高考数学(人教版)总复习“提高分”课时作业72空间图形的基本关系与公理(含答案解析)

第7章第2节学科王课时作业学科王【考点排查表】观察考点及角度难度及题号学科王错题记录基础中档稍难学科王几何体的表面积6,811几何体的体积27学科王13几何体的张开、折叠4512球与几何体的接切1,3910一、选择题1．(2010·宁高考辽)已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于()A．4πB．3πC．2πD．π【剖析】将三棱锥S－ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为1,1，2，长方体的体对角线长为球O的直径2R，即2R＝12＋12＋2，∴R＝1，S球＝4π，应选学科王【答案】A2．(2013潍·坊模拟)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为()142284A.3B.3280140C.3D.3【剖析】依照三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，以下列图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而获取的，所以所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－11284.3××2×2×2＝32【答案】B4π3．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是()323A.3B.3C.232D.233【剖析】设正方体的外接球半径为r，正方体棱长为a，4423则3πr3＝3π，∴r＝1.∴3a＝2r＝2.∴a＝3.【答案】D4．圆锥母线长为R，侧面张开图圆心角的正弦值为3，则高等于()2223A.3B.2R352235C.6RD.3R或6R【剖析】张开后圆心角为θ＝60°或120°，利用2πr＝60π120π180·R或2πr＝180R，求出底面半径，R或R，r＝6322∴高h＝6R或3R.【答案】D学科王5．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()a3a3A.6B.1232C.12a3D.12a3【剖析】设正方形ABCD的对角线AC、BD订交于点E，沿AC折起后，依题意得：当BD＝a时，BE⊥DE，DE⊥面ABC，∴三棱锥D－ABC的高为DE＝22a，1122∴VD－ABC＝·a2·a＝12a3.322【答案】D6．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的截面，则此截面面积是球表面积的()13A.16B.161C.12D.8【剖析】由题意可得截面圆半径为3332R(R为球的半径)，所以截面面积为π2R2＝4πR2，3πR24πR2，则43，应选B.又球的表面积为＝4πR216【答案】B二、解答题7．(2011·海高考上)若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．【剖析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则πrl＝2π，r＝1，πr2＝π，∴l＝2.h＝l2－r2＝22－12＝3.∴圆锥的体积V＝1π·123·＝3π33【答案】33π学科王8．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．【剖析】设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·＝2r4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，依照已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·＝2r2πr3，球的体积是42πr33πr3，所以圆柱的体积和球的体积比是4＝3∶2.3πr3【答案】3∶29．若是三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2、3cm2，那么它的外接球体积是________．【剖析】依题意，设这个三棱锥的侧棱分别为a、b、c，则有ab＝12cm2，bc＝8cm2，ac＝6cm2，解得a＝3cm，b＝4cm，c＝2cm.这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长、宽、高的长方体的外接球，因别的接球的半径为29292cm，体积为629πcm3.【答案】2929πcm36三、解答题10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都等于6，且各极点都在同一球面上，求此球的表面积．【解】如图，三棱柱的外接球球心为O，其中D为上底面三角形外接圆的圆心，其中AD＝33，又OD＝3，故在Rt△OAD中可得R＝|OA|＝3＋32＝21，故球3×6＝2的表面积为4π(21)2＝84π.11．如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；求这个几何体的表面积及体积．【解】这个几何体的直观图以下列图．这个几何体可看作是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积学科王1S＝5×22＋2×2×2＋2××(2)22＝22＋42(cm2)，所求几何体的体积

1V＝23＋2×(

2)2

×2＝10(cm3)．12．如图1，在直角梯形ABC沿AC折起，使平面

ABCD中，∠ADC⊥平面

ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ABC，获取几何体D－ABC，如图2所示．求证：BC⊥平面ACD；求几何体D－ABC的体积．【解】(1)证明：在图1中，可得AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，BC⊥平面ACD.由(1)可知BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝22，S△ACD＝2，1142∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×22＝，由VD－ABC＝VB－ACD可知几何体D－333ABC的体积为432.四、选做题13．周围体的六条棱中，有五条棱长都等于a.求该周围体的体积的最大值；当周围体的体积最大时，求其表面积．【解】(1)如图，在周围体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取中点为P，BC的中点为E，连接BP、EP、CP.获取AD⊥平面BPC，学科王

AD

的VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC113·S△BPC·AP＋3S△BPC·PD13·S△BPC·AD＝11a2－x2－a2··a44·x32＝a－12≤a3a2＝1612·28a3当且仅当x＝2a时取等号．1∴该周围体的体积