2020高中数学 第章 空间向量与立体几何 .1. 空间向量的数量积运算学案 2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精3.1.3空间向量的数量积运算学习目标核心素养1。掌握空间向量夹角的概念及表示方法．2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．（重点）3。能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养．2.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养。1．空间向量的夹角（1）夹角的定义已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作eq\o(OA，\s\up8（→))＝a，eq\o（OB，\s\up8（→）)＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是［0，π］．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线,所以若a∥b，则<a，b〉＝0或π;当〈a，b〉＝eq\f（π，2）时，两向量垂直，记作a⊥b．2．空间向量的数量积（1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a｜｜b|cos<a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b。即a·b＝|a｜|b|cos〈a，b〉．(2）数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律（λa）·b＝λ（a·b)＝a·（λb）交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c）＝a·b＋a·c(3）空间两向量的数量积的性质：向量数量积的性质垂直若a,b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0共线同向：则a·b＝|a｜·|b|反向：则a·b＝－｜a｜·|b|模a·a＝|a|｜a|cos〈a，a〉＝｜a｜2｜a｜＝eq\r（a·a）｜a·b|≤|a|·｜b｜夹角θ为a,b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b，|a|｜b｜）思考：(1）若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？(2)若a·b〉0，则〈a，b〉一定是锐角吗?［提示]（1)若a·b＝0,则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝eq\a\vs4\al(0）。（2)当〈a，b>＝0时,也有a·b〉0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．1．下列各命题中,不正确的命题的个数为()①eq\r（a·a)＝|a｜;②m(λa）·b＝（mλ）a·b(m，λ∈R）;③a·(b＋c）＝（b＋c)·a；④a2b＝b2aA．0 B．3C．2 D．1D[命题①②③正确,④不正确．］2．已知正方体ABCD。A′B′C′D′的棱长为a，设eq\o（AB，\s\up8(→))＝a，eq\o（AD，\s\up8（→))＝b，eq\o(AA′，\s\up8(→)）＝c，则〈eq\o（A′B,\s\up8(→）)，eq\o(B′D′,\s\up8（→)）〉等于()A．30° B．60°C．90° D．120°D[△B′D′C是等边三角形，<eq\o（A′B，\s\up8（→）)，eq\o（B′D′,\s\up8（→)）〉＝〈eq\o(D′C,\s\up8(→)），eq\o（B′D′,\s\up8(→））〉＝120°.]3．已知|a｜＝3，|b｜＝2，a·b＝－3，则〈a,b>＝________．eq\f（2，3）π［cos〈a，b〉＝eq\f(a·b，|a||b|)＝eq\f（－3，3×2）＝－eq\f（1，2）。所以<a，b〉＝eq\f(2,3）π.]4．设a⊥b，〈a,c〉＝eq\f(π，3),<b，c〉＝eq\f(π,6)，且|a|＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝3,则向量a＋b＋c的模是________．eq\r(17＋6\r(3））［因为|a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c)2＝｜a|2＋｜b|2＋｜c｜2＋2(a·b＋a·c＋b·c）＝1＋4＋9＋2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0＋1×3×\f（1,2)＋2×3×\f（\r(3）,2）)）＝17＋6eq\r(3），所以|a＋b＋c|＝eq\r（17＋6\r（3)）.