2020高中数学 第三章 概率 2 均匀随机数的产生练习（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精第24课时均匀随机数的产生知识点一均匀随机数的产生1．用均匀随机数进行随机模拟,则()A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C．不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积D．最适合估计古典概型的概率答案C解析很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值．用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．2．与均匀随机数特点不符的是(）A．它可以是[0,1］内的任何一个实数B．它是一个随机数C．出现每一个实数都是等可能的D．是随机数的平均数答案D解析A，B，C是均匀随机数的定义,均匀随机数的“均匀”是“等可能”的意思,并不是“随机数的平均数”．知识点二用随机模拟法近似计算几何概型的概率3．在长为4,宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的半圆．（1）随机在矩形内撒一粒豆子,计算豆子落入半圆的概率．（2）在矩形中随机撒一把豆子，怎样利用计算机模拟的方法估计π的值？解(1)根据面积的计算公式和几何概型定义得P＝eq\f(半圆的面积,矩形的面积)＝eq\f（\f（1,2)π·\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（4,2）)）2，8)＝eq\f（π，4）．（2）由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈eq\f(落在半圆中的豆子数，落在矩形中的豆子数）×4,这样就得到π的近似值．4．用随机模拟的方法求曲线y＝eq\r（x）与x轴和直线x＝1所围成的图形的面积．解如图所示,阴影部分是由曲线y＝eq\r（x）与x轴和直线x＝1所围成的图形，设阴影部分的面积为S．随机模拟的步骤：(1）利用计算机产生两组［0，1］内的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；（2）统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1（满足条件y＜eq\r（x）的点（x，y)的个数)；（3)计算频率eq\f(N1,N),即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4）直线x＝1，y＝1和x，y轴围成的正方形的面积是1，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为eq\f（S，1）＝S,则S＝eq\f(N1,N）,即阴影部分面积的近似值为eq\f（N1，N)．易错点随机变换公式的应用5．用计算器或计算机产生20个［0，1］之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1,3］上，则需要经过的线性变换是（）A．y＝3x－1B．y＝3x＋1C．y＝4x＋1D．y＝4x－1易错分析易弄错随机数x或弄错基本事件的取值范围致错．正解D因为随机数x∈[0，1]，而基本事件都在区间[－1，3］上,其区间长度为4,所以把x变为4x，因为区间左端值为－1，所以4x再变为4x－1，故变换公式为y＝4x－1．一、选择题1．在区间［0,3]上任取一点,则此点大于1的概率是（)A．eq\f(1，3)B．eq\f（2,3)C．eq\f（1，2）D．eq\f(1，3)答案B解析由几何概型的概率公式知，此数大于1的概率是eq\f（2,3）．2．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术"得出圆周率π的值在3．1415926与3．1415927之间,成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人,他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用随机模拟的方法估算圆周率,向正方形及其内切圆内随机投掷豆子(豆子大小忽略不计),投掷在正方形内的400颗豆子中,落在内切圆内的有316颗,则估算圆周率的值为()A．3．14B．3．15C．3．16D．3．17答案C解析设正方形的边长为2，则其内切圆的半径为1，根据几何概型的概率计算公式可得eq\f（π,4)＝eq\f（316，400)，解得π≈3．16．3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入,而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1．5cm的圆，中间有边长为0．5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）A．eq\f(4，9π)B．eq\f（9,4π)C．eq\f(4π,9）D．eq\f（9π，4）答案A解析由题意所求的概率为P＝eq\f(0.5×0.5，π×\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1。5,2)））2)＝eq\f（4，9π)．4．将［0，1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需要实施的变换为()A．a＝8a1B．a＝8a1＋2C．a＝8a1－2D．a＝6a1答案C解析利用伸缩和平移变换，a＝［6－(－2)］a1－2＝8a1－2．5．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离小于1的概率为（）A．eq\f(1,4）B．eq\f(1，2)C．eq\f(π，4）D．π答案C解析由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|＜1．根据几何概型的概率计算公式可知,动点P到定点A的距离｜PA｜＜1的概率为eq\f(S扇形ABD,S正方形ABCD)＝eq\f(π，4),故选C．二、填空题6．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于eq\f(1，2)，则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于eq\f（1，4）,则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为______．答案eq\f（13，16）解析由题意画出示意图，如图所示．表示小波在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为eq\f(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）2π－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，4）)）2π,π）＝eq\f(3,16），因此他不在家看书的概率为1－eq\f(3,16)＝eq\f(13，16）．7．下列程序框图可用来估计π的值(假设函数CONRND（－1，1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1，1）内的任何一个实数）．如果输入1000，输出的结果为788，则由此可估计π的近似值为________．(保留四位有效数字）答案3．152解析设点P（A，B)，当A，B满足A2＋B2≤1时，则点P在单位圆内，输入1000输出788说明在由直线x＝±1,y＝±1围成的正方形内任取1000个点，有788个点落在单位圆内．又单位圆是该正方形的内切圆，则在正方形内任取一点落在其内切圆内的概率估计是eq\f（788,1000）＝0．788,设任取一点落在其内切圆内为事件A，又单位圆的面积是π×12＝π，正方形的面积是22＝4，则P(A）＝eq\f(单位圆的面积，正方形的面积)＝eq\f(π,4)，所以eq\f（π，4）≈0．788．解得π≈4×0．788＝3．152．8．设函数y＝f（x）在区间[0，1］上的图象是一条连续不断的曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟的方法近似计算由曲线y＝f(x）及直线x＝0，x＝1，y＝0所围区域的面积S．先产生两组（每组N个)区间［0，1]上的均匀随机数x1,x2，…，xN和y1,y2，…，yN，由此得到N个点（xi，yi）(i＝1，2，…，N）．再数出其中满足yi≤f（xi)（i＝1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得到S的近似值为________．答案eq\f(N1，N)解析这种随机模拟的方法是在矩形内生成了N个点，而满足条件的点有N1个，所以根据比例关系可得eq\f(S,S矩形)＝eq\f（N1,N），又矩形的面积为1，所以由随机模拟方法得到S的近似值为eq\f(N1,N）．三、解答题9．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0，100]上是等可能出现的．单项80分以上,且总分170分以上才合格，求他合格的概率．解设某人两项的分数分别为x分、y分，则0≤x≤100，0≤y≤100，某人合格的条件是：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（80＜x≤100,,80＜y≤100，,x＋y＞170，)）在同一平面直角坐标系中,作出上述区域（如图阴影部分所示)．由图可知：0≤x≤100，0≤y≤100构成的区域面积为100×100＝10000，合格条件构成的区域面积为S五边形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－eq\f（1,2)×10×10＝350,所以所求概率为P＝eq\f（350，10000)＝eq\f(7，200)．该人合格的概率为eq\f（7，200)．10．现向如图所示的正方形区域内随机地投掷飞镖，已知阴影部分由直线6x－3y－4＝0和x＝1，y＝－1围成，用随机模