2020高中数学 第章 空间向量与立体几何 .2.1 直线的方向向量与平面的法向量讲义 2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精3。学习目标核心素养1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点）2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3。平面法向量的设法．(易错点）通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养数学运算素养。1．直线的方向向量我们把直线l上的向量e(e≠0）以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示］不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个,它们分别是共线向量．1．若A（－1，0，1），B(1,4,7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．（1，2,3) B．(1,3,2)C．（2,1，3） D．（3，2,1）A[eq\o(AB,\s\up8(→）)＝（2，4，6）＝2(1,2，3)．]2．已知直线l过A(3，2,1），B（2,2,2），且a＝（2,0，x）是直线l的一个方向向量，则x＝________。[解析]eq\o(AB，\s\up8(→)）＝(－1，0，1），由题意知，a∥eq\o（AB，\s\up8(→)),则存在实数λ，使a＝λeq\o（AB，\s\up8(→)),即(2，0，x）＝λ（－1，0，1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝－λ，,x＝λ，）)∴λ＝－2，x＝－2.［答案］－23．已知线段AB的两端点坐标为A(9,－3，4)，B（9，2,1)，则线段AB与坐标平面（)A．xOy平行 B．xOz平行C．yOz平行 D．yOz相交C［因为eq\o(AB，\s\up8(→））＝（9，2，1）－（9，－3,4）＝（0,5，－3），所以AB∥平面yOz.］4．已知eq\o(AB，\s\up8(→)）＝(2，2，1）,eq\o(AC，\s\up8(→））＝(4,5,3），则平面ABC的一个单位法向量可表示为________．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，3),－\f(2,3)，\f(2,3））)［设平面的法向量为a＝（x，y,z)，则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\o（AB，\s\up8（→））·a＝0,，\o(AC，\s\up8(→）)·a＝0,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＋z＝0，，4x＋5y＋3z＝0.))令z＝1，得y＝－1，x＝eq\f（1，2），∴a＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2),－1,1))故平面ABC的一个单位法向量为a＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f（2，3)，\f(2,3)）)。］直线的方向向量及其应用【例1】(1）已知直线l1的一个方向向量为（－7，3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y，8),且l1∥l2,则x＝________,y＝________。(2）在空间直角坐标系中，已知点A(2,0，1)，B（2，6,3），P是直线AB上一点,且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________．[思路探究］(1）利用两直线的方向向量共线求解；(2）eq\o（AB，\s\up8(→））即是直线AB的一个方向向量,利用eq\o（AP，\s\up8(→））＝eq\f(3,5)eq\o（AB,\s\up8(→)）求点P的坐标．（1）－146(2)（0,6,2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f(18，5），\f(11，5）））[(1)由l1∥l2可知，向量（－7，3，4）和（x，y，8）共线,所以eq\f（x，－7)＝eq\f（y，3)＝eq\f(8，4)，解得x＝－14，y＝6。（2）eq\o(AB,\s\up8(→))＝（0,6，2）是直线AB的一个方向向量．由AP∶PB＝3∶2,得eq\o(AP,\s\up8(→））＝eq\f（3，5)eq\o(AB，\s\up8(→））.设P（x，y，z），则(x－2，y，z－1)＝eq\f(3,5）（0,6，2），即x－2＝0，y＝eq\f（18，5）,z－1＝2·eq\f（3，5)，解得x＝2，y＝eq\f（18，5），z＝eq\f(11，5)，所以直线AB的一个方向向量是（0,6,2），点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(18,5），\f(11，5）))。]1．应注意直线AB的方向向量有无数个,哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．1．若直线l1的方向向量a＝（1，3x，－2），直线l2的方向向量b＝（－2，2y,5),且l1⊥l2,则xy＝________。2［因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即－2＋6xy－10＝0，所以xy＝2.］求平面的法向量【例2】如图,ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f（1，2)，求平面SBA与平面SCD的法向量．[思路探究］因为与平面垂直的向量为平面的法向量,所以先观察图中有无垂直于平面的直线,若有,利用直接法求出；若没有,设出法向量n,再利用待定系数法求解．[解］∵AD,AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以eq\o（AD，\s\up8（→）)，eq\o(AB，\s\up8（→））,eq\o（AS，\s\up8（→)）的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A（0，0，0)，Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，0，0）），C(1,1，0)，S（0，0，1)，eq\o（AD,\s\up8(→）)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，0，0））是平面SBA的法向量,设平面SCD的法向量n＝（1，λ，u)，有n⊥eq\o（DC，\s\up8（→)），n⊥eq\o(DS,\s\up8(→）），则n·eq\o（DC,\s\up8(→）)＝(1,λ，u）·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)，1，0))＝eq\f（1，2)＋λ＝0,∴λ＝－eq\f（1，2)。n·eq\o(DS,\s\up8（→）)＝（1，λ，u)·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0,1）)＝－eq\f(1,2)＋u＝0，∴u＝eq\f（1,2)，∴n＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，－\f(1,2），\f(1,2）)）.1．利用待定系数法求平面法向量的步骤2．