］空间向量的数量积运算【例1】（1）已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量,则a·b＝（）A．1B．2C．3D．4(2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB，AD的中点，求值：①eq\o（EF,\s\up8（→））·eq\o(BA,\s\up8（→))；②eq\o(EF，\s\up8（→)）·eq\o（BD，\s\up8(→))；③eq\o（EF，\s\up8(→))·eq\o(DC，\s\up8（→))；④eq\o(AB,\s\up8(→)）·eq\o(CD,\s\up8（→)）。（1)A［由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝（3p－2q）·(p＋q）＝3p2－2q2＋p·q＝1。](2）解:①eq\o(EF，\s\up8（→））·eq\o(BA，\s\up8（→)）＝eq\f（1，2）eq\o(BD,\s\up8（→)）·eq\o(BA,\s\up8（→)）＝eq\f(1,2)|eq\o（BD，\s\up8（→）)|｜eq\o(BA，\s\up8(→)）｜cos〈eq\o（BD，\s\up8(→)），eq\o(BA,\s\up8（→））〉＝eq\f(1，2）cos60°＝eq\f（1,4）.②eq\o(EF,\s\up8(→））·eq\o（BD,\s\up8(→））＝eq\f(1，2）eq\o（BD,\s\up8（→）)·eq\o（BD,\s\up8(→)）＝eq\f（1,2）｜eq\o（BD,\s\up8（→）)|2＝eq\f(1，2）.③EF·eq\o(DC,\s\up8（→））＝eq\f(1，2)eq\o(BD，\s\up8(→)）·eq\o（DC,\s\up8(→）)＝－eq\f（1,2)eq\o(DB,\s\up8(→）)·eq\o(DC,\s\up8（→））＝－eq\f（1，2)×cos60°＝－eq\f(1,4)。④eq\o(AB,\s\up8(→)）·eq\o（CD,\s\up8（→))＝eq\o（AB，\s\up8（→））·(eq\o(AD,\s\up8（→)）－eq\o(AC,\s\up8(→))）＝eq\o(AB,\s\up8（→）)·eq\o(AD，\s\up8(→））－eq\o(AB，\s\up8（→））·eq\o（AC，\s\up8(→））＝｜eq\o（AB，\s\up8（→)）||eq\o（AD,\s\up8（→)）|cos<eq\o(AB，\s\up8(→）)，eq\o（AD，\s\up8(→))>－|eq\o（AB，\s\up8(→)）||eq\o（AC,\s\up8(→))|cos〈eq\o（AB,\s\up8(→））,eq\o(AC，\s\up8（→））〉＝cos60°－cos60°＝0。在几何体中求空间向量的数量积的步骤（1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．(3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模．（4)代入公式a·b＝|a|｜b|cos<a，b〉求解．1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o（AE，\s\up8(→）)·eq\o（AF,\s\up8(→))＝________。eq\f（1,4）a2[eq\o（AE,\s\up8（→)）·eq\o（AF,\s\up8(→)）＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\o（AB，\s\up8(→)）＋\o(AC,\s\up8(→））)）·eq\f（1,2)eq\o（AD,\s\up8(→))＝eq\f(1，4)(eq\o（AB，\s\up8（→))·eq\o(AD，\s\up8（→))＋eq\o(AC，\s\up8（→）)·eq\o（AD，\s\up8（→))）＝eq\f（1,4)(a2cos60°＋a2cos60°）＝eq\f(1,4）a2。]（2）在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1,OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq\o(OG，\s\up8（→))·（eq\o(OA,\s\up8（→）)＋eq\o（OB,\s\up8（→))＋eq\o（OC,\s\up8（→))）＝________．eq\f（14，3）［eq\o(OG，\s\up8(→））＝eq\o（OA,\s\up8(→）)＋eq\o(AG，\s\up8（→））＝eq\o(OA,\s\up8(→））＋eq\f(1,3)（eq\o（AB,\s\up8(→）)＋eq\o（AC,\s\up8（→)))＝eq\o（OA，\s\up8（→）)＋eq\f（1，3)[(eq\o（OB，\s\up8(→)）－eq\o（OA,\s\up8(→)））＋（eq\o(OC，\s\up8(→）)－eq\o(OA，\s\up8（→))）］＝eq\f（1,3）eq\o(OB,\s\up8（→)）＋eq\f（1,3）eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f（1,3）eq\o(OA,\s\up8(→)）.