2020高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案（含解析）4VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE21-学必求其心得，业必贵于专精1。1。2弧度制考试标准课标要点学考要求高考要求弧度制的概念aa弧度与角度的互化bb知识导图学法指导1.熟练掌握弧度制的定义，可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制．2．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数．3．记忆扇形的面积公式时可将扇形看作三角形来记忆,S＝eq\f（1,2)底·高＝eq\f（1，2)lR.1.度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的eq\f（1,360)为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作1radeq\x(状元随笔）正确理解弧度与角度的概念区别(1)定义不同;(2）单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位联系(1）不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化2．弧度数的计算（1）正角：正角的弧度数是一个正数．（2）负角：负角的弧度数是一个负数．(3）零角：零角的弧度数是0.（4）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α｜＝eq\f(l，r)。3．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝eq\f（π,180）rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（180，π）））°≈57。30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(180，π)）)°＝度数eq\x（状元随笔）角度制与弧度制换算公式的理解（1）弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．（2）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同,量度也不同．4．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l,α（0〈α〈2π)为其圆心角，则（1)弧长公式：l＝α·R.(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1，2)α·R2。［小试身手］1．判断下列命题是否正确。（正确的打“√",错误的打“×”）(1)1弧度的角等于1度的角．（)（2)弧度的计算公式为α＝eq\f(l，r）。（）(3)直角的弧度数为eq\f（π,2）.（)答案：（1）×（2)×（3)√2．下列各种说法中，错误的是（）A．“度"与“弧度"是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq\f(1，360），1rad的角是周角的eq\f(1,2π）C．根据弧度的定义,180°的角一定等于πrad的角D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关,而与圆的半径大小无关，故选D。答案：D3．将864°化为弧度为(）A.eq\f(36π，5)B.eq\f(12π，5）C。eq\f(24π，5）D.eq\f(48,25）π解析:864°＝864×eq\f（π，180)＝eq\f(24π,5),故选C。答案：C4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．解析：216°＝216×eq\f（π,180）＝eq\f(6π，5)，l＝α·r＝eq\f(6π,5）r＝30π,∴r＝25。答案：25类型一角度与弧度的换算例1（1)将下列各角进行角度与弧度的互化（角度精确到0。01):α1＝－eq\f（11,7)π,α2＝eq\f(511,6）π，α3＝9，α4＝－855°。(2)把下列各角化为2kπ＋α（0≤α<2π,k∈Z)的形式：eq\f(16π，3），－315°，－eq\f（11π，7）。（3)在0°～720°范围内，找出与eq\f（2,5）π终边相同的角．【解析】(1)α1＝－eq\f（11，7）π＝－eq\f（11,7)×180°≈－282。86°；α2＝eq\f(511，6）π＝eq\f（511，6）×180°＝15330°；α3＝9＝9×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（180，π）)）°≈515。66°；α4＝－855°＝－855°×eq\f（π,180）＝－eq\f（19，4）π.（2）eq\f（16π,3）＝4π＋eq\f（4π,3)；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋eq\f(π，4)；－eq\f(11π，7)＝－2π＋eq\f(3π,7).(3）∵eq\f（2π，5）＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴终边与eq\f（2π，5）相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z）．当k＝0时，θ＝72°;当k＝1时,θ＝432°.故在0°～720°范围内，与eq\f(2π,5)终边相同的角为72°,432°。(1)180°＝πrad是进行“弧度”与“角度”换算的关键．(2)表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z）的形式，调整k使角在［0,2π）内．(3)把弧度换算成角度,写出终边相同的角的集合，调整k使角在0°～720°内．方法归纳进行角度制与弧度制的互化的原则和方法（1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝eq\f（π，180)rad和1rad＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（180,π）)）°进行换算．（2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α·\f（180，π)))°；n°＝n·eq\f（π,180).提醒：（1）用“弧度"为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2）用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求，不必把π写成小数．(3）度化弧度时,应先将分、秒化成度，再化成弧度．