2020高中数学 第三章 函数 .1.1.1 函数的概念练习（含解析）第一册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE20-学必求其心得，业必贵于专精第1课时函数的概念最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域．知识点一函数的概念1．函数的概念一般地,给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x,按照对应关系f，在集合B（集合B一般默认为实数集R，因此常常略去不写．）中都有唯一确定的实数y＝f(x）与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y＝f(x),x∈A。2．函数的定义域和值域函数y＝f（x）中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B｜y＝f(x），x∈A｝称为函数的值域．eq\x（状元随笔)对函数概念的3点说明(1)当A,B为非空实数集时,符号“f:A→B”表示A到B的一个函数．(2）集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3）符号“f”表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同,对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．［基础自测]1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是（）A．A＝｛－1,0，1｝，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1},B＝{－1,0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝｛平行四边形}，B＝R，f:求A中平行四边形的面积解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义,在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集,故不符合函数的定义．综上，选A.答案:A2．函数f(x）＝eq\f(\r(x－1）,x－2)的定义域为（）A．(1，＋∞）B．［1，＋∞)C．[1,2）D．[1，2）∪（2，＋∞）解析:使函数f（x）＝eq\f(\r（x－1)，x－2)有意义，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－1≥0，，x－2≠0，))即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为｛x|x≥1且x≠2｝．故选D.答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是(）A．y＝eq\f（x2－9，x－3）与y＝x＋3B．y＝eq\r(x2）－1与y＝x－1C．y＝x0（x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝x＋1,x∈Z与y＝x－1，x∈Z解析：A中两函数定义域不同;B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．若函数f(x)＝eq\r（x）＋eq\f（6，x－1），求f(4)＝________.解析:f(4)＝eq\r（4）＋eq\f（6，4－1）＝2＋2＝4.答案：4题型一函数的定义［经典例题]例1根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数:(1)A＝｛1，2,3}，B＝｛7,8,9}，f（1)＝f(2)＝7，f（3)＝8；（2）A＝{1,2,3}，B＝｛4，5,6},对应关系如图所示;(3）A＝R，B＝｛y|y>0}，f：x→y＝|x｜；(4)A＝Z，B＝｛－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f（n)＝1。【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此（1）(4）中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．（2）集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．（3）A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题（1)可以看出函数f（x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义,同时,一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法:①A,B必须都是非空数集;②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．［注意］A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一"，而不能是“一对多”．跟踪训练1（1)设M＝｛x｜0≤x≤2｝，N＝{y｜0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个（2）下列对应是否是函数？①x→eq\f（3,x)，x≠0，x∈R；②x→y,其中y2＝x,x∈R,y∈R.解析：（1）图号正误原因①×x＝2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性（2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的eq\f(3，x)与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时,y＝±1,即一个非零自然数x，对应两个y的值,不符合函数的概念．答案：（1）B(2）①是函数②不是函数1①x∈[0，1]取不到[1，2］。③y∈［0，3]超出了N∈［0，2］范围.④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意.(2)关键是否符合函数定义．题型二求函数的定义域［教材P83例1]例2求下列函数的定义域：（1)f（x)＝eq\f（1，\r（x＋1)）；（2)g（x）＝eq\f（1,x)＋eq\f(1，x＋2).【解析】（1）因为函数有意义当且仅当eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1≥0,，\r(x＋1)≠0，))解得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．（2）因为函数有意义当且仅当eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠0,，x＋2≠0，))解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为（－∞，－2)∪（－2,0)∪(0，＋∞).教材反思求函数的定义域（1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.（2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2求下列函数的定义域:(1）f(x)＝eq\f(6,x2－3x＋2)；(2）f(x）＝eq\f（x＋10，\r（|x｜－x）)；（3）f(x）＝eq\r(2x＋3）－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x).解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2,故函数的定义域为｛x|x≠1且x≠2｝．(2）要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，，|x|－x〉0，）)解得x〈0且x≠－1。所以定义域为（－∞，－1）∪（－1，0)．(3)要使函数有意义,则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋3≥0，，2－x>0,,x≠0，））解得－eq\f(3，2)≤x<2，且x≠0.故定义域为eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3，2），0)）∪(0,2)．（1)分母不为0(2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（偶次根式被开方数≥0，x＋10底数不为0）)(3）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（偶次根式被开方数≥0，分母不为0)）题型三同一函数[教材P66例3］例3下面各组函数中为相同函数的是(）A．