2022-2023学年河南省镇平县第一中学高三数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知平面向量，，，则实数x的值等于（）A．6 B．1 C． D．3．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．4．已知集合，，若，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（）A．10 B．32 C．40 D．806．已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则（）A．10 B．11 C．12 D．137．函数（或）的图象大致是（）A． B． C． D．8．如图所示，为了测量、两座岛屿间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，再开回处，由向西开百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则、两座岛屿间的距离为（）A．3 B． C．4 D．9．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．810．下列函数中，在区间上为减函数的是（）A． B． C． D．11．已知向量，则（）A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()12．已知集合，则元素个数为()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在等差数列（）中，若，，则的值是______.14．已知，，且，则的最小值是______.15．平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为16．若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）①，，；②，，；③，，；④，，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）18．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.19．（12分）已知函数.（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.（2）若函数在区间上不单调，证明：.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．21．（12分）的内角，，的对边分别是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面积.22．（10分）已知，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得，即，已知，解得.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.2、A【解析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】，，，，即，故选：A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.3、A【解析】

设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为，，可得，在等式两边平方得，化简得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.4、B【解析】

解出,分别代入选项中的值进行验证.【详解】解：，.当时,，此时不成立.当时,，此时成立，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.5、D【解析】

根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得，最后依据，可得结果.【详解】由题可知：当时，常数项为又展开式的二项式系数和为由所以当时，所以项系数为故选：D【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.6、D【解析】

利用等差数列的通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由，，构成等差数列可得即又解得：又所以时，.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.7、A【解析】

确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数（或）为偶函数，所以图象关于轴对称，排除B，C，当时，，排除D，故选：A．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．8、B【解析】

先根据角度分析出的大小，然后根据角度关系得到的长度，再根据正弦定理计算出的长度，最后利用余弦定理求解出的长度即可.【详解】由题意可知：，所以，，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.9、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．10、C【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.11、D【解析】

由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.【详解】∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A；显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B；∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C；∴•（）＝﹣2+2＝0，故⊥（），故D正确，故选：D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.12、B【解析】

作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-15【解析】

是等差数列，则有，可得的值，再由可得，计算即得.【详解】数列是等差数列，，又，，，故.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出和公差，再计算.14、1【解析】

先将前两项利用基本不等式去掉，，再处理只含的算式即可．【详解】解：，因为，所以，所以，当且仅当，，时等号成立，故答案为：1．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题．15、【解析】

根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果【详解】因为,且α+β=1，所以A,B,C三点共线，因此点C的轨迹为直线AB:【点睛】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.16、①②④【解析】

由题意可知，若要存在使得成立，我们可考虑两函数是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，，进而判断【详解】①时，令，则，单调递增，，即.令，则，单调递减，，即，因此，满足题意.②时，易知，满足题意.③注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为，易知，，因此不存在直线满足题意.④时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为.令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.因此，满足题意.故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】

（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意，解得.（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下：擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100，对照表格可知，，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明.【详解】（Ⅰ）由已知椭圆过点得，，又，得，所以，即椭圆方程为.（Ⅱ）证明：由，得，由，得，由韦达定理可得，，设的中点为，得，即，，的中垂线方程为，即，故得中垂线恒过点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.19、（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析【解析】

（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.【详解】（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵，所以函数在区间内有零点，∵，函数在区间上没有零点，故函数只有一个零点.（2）证明：函数，则当时，，不符合题意；当时，令，则，所以在上单调增函数，而，又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，且，即两边取自然对数，得即，要证，即证，先证明：，令，则∴在上单调递增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.20、（1）见解析（2）【解析】

（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，，，，，，设平面的法向量为，则由得，令，则，，所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面