跟踪训练1（1)将下列各角用弧度表示,并指出它们是第几象限角：α1＝510°，α2＝－750°；（2)将下列各角用度表示，并在0°～360°范围内找出与它们终边相同的角：β1＝eq\f（4,5）π，β2＝－eq\f(11，6)π。解析：(1)∵1°＝eq\f(π,180）rad,∴α1＝510°＝510×eq\f(π,180)＝eq\f（17，6)π，则α1＝eq\f(17，6）π＝2π＋eq\f(5,6)π；α2＝－750°＝－750×eq\f(π,180）＝－eq\f（25,6)π，则α2＝－eq\f(25，6)π＝－3×2π＋eq\f(11,6）π，∴α1是第二象限角，α2是第四象限角．(2)β1＝eq\f（4,5)π＝eq\f(4π,5）×eq\f（180°，π）＝144°，设θ1＝k·360°＋144°（k∈Z)．∵0°≤θ1〈360°，∴0°≤k·360°＋144°<360°(k∈Z)，∴k＝0。∴在0°～360°内,与角β1终边相同的角是144°角；β2＝－eq\f（11,6）π＝－eq\f(11π，6）×eq\f(180°，π）＝－330°。设θ2＝k·360°－330°（k∈Z)．∵0°≤θ2〈360°，∴0°≤k·360°－330°<360°(k∈Z），∴k＝1.∴在0°～360°内，与角β2终边相同的角是30°角．角度与弧度的换算只要记住一个公式:eq\f（π,180°）＝eq\f（该角的弧度数，该角的角度数）.据此可推出n°＝n·eq\f（π,180）rad，αrad＝α·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（180，π)))°.类型二用弧度制表示角的集合例2已知角α＝2005°。（1）将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π）的形式，并指出α是第几象限的角;（2)在[－5π，0）内找出与α终边相同的角．【解析】（1)2005°＝2005×eq\f(π,180）rad＝eq\f(401π,36)rad＝5×2π＋eq\f（41π,36)rad，又π〈eq\f(41π,36）〈eq\f(3π，2)，∴角α与eq\f（41π，36）终边相同，是第三象限的角．(2）与α终边相同的角为2kπ＋eq\f（41π,36)(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋eq\f（41π，36）<0,k∈Z知k＝－1，－2，－3。∴在[－5π，0）内与α终边相同的角是－eq\f(31π，36)，－eq\f(103π,36）,－eq\f（175π,36).（1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为｛β|β＝2kπ＋α,k∈Z｝．（2）用弧度数表示区域角时,先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．方法归纳用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2用弧度表示终边落在如图(1)(2）所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解析:对于题图（1）,225°角的终边可以看作是－135°角的终边,化为弧度，即－eq\f（3π，4），60°角的终边即eq\f(π，3)的终边，∴所求集合为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1（2kπ－\f(3π,4)<α〈2kπ＋\f(π,3），k∈Z)）））.对于题图（2），同理可得，所求集合为α2kπ＋eq\f(π，6）〈α<2kπ＋eq\f(π,2），k∈Z∪α2kπ＋π＋eq\f(π,6）<α<2kπ＋π＋eq\f（π,2），k∈Z＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\｝（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π，6)〈α<kπ＋\f（π，2),k∈Z)）)）。本题考查区域角的表示,关键是要确定好区域的起止边界.类型三与扇形弧长、面积相关的问题例3（1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为（）A.eq\f(π,3)B。eq\f(π,2）C。eq\r（3)D．2(2)一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB。【解析】(1)设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为eq\r（3）r,所以eq\r（3）r＝α·r，所以α＝eq\r（3）.(2)设扇形的半径为rcm,弧长为lcm,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）lr＝1,,l＋2r＝4,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（r＝1，，l＝2。）)所以圆心角α＝eq\f（l，r)＝2。如图，过点O作OH⊥AB于点H,则∠AOH＝1rad.所以AH＝1·sin1＝sin1(cm），所以AB＝2sin1(cm)，所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin1cm.【答案】(1）C（2)见解析（1）圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是a＝eq\r(3）r,再求α.（2)设出扇形的弧长和半径，列出方程组求解．方法归纳扇形的弧长和面积的求解策略(1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f（1,2)lR＝eq\f（1，2)αR2（其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0〈α<2π）．(2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组）求解．跟踪训练3(1）已知扇形的圆心角为120°，半径为eq\r(3）cm，则此扇形的面积为________cm2；（2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．解析：(1)设扇形弧长为l，因为120°＝120×eq\f(π,180)rad＝eq\f(2π，3）（rad），所以l＝αR＝eq\f(2π,3）×eq\r（3)＝eq\f(2\r(3）π,3）（cm)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2）×eq\f（2\r(3)π，3)×eq\r(3)＝π（cm2)．故填π。(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ〈2π），弧长为l,半径为R,依题意有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(l＋2R＝10。