f(x）＝eq\r（x－12），g(x)＝x－1B．f（x)＝eq\r（x2－1)，g(x）＝eq\r(x＋1）·eq\r(x－1)C．f（x）＝x,g(x)＝eq\f（x2，x）D．f（x)＝x0与g（x)＝eq\f（1，x0)【解析】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)＝|x－1|与g（x）对应关系不同,故排除选项A,选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D。【答案】D方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点（1）判断同一函数的三个步骤（2）两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3试判断下列函数是否为同一函数．（1)f(x）＝eq\f(x2－x,x),g(x）＝x－1；（2)f（x)＝eq\f(\r（x),x），g(x)＝eq\f(x，\r（x)）；(3)f(x)＝x2,g（x）＝(x＋1）2；（4)f(x)＝｜x｜,g(x)＝eq\r（x2）.解析：序号是否相同原因（1）不同定义域不同,f(x）的定义域为{x|x≠0｝,g（x)的定义域为R（2）不同对应关系不同，f（x)＝eq\f(1,\r（x)），g(x)＝eq\r(x)(3)不同定义域相同，对应关系不同（4)相同定义域和对应关系相同判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定,因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型四求函数的值域［经典例题］例4求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈（－1，3]．(2）y＝eq\f（2x，x＋1)。（3）y＝x2－4x＋5，x∈｛1,2,3}．（4)y＝x2－4x＋5。【解析】（1)因为－1<x≤3,所以－12≤－4x<4,所以－9≤3－4x〈7，所以函数y＝3－4x,x∈（－1,3]的值域是［－9，7)．(2)因为y＝eq\f（2x，x＋1）＝eq\f(2x＋1－2，x＋1)＝2－eq\f（2,x＋1）≠2，所以函数y＝eq\f(2x,x＋1)的值域为｛y｜y∈R且y≠2｝．（3）函数的定义域为｛1，2，3｝，当x＝1时,y＝12－4×1＋5＝2，当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，当x＝3时,y＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1,2｝，（4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1,x∈R时，（x－2）2＋1≥1，所以这个函数的值域为［1，＋∞）．eq\x(状元随笔）（1)用不等式的性质先由x∈（－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．（2)先分离常数将函数解析式变形,再求值域．(3)将自变量x＝1,2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域。方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到．（2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．（3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x）＝ax＋b＋eq\r（cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0）型的函数常用换元法．(4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4求下列函数的值域:（1）y＝2x＋1，x∈｛1，2,3，4,5}；(2)y＝eq\r(x)＋1;(3）y＝eq\f(1－x2,1＋x2）;(4）y＝－x2－2x＋3（－5≤x≤－2）．解析：（1)将x＝1，2，3，4，5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为｛3，5,7，9,11｝．(2）因为eq\r(x)≥0，所以eq\r(x）＋1≥1，即所求函数的值域为［1，＋∞）．(3）因为y＝eq\f（1－x2，1＋x2)＝－1＋eq\f(2,1＋x2）,所以函数的定义域为R，因为x2＋1≥1，所以0<eq\f（2,1＋x2)≤2.所以y∈（－1,1］．所以所求函数的值域为（－1，1］．(4）y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1。所以1≤（x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为［－12，3］．（3）先分离再求值域（4）配方法求值域课时作业15一、选择题1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f（x)的图像的是（）解析：对于1个x有无数个y与其对应,故不是y的函数．答案：A2．函数f(x）＝eq\r(x＋3)＋eq\f（2x＋30,\r（3－2x)）的定义域是（)A.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（－3，\f(3，2））)B。eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（－3，－\f（3，2）））∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3，2)))C.eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（－3，\f（3，2）)）D。eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3，2)）)解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3≥0，,3－2x>0，，2x＋3≠0，)）解得－3≤x<eq\f（3，2）且x≠－eq\f（3,2），故选B.答案:B3．已知函数f（x）＝－1，则f(2）的值为(）A．－2B．－1C．0D．不确定解析：因为函数f（x)＝－1，所以不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1.故选B.答案：B4．下列各组函数表示相等函数的是（)A．f（x)＝x－2,g（x)＝eq\f（x2－4，x＋2）B．f(x)＝eq\f（｜x｜，x)，g(x)＝1C．f（x）＝x2－2x－1,g(t)＝t2－2t－1D．f（x)＝eq\f（1，2)，g（x)＝eq\f（x－10,2)解析:选项A中f(x）的定义域为R，g（x)的定义域为{x|x≠－2}，故定义域不同,因此不是相等函数；选项B中f(x)的定义域为｛x|x≠0｝，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项D中f(x）的定义域为R，g(x）的定义域为｛x|x≠1｝，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的．答案：C二、填空题5．已知函数f(x）＝eq\f（6，x2－1)，求f（2）＝________。解析：f(2)＝eq\f（6,4－1)＝2.答案：26．函数f（x）的图像如图所示,则f(x）的定义域为________，值域为________．解析：由f(x）的图像可知－5≤x≤5,－2≤y≤3.答案：［－5，5］[－2,3]7．若A＝{x|y＝eq\r(x＋1)｝,B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.解析：由A＝｛x｜y＝eq\r(x＋1）｝,B＝｛y|y＝x2＋1}，得A＝［－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)三、解答题8．(1)求下列函数的定义域:①y＝eq\r（4－x）；②y＝eq\f(1,｜x｜－x)；③y＝eq\r(5－x)＋eq\r（x－1)－eq\f（1，x2－9)；（2）将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．解析:（1）①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4｝．②分母|x｜－x≠0,即|x｜≠x,所以x<0。故函数的定义域为｛x|x<0}．③解不等式组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（5－x≥0，，x－1≥0，，x2－9≠0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5，，x≥1，，x≠±3。))故函数的定义域是{x｜1≤x≤5，且x≠3｝．(2)设矩形一边长为x，则另一边