∴eq\o（OG,\s\up8(→)）·（eq\o（OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8（→））＋eq\o（OC，\s\up8（→））)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)\o(OB，\s\up8(→))＋\f（1，3)\o(OC,\s\up8（→))＋\f（1，3）\o（OA，\s\up8（→))）)·（eq\o（OA,\s\up8（→））＋eq\o(OB，\s\up8(→))＋eq\o(OC，\s\up8（→）)）＝eq\f（1,3）eq\o(OB，\s\up8（→）)2＋eq\f(1，3)eq\o(OC，\s\up8（→）)2＋eq\f(1，3)eq\o(OA,\s\up8(→))2＝eq\f(1，3)×22＋eq\f（1，3)×32＋eq\f（1,3)×12＝eq\f(14，3）.］利用数量积证明空间的垂直关系【例2】已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC,且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA,BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC。［解］连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设eq\o（OA,\s\up8(→））＝a，eq\o(OB，\s\up8（→))＝b，eq\o(OC,\s\up8（→）)＝c，则｜a|＝|b｜＝|c｜.又eq\o（OG,\s\up8(→）)＝eq\f(1,2）(eq\o(OM,\s\up8(→）)＋eq\o(ON,\s\up8(→）)）＝eq\f（1,2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）\o(OA，\s\up8(→)）＋\f（1，2）(\o（OB,\s\up8（→）)＋\o（OC,\s\up8（→）)）））＝eq\f(1，4）(a＋b＋c），eq\o（BC，\s\up8（→））＝c－b.∴eq\o(OG,\s\up8(→））·eq\o(BC,\s\up8（→)）＝eq\f(1，4）（a＋b＋c）·（c－b）＝eq\f（1，4）(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq\f（1,4）（｜a|2·cosθ－｜a｜2·cosθ－|a｜2＋|a｜2）＝0。∴eq\o（OG，\s\up8（→)）⊥eq\o(BC,\s\up8(→)）,即OG⊥BC.用向量法证明垂直关系的步骤（1)把几何问题转化为向量问题．（2）用已知向量表示所证向量．(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4）将向量问题回归到几何问题．2．如图,已知正方体ABCD.A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O,连接AO，求证:（1）AO⊥CD′；（2）AC′⊥平面B′CD′。[证明](1）因为eq\o(AO,\s\up8（→))＝eq\o（AD,\s\up8（→))＋eq\o(DO，\s\up8（→））＝eq\o(AD,\s\up8（→)）＋eq\f（1,2)（eq\o（DD′,\s\up8(→)）＋eq\o（DC,\s\up8（→)）），因为eq\o（CD′，\s\up8(→）)＝eq\o（DD′，\s\up8(→）)－eq\o(DC,\s\up8(→))，所以eq\o(AO，\s\up8（→））·eq\o（CD′,\s\up8（→））＝eq\f(1，2)(eq\o(DD′,\s\up8(→))＋eq\o（DC,\s\up8(→))＋2eq\o(AD,\s\up8（→）)）·（eq\o(DD′,\s\up8（→))－eq\o(DC,\s\up8(→）)）＝eq\f(1，2)(eq\o(DD′,\s\up8（→）)·eq\o（DD′,\s\up8(→）)－eq\o（DD′，\s\up8（→）)·eq\o(DC,\s\up8（→))＋eq\o（DC,\s\up8(→））·eq\o（DD′,\s\up8（→))－eq\o(DC,\s\up8(→))·eq\o（DC，\s\up8(→)）＋2eq\o(AD，\s\up8（→))·eq\o(DD′,\s\up8(→))－2eq\o(AD,\s\up8（→）)·eq\o（DC，\s\up8(→))）＝eq\f(1,2)（|eq\o(DD′,\s\up8(→)）|2－|eq\o（DC，\s\up8（→)）｜2)＝0，所以eq\o(AO，\s\up8(→））⊥eq\o(CD′,\s\up8（→))，故AO⊥CD′。