求平面法向量的三个注意点（1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2）取特值:在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．（3）注意0：提前假定法向量n＝(x,y,z）的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.2．已知正方体ABCD。A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点,建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量[解]以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系（如图所示)．设正方体ABCD.A1B1C1D1的棱长为1,则A(1,0，0），Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2）））,Neq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2）,1))。∴eq\o（AM，\s\up8（→))＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，1，\f（1，2)））,eq\o（AN，\s\up8(→)）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2),1））.设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（n·\o（AM，\s\up8(→））＝y＋\f（1，2)z＝0，,n·\o(AN,\s\up8(→）)＝－x＋\f（1,2）y＋z＝0,））令y＝2，∴x＝－3,z＝－4,∴n＝(－3,2，－4）。方向向量与法向量的特征[探究问题］1．如何正确地判断直线的方向向量？［提示］(1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个．（3）给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定惟一一条过点A且平行于向量a的直线．(4）表示同一条直线的方向向量,由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同,还可能相反．2．过空间任意一定点P，能否作出平面α的法向量？能作几条？［提示］由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解?［提示］根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗?［提示］不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（n·a＝0，，n·b＝0)）有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法,只要给x，y,z中的一个赋特殊值(常赋值－1，0，1)即可确定一个法向量,赋值不同,所得法向量不同,但（0,0，0）不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？[提示］（1)两直线的方向向量共线（垂直）时，两直线平行(垂直）．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．（3)两个平面的法向量共线（垂直）时,两平面平行(垂直)．【例3】根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1）平面α,β的法向量分别是u＝（－1，1，－2)，ν＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f（1，2）））；(2)直线l的方向向量a＝(－6，8，4），平面α的法向量u＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2，2，－1））.[思路探究]利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．[解]（1)∵u＝（－1，1，－2)，ν＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1，2）））,∴u·ν＝（－1,1，－2)·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(3，2，－\f（1,2)））＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥ν,故α⊥β。（2)∵u＝（2,2,－1)，a＝(－6，8，4），∴u·a＝（2,2，－1)·（－6,8，4）＝－12＋16－4＝0，∴u⊥a，故l⊂α或l∥α。3．根据下列条件,判断相应的线、面位置关系．(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝（1，－3，－1），b＝（8，2,2）;（2）平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0），ν＝(－3,－9，0）．［解]（1）∵a＝（1，－3，－1)，b＝(8，2,2)，∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2。(2）∵u＝(1，3，0)，ν＝(－3，－9,0）,∴ν＝－3u，∴ν∥u，即α∥β.引入直线的方向向量和平面的法向量这两个概念之后，使空间点线面的位置关系数量化，也就是说，每一种特殊的点、线、面位置关系（如线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直）都对应着一个重要的等量关系．如何巧妙地利用这些等量关系，正是解题的关键所在．1．判断(正确的打“√"，错误的打“×"）(1）若向量eq\o(AB，\s\up8（→)）是直线l的一个方向向量，则向量eq\o（BA,\s\up8（→)）也是l的一个方向向量．(）(2)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(）(3）若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反．（)（4）一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．()（5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．()[答案]（1)√（2）×(3）√（4）√(5)√2．已知直线l过A（3，2，1）,B(2，2，2），且a＝（2，0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝()A．2 B．－2C．3 D．－3B［eq\o(AB,\s\up8（→））＝（－1，0,1）,由题意知，a∥eq\o（AB,\s\up8（→）),则存在实数λ，使a＝λeq\o（AB,\s\up8（→)），即(2,0，x）＝λ（－1,0，1），即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2＝－λ，，x＝λ，））∴λ＝－2,x＝－2。]3．已知A(1,0，0)，B(1,0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的法向量为________．(1,1，0)(答案不唯一）［设平面ABC的