①,\f（1，2)lR＝4。②))①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4。当R＝1时，l＝8(cm），此时，θ＝8rad〉2πrad舍去．当R＝4时，l＝2(cm),此时，θ＝eq\f(2，4）＝eq\f（1,2）（rad）．综上可知,扇形圆心角的弧度数为eq\f（1,2）rad。答案：（1）π(2)见解析求扇形面积的关键是求出扇形的圆心角、半径、弧长这三个量中的任意两个量．也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．1.1.2[基础巩固］（25分钟，60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．1920°的角化为弧度数为（）A。eq\f（16，3）B。eq\f（32,3）C。eq\f(16，3）πD。eq\f(32，3)π解析:∵1°＝eq\f(π，180)rad，∴1920°＝1920×eq\f(π，180）rad＝eq\f(32,3)πrad.答案：D2．5弧度的角的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为eq\f（3π，2）〈5〈2π,所以5弧度的角的终边在第四象限．答案：D3．把－eq\f(11,4）π表示成θ＋2kπ(k∈Z）的形式,使｜θ｜最小的值是（)A．－eq\f(3,4）πB．－2πC．πD．－π解析：∵－eq\f(11,4）π＝－2π＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3,4）π）)＝2×(－1）π＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3，4）π））.∴θ＝－eq\f（3，4）π.答案：A4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是（）A．1B．2C．3D．4解析:设扇形的圆心角的弧度数为θ,半径为R,由题意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(θR＝6，\f（1，2)θR2＝6））,解得θ＝3,故选C.答案:C5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(）A。eq\f(π,3)B。eq\f（2π,3)C.eq\r（3)D．2

解析：如图,设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为eq\r（3)R，所以圆弧长度为eq\r(3)R的圆心角的弧度数α＝eq\f（\r(3)R，R）＝eq\r（3)。答案:C二、填空题（每小题5分，共15分)6．下列四个角:1，60°，eq\f（π,3),－eq\f（π,6)由大到小的排列为____________．解析：只需把60°化成弧度数,因为60°＝60×eq\f（π,180)＝eq\f(π,3），所以四个角为1，eq\f(π，3)，eq\f(π,3)，－eq\f(π,6).所以60°＝eq\f（π，3）〉1〉－eq\f（π，6）。答案:60°＝eq\f（π，3)>1〉－eq\f（π,6）7．若三角形三内角之比为3:4：5，则三内角的弧度数分别是________． 解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k，5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝eq\f（π,12)，所以3k＝eq\f（π,4)，4k＝eq\f（π，3)，5k＝eq\f（5π，12）。答案：eq\f(π,4)，eq\f（π，3），eq\f(5π,12）8．弧长为3π,圆心角为135°的扇形的半径为________,面积为________．解析：135°＝eq\f(135π，180）＝eq\f（3π,4)，所以扇形的半径为eq\f(3π，\f（3π，4）)＝4，面积为eq\f(1,2）×3π×4＝6π.答案:46π三、解答题（每小题10分，共20分）9．将下列角度与弧度进行互化：(1）20°;(2)－15°；(3)eq\f(7π，12）；（4)－eq\f（11π，5)。解析：(1)20°＝eq\f（20,180）π＝eq\f（π，9）.(2)－15°＝－eq\f（15,180)π＝－eq\f(π,12).(3）eq\f(7π,12)＝(eq\f（7π，12)×eq\f（180，π））°＝(eq\f(7,12）×180)°＝105°.（4）－eq\f（11π,5)＝（－eq\f(11π,5)×eq\f(180,π）)°＝(－eq\f（11,5)×180）°＝－396°.10．如图，扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是8cm，求扇形的圆心角及弦AB的长．解析：设扇形圆心角的弧度数为θ（0<θ〈2π)，弧长为lcm，半径为Rcm，依题意有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(l＋2R＝8,①,\f（1,2）l·R＝4,②））由①②得R＝2，l＝4，∴θ＝eq\f(l,R)＝2。过O作OC⊥AB,则OC平分∠BOA，又∠BOA＝2rad，∴∠BOC＝1rad,∴BC＝OB·sin1＝2sin1(cm)，∴AB＝2BC＝4sin1(cm)．故所求扇形的圆心角为2rad，弦AB的长为4sin1cm。[能力提升](20分钟,40分）11．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π，4）≤α≤kπ＋\f(π,2），k∈Z))))中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是（）解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋eq\f（π，4)≤α≤2mπ＋eq\f(π，2),m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋eq\f（5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π，2)，m∈Z，故选C.答案：C12．如果一扇形的弧长变为原来的eq\f(3,2）倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析:由于S＝eq\f（1,2)lR，若l′＝eq\f(3,2)l，R′＝eq\f（1,2)R,则S′＝eq\f（1,2)l′R′＝eq\f（1,2）×eq\f(3，2)l×eq\f(1,2)R＝eq\f（3,4）S.答案：eq\f(3，4）13．已知α＝－800°。（1）把α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π）的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求γ角，使γ与α的终边相同，且