【班海精品课件】冀教版（新）九下-30.2 二次函数的图像和性质 第一课时

30.2二次函数的图像和性质第1课时一键发布配套作业&AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入(1)一次函数的图象是什么？

一条直线(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？

列表——描点——连线(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？主要工具是函数的图象回顾旧知班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点二次函数y=ax2的图像在同一直角坐标系中，画出函数y

=x2

和y

=－x2

的图象，这两个函数的图象相比，有什么共同点？有什么不同点？探索新知y=x2y=－x200.2512.2540.2512.2540－0.25－1－2.25－4－0.25－1－2.25－4x0－211.50.52－1.5－0.5－1

函数图象画法列表描点连线注意：列表时自变量取值要均匀和对称用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结探索新知想一想在图中画出y=x2的图象.它与y=x2，y=2x2的图像有什么相同和不同？探索新知x…-4-3-2-101

234…y=x2在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图像(1)列表(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-5x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=2x28…20.500.524.58…4.58…20.500.524.58…4.5

函数y=x2，

y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比，有什么共同点和不同点?当a＜0时，它的图像又如何呢？探索新知归纳一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.不同点：相同点：探索新知例1在同一坐标系中画出

y1＝2x

2，y2＝－2x

2和

y3＝

x

2的

图像，正确的是图中的()

D探索新知当x＝1时,y1,y2,y3的图像上的对应点分别是(1，2)，(1，－2)，

(1，)，

可知，其中有两点在第一象限，

一点在第四象限，排除B，C；在第一象限内，y1的对应点(1，2)在上，

y3的对应点(1，)在下，排除A.导引：典题精讲1关于二次函数y＝3x2的图像，下列说法错误的是(

)A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图像关于x轴对称C若二次函数

y＝ax2的图像过点P(－2，4)，则该图像

必经过点(

)A．(2，4)

B．(－2，－4)

C．(－4，2)

D．(4，－2)A典题精讲3关于二次函数

y＝2x2与

y＝－2x2，下列叙述正确的有(

)①它们的图像都是抛物线；

②它们的图像的对称轴都是

y轴；

③它们的图像都经过点(0，0)；

④二次函数

y＝2x2的图像开口向上，二次函数

y＝－2x2的图像

开口向下；

⑤它们的图像关于x轴对称．A．5个B．4个C．3个D．2个A典题精讲函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(

)4A探索新知2知识点二次函数y＝ax2的性质议一议观察二次函数y=x2与

y=－x2的图象，你能发现什么问题？探索新知抛物线y=x2y=－x2顶点坐标对称轴位置开口方向极值（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，最小值为0.当x=0时，最大值为0.探索新知当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。

当a>0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。

当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。

当a<0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。

当x=－2时，y=4当x=－1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4当x=－2时，y=－4当x=－1时，y=－1当x=1时，y=－1当x=2时，y=－4探索新知例2已知函数

y＝－

x

2，不画图象，回答下列各题．(1)开口方向：______；(2)对称轴：_____；(3)顶点坐标：______；(4)当x＞0时，y

随x

的增大而______；(5)当x____时，y＝0；(6)当x____时，函数值y

最____，是___．

导引：根据二次函数

y＝ax2(a≠0)的性质直接作答．向下y轴减小（0，0）=0=0大0探索新知例3

已知抛物线y＝4x2过点(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2＜0

时，y1________y2.导引：方法一：不妨设x1＝－2，x2＝－1，

将它们分别代入y＝4x2中，得y1＝16，

y2＝4，所以y1＞y2.

方法二：在平面直角坐标系中画出抛

物线

y＝4x2，如图，显然y1＞y2.

方法三：因为a＝4＞0，x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，

y随x的增大而减小，所以y1＞y2.＞探索新知总

结方法一运用特殊值法，找出符合题目要求的x1和x2的值，计算出对应的y1和y2的值，再比较它们的大小；方法二运用数形结合思想，根据题意画出图像，利用图象来解题；方法三运用性质判断法，根据抛物线对应的函数表达式的特点，结合图像的性质进行判断．典题精讲不画图像，请指出函数y＝－9x2图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最高(或最低)点．1开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，最高点为(0，0)．解：2若二次函数

y＝－ax2，当x＝2时，y＝

；则当x＝－2时，y＝________．典题精讲先指出抛物线y＝－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标，然后再画出它的图像.2开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．图像如图．解：典题精讲3下列关于函数

y＝36x2的叙述中，错误的是(

)A．图像的对称轴是y轴B．图像的顶点是原点C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．y有最大值4抛物线y＝

x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对

称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个DB典题精讲已知抛物线

y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，

则下列关系式一定正确的是(

)A．y1＞0＞y2

B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0

D．y2＞y1＞0C易错提醒已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．易错点：不能准确地掌握二次函数y＝ax2的图像与性质易错提醒当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；当x＝4时，y＝42＝16.∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2的最小值是1，最大值是16.－1≤x≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而x＝－1时，y＝1；x＝4时，y＝16，所以最大值为16.∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数y＝x2的最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16.错解：诊断：正解：学以致用小试牛刀函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝

(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(

)1C小试牛刀如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则

的值为(

)B.C.D.2D小试牛刀3对于二次函数：①y＝3x2；②y＝

x2；③y＝

x2，它们的图像在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是(

)A．②>③>①B．②>①>③C．③>①>②D．③>②>①A小试牛刀4已知函数

y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．

(1)求m的值．

(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？

(3)当m为何值时，该函数有最小值？解：(1)根据题意，得

解得∴m＝－4或m＝1.小试牛刀(2)∵函数图像的开口向下，∴m＋3＜0.∴m＜－3.∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图像的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0.∴m＞－3.∴m＝1.∴当m＝1时，该函数有最小值．小试牛刀5根据下列条件分别求a的值或取值范围．

(1)函数

y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，

当x＜0时，y随x的增大而增大；(2)函数

y＝(3a－2)x2有最大值；(3)抛物线

y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－

x2的形状相同；(4)函数

y＝axa2＋a的图像是开口向上的抛物线．小试牛刀(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜.(3)由题意得|a＋2|＝

，

解得a1＝－

，a2＝－.(4)由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1.

又由题意知a＞0，∴a＝1.解：小试牛刀已知一次函数

y＝kx＋b与二次函数

y＝ax2的图像如图所示，

其中一次函数的图像与x轴，y轴的交点分别为A(2，0)，B

(0，2)，直线与抛物线的交点分别为P，Q，且它们的纵坐标

的比为1∶4，求这两个函数的表达式．小试牛刀解：把点A的坐标(2，0)和点B的坐标(0，2)分别代入

y＝kx＋b，得

解得∴一次函数的表达式为

y＝－x＋2.设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，则y1∶y2＝1∶4，∴y2＝4y1，即ax12ax22＝1∶4.又点Q在第二象限，点P在第一象限，∴x1∶x2＝－1∶2.∴x2＝－2x1.∴点Q的坐标为(－2x1，4y1)．把P，Q两点的坐标分别代入y＝－x＋2，得

解得∴点P的坐标为(1，1)．把点P的坐标(1，1)代入

y＝a