2022年河南省郑州二中等八校数学高三第一学期期末统考试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．2．已知集合，则集合（）A． B． C． D．3．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．函数f(x)＝的图象大致为()A． B．C． D．5．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．6．函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)7．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（）A． B． C．1 D．8．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点仅有一个；②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；③无论过点的直线在什么位置，总有；④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数在上单调递增，则的取值范围（）A． B． C． D．10．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（）A． B． C．24 D．11．把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．12．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若、满足约束条件，则的最小值为______.14．函数在内有两个零点，则实数的取值范围是________.15．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.16．已知向量，，，则_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面积．18．（12分）已知数列和满足：.（1）求证:数列为等比数列；（2）求数列的前项和.19．（12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．20．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.21．（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：45678的近似值551484031097298122．（10分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此双曲线的渐近线方程为：.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.2、D【解析】

弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.【详解】因，所以，故，又，，则，故集合.故选：D.【点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.3、C【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．【详解】①当时，，满足题意，②当时，，，，，故不恒成立，③当时，设，，令，得，，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是2个，故选：．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.4、D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.5、D【解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6、D【解析】

由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.【详解】分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.详解：因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后，得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7、B【解析】

设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.【详解】由题意可知点，设点、，设直线的方程为，由于点是的中点，则，将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，由韦达定理得，得，，解得，因此，直线的斜率为.故选：B.【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.8、C【解析】

①：由抛物线的定义可知，从而可求的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.【详解】解：对于①，设，由抛物线的方程得，则，故，所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，故，当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，，且的斜率不为0，则设方程为：，设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，，整理得，则，所以，则.故的倾斜角互补，所以，故③正确.对于④，由题意知，由③知，则，由，知，即三点在同一条直线上，故④正确.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.9、B【解析】

由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.10、A【解析】

推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.【详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取的中点，连结，则，且，，，，平面，平面，，四面体的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.11、D【解析】

试题分析：把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再将图象向右平移个单位，可得的图象，那么所得图象的一个对称中心为，故选D.考点：三角函数的图象与性质.12、A【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14、【解析】

设，，设，函数为奇函数，，函数单调递增，，画出简图，如图所示，根据，解得答案.【详解】，设，，则.原函数等价于函数，即有两个解.设，则，函数为奇函数.，函数单调递增，，，.当时，易知不成立；当时，根据对称性，考虑时的情况，，画出简图，如图所示，根据图像知：故，即，根据对称性知：.故答案为：.【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.15、【解析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，，，，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.16、2【解析】

由得，算出，再代入算出即可.【详解】，，，，解得：，，则.故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）整理得：，再由余弦定理可得，问题得解．（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解．【详解】（1）由题意，得，∴；（2）由正弦定理，得，,∴.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题．18、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，判断出，由此利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，∴为常数列，且，∴，∴∴【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题.19、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）根据菱形的特征和题中条件得到平面，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；

2建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，，平面平面，又是的中点，，又平面（2）∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角．平面，∴直线与平面所成的角为，即．因为，则在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．则所以设平面的一个法向量为，则，可得，取平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值的大小为．（注：问题（2）可以转化为求二面角的正弦值，求出后，在中，过点作的垂线，垂足为，连接，则就是所求二面角平面角的补角，先求出，再求出，最后在中求出．）【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题．20、（1）当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）【解析】

（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，确定单调区间；（2）题意说明,利用导数求出的