22命题与证明一

命题与证明定义和命题学习目标1.结合具体例子，了解定义、命题的含义及它们的区别；2.结合具体例子，知道一个命题由条件和结论两部分组成，会把一个命题写成：“如果••••••，那么••••••”的形式；3.结合具体例子，了解互逆命题的含义，会写出一个命题的逆命题.如图：在四边形ABCD中，ABCD,ADBC,在四边形EFGH中，EFGH,EH与FG不平行，说出它们是什么四边形？你是根据什么做出这样的判断的？问题情境EFHGDCAB平行四边形梯形前面我们学习了许多的概念，请举例说明：

如等腰三角形、等边三角形以及三角形的高线、中线、角平分线，一元一次方程，代数式，因式分解，轴对称图形等问题情境如：

不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形；

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.ABCD分母含有未知数的方程叫分式方程。在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做两直线平行。还有很多，大家回顾一下这些概念。

像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.

例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.

“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.结论说一说说出下列概念的定义：(1)方程；(2)代数式;(3)三角形角平分线我们把含有未知数的等式叫做方程.把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式.在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.注意：定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征.（4）同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线下列哪些语句属于概念的定义？（1）三角形的内角和等于1800（2）把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点（3）等边三角形是特殊的等腰三角形判断

在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断.

数学中同样有许多问题需要我们作出判断.探究交流下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？（6）请把手机交出来！议一议语句(1)(2)(3)对事情作出了判断语句(4)(5)(6)没有对事情作出判断

一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.

例如，上述语句(1)(2)(3)都是命题；语句(4)(5)(6)没有对事情作出判断，就不是命题.

（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；

（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？（6）请把手机交出来！结论命题与定义有什么区别？命题是一个陈述句，就是判断一件事情的句子。而祈使句、疑问句，感叹句均不是命题。如：今天会下雨吗？而定义仅对事物的特征属性进行描述，是什么叫什么。(1)如果a=b且b=c，那么a=c.(2)如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余.特点：它们的叙述方式都是“如果……，那么……”的形式.条件结论2.观察：下列命题的表述形式有什么共同点？大家知道“如果”引出的部分称为什么？

“那么”引出的部分称为什么？条件结论→是指已知的事项→由已知的事项得出的结果(1)如果a=b且b=c，那么a=c.(2)如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余.条件结论（1）命题的组成：命题由______和_______两部分组成.（2）命题的形式：命题都可写成_____________________的形式.小结：由上得到条件“如果……，那么……”结论说一说（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（4）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.(2).如果两个数互为相反数，那么它们的和是0.（3）两条直线被第三条直线所截，

如果同位角相等，那么这两条直线平行。你能指出它们的条件与结论吗？有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.两个角是对顶角两个角是同一个角的余角思考交流：我们可把它改成“如果……，那么……”的形式.做一做：你能把下列命题改成“如果……，那

么……”的形式吗？①内错角相等，两条直线平行如果_________________,那么______________②对顶角相等如果_________________,那么______________③同角的余角相等如果_____________________,那么____________这两个角相等这两个角相等两个内错角相等这两条直线平行做一做（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：命题条件结论①能被2整除的数是偶数.②有公共顶点的两个角是对顶角.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.那么这个数是偶数如果一个数能被2整除那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等如果两条直线平行那么这两条直线平行如果两个同位角相等由上可见把一个命题改写成“如果…，那么…”的形式时，要注意添上省略的词语使句子通顺且不改变原意.3.交流：比较下面两个命题的条件和结论之间有什么联系？（1）互逆命题

：只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题①两直线平行，同位角相等.②同位角相等，两直线平行.联系：命题①的条件和结论分别是命题②的

结论和条件，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题（2）怎样得到一个命题的逆命题呢？练习1.

下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？（1）如果x=3，求的值；不是命题是命题不是命题是命题(5)两点之间线段最短；(6)连接两点的线段叫做这两点之间的距离.(8)如果a=b且b=c，那么a=c(7)内错角相等，两条直线平行(9)如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.是命题是命题是命题是命题是命题2.

将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点.（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除.（3）互为相反数的两个数之和等于0；如果两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0.（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角.3.

写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形.答：绝对值相等的两个数相等答：如果m是有理数，那么它也是整数答：内错角相等，两直线平行答：等腰三角形的两边相等4.在下列空格上填写适当的概念：（1）垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的

。（2）在数轴上，表示一个实数的点与原点的距离叫作这个实数的.垂直平分线绝对值1.指出下列语句中，哪些是命题？哪些不是？1)直线a⊥b;2)同位角都相等吗？3)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；4)“0”不能做分母；5)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.×√×√√再练习2.指出下列命题的题设、结论：1)如果两直线相交，那么它们只有一个交点；2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；3)如果∠1=∠2,∠2=∠3，那么∠1=∠3；4)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；5)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.3.把下列命题写成“如果······那么······”的形式，并指出哪是题设？哪是结论？1)对顶角相等；2)两直线平行，同位角相等；3)和为0的两个数互为相反数；4)若a∥b，b∥c，则a∥c；5)等角的余角相等；6)垂直于同一直线的两直线平行；1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.2)如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的同位角相等.3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数.4)如果a∥b，b∥c,

那么a∥c.5)如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等.6)

如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行.4.叙述下列概念的定义：（1）等腰三角形；（2）等边三角形.（1）什么是概念的定义?两个命题间的关系：如果一个命题的