（2）因为eq\o(AC′，\s\up8(→））·eq\o（B′C，\s\up8（→))＝(eq\o(AB，\s\up8（→)）＋eq\o(BC,\s\up8(→）)＋eq\o（CC′,\s\up8（→)）)·（eq\o(B′B，\s\up8(→）)＋eq\o(BC，\s\up8(→))）＝eq\o（AB，\s\up8(→））·eq\o（B′B，\s\up8（→))＋eq\o(AB，\s\up8(→）)·eq\o(BC，\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8（→)）·eq\o(B′B,\s\up8(→））＋eq\o（BC,\s\up8(→）)·eq\o（BC,\s\up8（→)）＋eq\o(CC′,\s\up8（→）)·eq\o（B′B,\s\up8（→)）＋eq\o（CC′，\s\up8（→）)·eq\o（BC，\s\up8(→）），可知eq\o(AB，\s\up8（→)）·eq\o(B′B,\s\up8(→)）＝0，eq\o（AB，\s\up8(→)）·eq\o（BC,\s\up8（→）)＝0，eq\o(BC，\s\up8(→）)·eq\o(B′B，\s\up8（→))＝0，eq\o(BC,\s\up8（→））·eq\o（BC，\s\up8（→)）＝｜eq\o(BC,\s\up8(→））|2，eq\o（CC′,\s\up8(→))·eq\o(B′B,\s\up8（→)）＝－｜eq\o(CC′,\s\up8（→））｜2,eq\o（CC′，\s\up8（→））·eq\o（BC，\s\up8(→))＝0，所以eq\o（AC′,\s\up8（→))·eq\o(B′C，\s\up8（→)）＝|eq\o（BC，\s\up8(→)）｜2－｜eq\o（CC′，\s\up8(→)）|2＝0，所以eq\o（AC′,\s\up8（→))⊥eq\o(B′C，\s\up8（→）)，所以AC′⊥B′C。同理可证,AC′⊥B′D′。又B′C,B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.利用数量积求夹角【例3】如图，在空间四边形OABC中,OA＝8,AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．思路探究：求异面直线OA与BC所成的角，首先来求eq\o（OA,\s\up8（→））与eq\o(BC,\s\up8（→)）的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2）))，而向量夹角的取值范围为[0，π］，注意角度的转化．［解］∵eq\o(BC，\s\up8(→））＝eq\o（AC,\s\up8(→))－eq\o（AB,\s\up8（→）)，∴eq\o（OA，\s\up8（→)）·eq\o(BC,\s\up8（→））＝eq\o（OA,\s\up8(→）)·eq\o（AC，\s\up8（→)）－eq\o(OA，\s\up8(→））·eq\o(AB，\s\up8（→))＝|eq\o(OA，\s\up8（→)）|·|eq\o(AC，\s\up8(→))|·cos〈eq\o（OA,\s\up8(→)）,eq\o(AC,\s\up8(→））>－|eq\o（OA，\s\up8(→）)|·｜eq\o(AB，\s\up8（→))|·cos<eq\o(OA,\s\up8（→)）,eq\o（AB,\s\up8(→））〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).∴cos〈eq\o（OA，\s\up8(→））,eq\o（BC,\s\up8(→)）>＝eq\f（\o(OA,\s\up8（→)）·\o(BC，\s\up8(→）），|\o（OA，\s\up8（→)）|·|\o(BC，\s\up8(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5）＝eq\f（3－2\r(2),5）,∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为eq\f（3－2\r(2)，5）.利用向量数量积求夹角问题的思路(1）求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形,平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝eq\f(a·b，｜a｜｜b|)求cos<a，b〉，最后确定〈a，b〉．（2）我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角,步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量（即直线的方向向量)；②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题;③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小;④异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．