复选框：确定平滑系数，既可以选择系统自动估计也可以人工输入具体的平滑系数。系统自动估计时是按误差平方和达到最小原则自动生成平滑系数；如人工输入，应确保所有的平滑系数在0-1之间，否则系统会自动估计。Smoothingseries:用于确定平滑后的序列名，系统自动会在原序列名后加sm来指定平滑后的序列名，用户也可以自己输入新的序列名。Estimationsample:确定估计样本区间。用户必须指定预测的样本区间，默认值产当前工作文件的样本区间。Cycleforseasonal:确定季节循环数。系统默认值为每年12个月或4个季度），用户也可以改变每年的季节数。其允许预测不规则间距的数据。点击View/graph/line,打开图形对话框，如图9.16所示：

——SALES图9.16在本例中，销售量的走向具有明显的线性趋势和季节性。因此在平滑方法中分别选择双指数平滑和Holt-Winters乘法模型进行相关预测。在预测前，首先须调整样本区间，因此回到主窗口，双击Range、Sample,打开调整样本区间对话框，如图9.17所示：图9.17本例中，在End中输入2006即可。然后在SmoothingExponential对话中，分别选择Double和Holt-Winters-Multiplicative进行平滑预测，在双指数平滑法下平滑系数选择系统自动生成，平滑后的序列名分别为salef1；Holt-Winters-Multiplicative下平滑系数a=0.2，p=0.1，y=0.05，平滑后的序列名为salesf2,季节循环数按系统默认，最后点击OK,得到以下结果如图9.18、9.19所示：Datf>O3/O8/O0Time:15:39Sample:2000Q12005Q4Includedobservations:24Method:DoubleExponentialOriginalSeries:SALESForecastSeries:SALESF1Parameters:Alpha0.0300SumofSquaredResiduals101916.9RootMeanSquaredError65,16546EndofPeriodLevels:Mean729.7410Trend15,64021图9.18上图表明，系统按照误差平方和达到最小生成的平滑系数为0.038,SumofSquaredResiduals（残差平方和）为101916.9，RootMeanSquaredError（均方误）为65.17。tjate:03/08/08Time:15:40Sample:2000Q12005Q4Includedobservations:24Method:Holt-WintersMultiplicativeSeasonalOriginalSeries:SALESForecastSeries:SALESF2Parameters:Alpha0.2000Beta0.1000Gamma0.0500SumofSquaredResiduals12203.35RootMeanSquaredError22,62313EndofPeriodLevels:Mean754.8032Trend17,79222Seasonals:2005Q10.9657352005Q21.0223592005Q31.1397992005Q40.072107图9.19上图中，SumofSquaredResiduals（残差平方和）为12283.35，RootMeanSquaredError（均方误）为22.62。这两种方法下各自的预测序列如图9.20所示：obs

2000Q1\SALESF12000Q22000Q32000Q42001Q12001Q22001Q32001Q42002Q12002Q22002Q32002Q42003Q12003Q22003Q32003Q4353.1154368.9512385.3442404.0857414.5569427.2565440.9956460.4263470.0298485.3315502.5140523.6733535.1343550.9712568.5048萩电2Q5SALESF2342.6683384.2839448.3476355.4064407.4748441.3075501.7771396.7801453.2635498.4390577.8021456.3478526.6233576.1927663.1582525.3785S604.9759 607.6651法下629065年第二季度销售量为761.02Holt-