2020高中数学 第一章 立体几何初步 4.2.2 空间图形的公理（二）学案 2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE14学必求其心得，业必贵于专精4.2空间图形的公理(二)［学习目标]1.掌握公理4及等角定理．2。掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角。【主干自填】1．公理4（1）文字表述：eq\o（□,\s\up3(01)）平行于同一直线的两条直线互相平行．(2)符号表述：eq\o（□,\s\up3(02））a∥b且b∥c⇒a∥c.（3）含义:揭示了空间平行线的eq\o（□,\s\up3（03））传递性．2．等角定理（1）研究对象：在空间中的两个角．(2)条件：两边分别eq\o（□,\s\up3(04)）对应平行．（3）结论：这两个角eq\o(□，\s\up3(05））相等或互补．3．异面直线所成的角【即时小测】1．思考下列问题(1）两条互相垂直的直线一定相交吗？提示:不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．（2）公理4及等角定理的作用是什么？提示:公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条（）A．相交 B．异面C．相交或异面 D．平行提示：C如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1，AD相交，3．空间中有两个角α，β，且角α,β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________.提示：60°或120°因为α与β两边对应平行，但方向不确定,所以α与β相等或互补．例1如图,已知E，F,G，H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC，CD，DA的中点．（1)求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若四边形EFGH是矩形,求证：AC⊥BD。[证明］（1)如题图,在△ABD中，∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，EH＝eq\f(1,2）BD.又FG是△CBD的中位线，∴FG∥BD，FG＝eq\f（1，2）BD，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形．（2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形,∴EH⊥GH，∴AC⊥BD。类题通法空间中证明两直线平行的方法(1）借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等．(2）利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行．eq\a\vs4\al（[变式训练1])已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．证明连接AC。∵M,N为CD，AD的中点,∴MN綊eq\f（1,2)AC。由正方体性质可知AC綊A′C′,∴MN綊eq\f（1,2)A′C′。∴四边形MNA′C′是梯形.例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1,C1D1的中点．求证:∠EA1F＝∠F1[证明］如图，取A1B1的中点M,连接F1M,BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1所以四边形BMF1C为平行四边形,所以BM∥CF1因为A1M＝eq\f（1,2）A1B1,BE＝eq\f(1,2)AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形所以BM∥A1E,所以A1E∥CF1.同理可证A1F∥CE1因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反,所以∠EA1F＝∠F1CE类题通法求证两角相等的两种方法（1）应用等角定理,在证明的过程中常用到公理4，注意两角对应边方向的讨论．(2)应用三角形全等或相似．eq\a\vs4\al([变式训练2]）长方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：(1)D1E∥BF；（2)∠B1BF＝∠D1EA1。证明（1)取BB1的中点M，连接EM，C1M在矩形ABB1A1中易得EM綊A1B1,∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M在矩形BCC1B1中,易得MB綊C1F∴BF∥C1M，∴D1E∥BF(2）∵ED1∥BF，BB1∥EA1,又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1。例3如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与［解]解法一:如图所示，连接A1C1，B1D1,并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G,C则OG∥B1D，EF∥A1C1∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C∴异面直线DB1与EF所成的角为90°。解法二：如图所示，连接A1D,取A1D的中点H，连接HE，则HE綊eq\f（1，2)DB1。于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1,则EF＝eq\f(\r(2),2），HE＝eq\f(\r(3），2)，取A1D1的中点I，连接HI，IF,则HI⊥IF。∴HF2＝HI2＋IF2＝eq\f(5,4).又∵EF2＋HE2＝eq\f（5，4），∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.类题通法求两条异面直线所成的角的一般步骤（1)构造：根据异面直线的定义,用平移法（常用三角形中位线、平行四边形性质)作出异面直线所成的角或其补角．（2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角．(3）计算:求角度,常利用三角形．（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．eq\a\vs4\al([变式训练3］)如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD,AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．解如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG。∵E、F分别为BC、AD的中点，∴EG綊eq\f(1，2)CD，GF綊eq\f(1，2）AB，∴∠GFE或其补角就是异面直线EF与AB所成的角．∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，∴∠EGF＝90°。∵AB＝CD,∴EG＝GF,∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°,即异面直线EF与AB所成的角为45°.易错点⊳不能从空间考虑图形致误[典例]在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交［错解］如图,∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD。故选A。[错因分析]错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内，考虑问题不全面．［正解]D构造图形：（1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD（如图（1））;(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD（如图(2)）；（3)将图(2）中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.由（1）知AB∥CD，由（2)知AB与CD相交，由（3）知AB与CD是异面直线．课堂小结1。平行公理又称平行线的传递性,它表明空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行．它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节.2。要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件.1．空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案C解析因为空间四边形的两条对角线长度相等，所以根据三角形中位线的性质可知，得到的四边形的四条边相等且对边互相平行，故选C.2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（)A．有无数条 B．有两条C．至多有两条 D．有一条答案A解析我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l,以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．满足条件的直线有无数条,故选A。3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中,E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1答案60°解析连接BC1，BD，DC1,因为EF∥BC1，B1D1∥BD,所以∠C1BD即为异面直线EF与B1D1所成的角或其补角．因为△C1BD为正三角形，所以∠C1BD＝60°，即异面直线EF与B1D1所成的角为60°.4．在正方体ABCD－A