3．如图，已知直三棱柱ABC。A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°,D，E分别为AB,BB′的中点．(1）求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．［解]（1）证明：设eq\o（CA，\s\up8（→))＝a,eq\o（CB，\s\up8(→）)＝b，eq\o(CC′，\s\up8（→）)＝c，根据题意，｜a｜＝|b｜＝｜c|且a·b＝b·c＝c·a＝0。∴eq\o(CE，\s\up8(→))＝b＋eq\f（1,2)c，eq\o(A′D，\s\up8（→）)＝－c＋eq\f（1,2）b－eq\f(1,2）a.∴eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A′D,\s\up8(→))＝－eq\f（1，2）c2＋eq\f(1，2）b2＝0，∴eq\o(CE,\s\up8(→))⊥eq\o（A′D,\s\up8（→）),即CE⊥A′D。(2）∵eq\o（AC′，\s\up8(→））＝－a＋c，∴|eq\o(AC′,\s\up8(→）)|＝eq\r（2）|a｜，｜eq\o（CE，\s\up8(→）)｜＝eq\f(\r(5），2）｜a｜,∵eq\o（AC′,\s\up8(→））·eq\o(CE,\s\up8（→))＝(－a＋c）·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（b＋\f（1,2)c)）＝eq\f(1,2）c2＝eq\f(1,2)｜a｜2，∴cos〈eq\o（AC′,\s\up8（→)），eq\o（CE，\s\up8（→）)>＝eq\f（\f(1,2）｜a|2,\r（2）·\f(\r（5)，2）｜a｜2）＝eq\f(\r(10），10)。∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq\f(\r(10）,10)。利用数量积求距离［探究问题］1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈eq\o(AB,\s\up8（→）)，eq\o（CD，\s\up8（→)）〉的值是多少?［提示]〈eq\o(AB，\s\up8(→)），eq\o（CD，\s\up8（→））〉＝60°或120°.2．如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC,DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．[提示］∵eq\o（AD，\s\up8（→)）＝eq\o(AB，\s\up8(→)）＋eq\o(BC，\s\up8（→）)＋eq\o（CD,\s\up8(→）），∴｜eq\o(AD，\s\up8(→）)｜2＝（eq\o（AB，\s\up8（→））＋eq\o(BC,\s\up8（→)）＋eq\o（CD，\s\up8（→))）2＝|eq\o(AB，\s\up8(→)）|2＋|eq\o（BC，\s\up8(→)）|2＋|eq\o(CD,\s\up8（→））|2＋2eq\o(AB,\s\up8（→))·eq\o(BC，\s\up8(→)）＋2eq\o（AB，\s\up8（→）)·CD＋2eq\o(BC，\s\up8(→）)·eq\o（CD，\s\up8(→))＝12＋2（2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°）＝8，∴|eq\o（AD,\s\up8（→))|＝2eq\r(2)，即A，D两点间的距离为2eq\r（2).【例4】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．思路探究：eq\x（eq\o(BD，\s\up8(→))＝eq\o（BA，\s\up8(→))＋eq\o（AC,\s\up8(→)）＋eq\o（CD,\s\up8(→）))→eq\x（得到|eq\o（BD,\s\up8（→)）｜2的值，注意对<eq\o(BA,\s\up8(→）)，eq\o（CD,\s\up8（→))>的讨论)→eq\x（得B，D间的距离）[解］∵∠ACD＝90°，∴eq\o（AC，\s\up8(→)）·CD＝0，同理可得eq\o（AC,\s\up8（→））·eq\o（BA，\s\up8（→）)＝0。∵AB与CD成60°角,∴<eq\o(BA，\s\up8（→）），eq\o(CD,\s\up8（→)）>＝60°或〈eq\o（BA，\s\up8（→)),eq\o（CD,\s\up8(→）)〉＝120°。又eq\o（BD，\s\up8(→))＝eq\o（BA,\s\up8(→）)＋eq\o（AC,\s\up8（→））＋eq\o(CD，\s\up8（→))，∴｜eq\o（BD,\s\up8(→)）|2＝｜eq\o（BA，\s\up8(→））｜2＋｜eq\o(AC,\s\up8(→)）|2＋|eq\o(CD,\s\up8(→））｜2＋2eq\o(BA,\s\up8（→))·eq\o（AC，\s\up8(→))＋2eq\o（BA，\s\up8(→))·eq\o(CD，\s\up8(→)）＋2eq\o(AC,\s\up8(→））·eq\o（CD,\s\up8(→))＝3＋2×1×1×cos<eq\o（BA,\s\up8（→)），eq\o（CD,\s\up8(→））〉．∴当〈eq\o(BA,\s\up8(→）)，eq\o(CD，\s\up8（→））〉＝60°时，｜eq\o(BD,\s\up8(→））｜2＝4，此时B,D间的距离为2；当〈eq\o（BA,\s\up8（→）），eq\o(CD，\s\up8(→））〉＝120°时，｜eq\o（BD,\s\up8(→）)｜2＝2，此时B，D间的距离为eq\r(2).1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．2．用数量积求两点间距离的步骤：（1）用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式a·a＝｜a|2，求|a｜；(4）｜a|即为所求距离．4.如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB,OC两两成60°角,且OA＝OB＝OC＝2,E为OA的中点,F为BC的中点，试求E,F间的距离．[解］eq\o（EF,\s\up8（→））＝eq\o（EA，\s\up8(→）)＋eq\o（AF,\s\up8（→)）＝eq\f(1,2）eq\o(OA，\s\up8（→））＋eq\f(1，2)（eq\o(AB，\s\up8(→)）＋eq\o(AC,\s\up8（→）))＝eq\f（1，2)eq\o（OA，\s\up8（→))＋eq\f（1，2)［（eq\o（OB，\s\up8(→)）－eq\o(OA，\s\up8(→）))＋（eq\o（OC，\s\up8(→）)－eq\o(OA，\s\up8（→）)）]＝－eq\f(1，2）eq\o（OA，\s\up8（→)）＋eq\f（1，2）eq\o(OB，\s\up8（→)）＋eq\f（1，2)eq\o(OC，\s\up8（→））,所以eq\o(EF2，\s\up8(→))＝eq\f（1,4）eq\o(OA，\s\up8(→））2＋eq\f(1,4)eq\o（OB,\s\up8(→))2＋eq\f(1,4）eq\o（OC,\s\up8(→)）2＋2×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)）)×eq\f（1,2）eq\o（OA，\s\up8（→））·eq\o(OB,\s\up8(→））＋2×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2）））×eq\f（1,2)eq\o（OA,\s\up8(→)）·eq\o（OC,\s\up8（→))＋2×eq\f(1，2)×eq\f(1,2）eq\o（OB，\s\up8（→））·eq\o（OC，\s\up8(→）)＝2。∴｜eq\o（EF,\s\up8（→）)｜＝eq\r（2)，即E，F间的距离为eq\r（2）.1．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b｜cos<a，b〉并结合运算律进行计算．（2）利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2）利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3）代入a·b＝|a||b|cos<a，b〉求解．1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b,则实数k的值为(）A．－6 B．6C．3 D．－3B[由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1｜＝|e2｜＝1，∴(2e1＋3e2)·（ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6。]2．在空间四边形OABC中，OB＝OC,∠AOB＝∠AOC＝eq\f（π,3），则cos〈eq\o(OA,\s\up8(→)），eq\o(BC,\s\up8(→)）>的值为（）A．eq\f（1，2） B．eq\f（\r(2),2）C．－eq\f（1,2） D．0D[eq\o（OA,\s\up8（→)）·eq\o(BC，\s\up8(→))＝eq\o（OA，\s\up8（→））·(eq\o(OC，\s\up8(→）)－eq\o（OB，\s\up8（→））)＝eq\o(OA,\s\up8(→））·eq\o（OC，\s\up8(→））－eq\o(OA，\s\up8（→)）·eq\o(OB，\s\up8（→))＝|eq\o(OA,\s\up8（→)）｜|eq\o（OC,\s\up8(→))|cos∠AOC－｜eq\o(OA，\s\up8(→））｜｜eq\