【班海精品课件】冀教版（新）八下-22.6 正方形 第一课时

22.6正方形第1课时一键发布配套作业&AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形状，不像普通铁钉那样是圆的，而呈正方形，你知道其中的原因吗？你提的问题十分有趣，为什么是正方形而不是圆形，这是正方形独特的性质所起的作用，我们只要再进一步深入接触正方形就会知道其中的道理.班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点正方形的定义做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．问题：什么样的四边形是正方形？探索新知

正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.探索新知正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．要点精析(1)正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．探索新知例1如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE=BE.本题要证明两条线段相等，而证明线段相等的方法有很多，根据题中所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题即可解决．分析：ABCDEF探索新知∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∴∠BAE+∠EAD=90°．∴EA⊥AF，∴∠BAE+∠FAB=90°．∴∠EAD=∠FAB．∴△ABF≌△ADE．∴DE=BF.证明：探索新知总

结

知道正方形就说明它的四边都相等，四个角都是直角.典题精讲如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CFED重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？请指出它们的位置.1共3个．分别是点D、点C和线段CD的中点．解：ABCDEF典题精讲下面四个定义中不正确的是(

)A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的

平行四边形叫做正方形D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2B典题精讲已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(

)A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BCD．BC＝CD3D典题精讲▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．4AC＝BD探索新知2知识点正方形边的性质正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即：①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；②角：四个角都是直角.探索新知例2已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交

点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG

交AO于F，求证：EF∥AB.要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝45°，即要证明OE＝OF，而OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．导引：探索新知∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.证明：探索新知总

结

通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．典题精讲1已知：如图，四边形ABCD和BGFE都是正方形.求证：AE=CG.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.∵四边形BGFE是正方形，∴BE＝BG，∠EBG＝90°.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBG－∠EBC，即∠ABE＝∠CBG.∴△ABE≌△CBG.∴AE＝CG.解：

典题精讲正方形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A．四个角都相等B．四条边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2B典题精讲一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是(

)A．3B．4C．5D．63A典题精讲如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(

)

A.B．2C.＋1D．2＋14B探索新知知识点正方形角的性质例3

如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，

AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．导引：3探索新知∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.解：探索新知总

结

解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．典题精讲如图，正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边.求∠FAB的度数.1由题意可知∠CAE＝∠DAB＝45°.∵在菱形AEFC中，AF平分∠CAE，∴∠FAB＝∠CAE＝22.5°.解：典题精讲如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于点F.求∠AFC的度数.2连接AC，在正方形ABCD中，AC＝BD，AD∥BC，∠DAC＝∠ACD＝45°.∵BD＝CE，∴AC＝CE.∴∠CAE＝∠CEA.∵AD∥CE，∴∠DAF＝∠AEC.∴∠DAF＝∠CAE＝∠DAC＝22.5°.又∵∠ACF＝45°，∴∠AFC＝112.5°.解：典题精讲如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(

)3A典题精讲如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是(

)A．7B．8C．7D．74C易错提醒如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________．易错点：不能将两线段和转化为一条线段而致错学以致用小试牛刀如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(

)A．3

B．4

C．5

D．6B1小试牛刀我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(

)A．(，1)B．(2，1)C．(1，)D．(2，)D2小试牛刀3如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．小试牛刀(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.∵△EBC是等边三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°.∴∠EBA＝∠ECD＝30°.

在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE.证明：小试牛刀(2)由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°.∴∠BAE＝∠BEA＝75°.

同理∠CDE＝∠CED＝75°.∴∠AED＝360°－75°－75°－60°

＝150°.小试牛刀4如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.小试牛刀∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF＝90°，AD＝CD.∵AE＝CF，∴DE＝DF.在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠DAF＝∠DCE.在△AGE和△CGF中，∴△AGE≌△CGF(AAS)，∴AG＝CG.证明：小试牛刀5如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．小试牛刀(1)在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝90°.∵BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，∴∠AEB＝∠DFA＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE≌△DAF(AAS)．证明：小试牛刀(2)∵△ABE≌△DAF，∴BE＝AF＝1，AE＝DF，

设AE＝DF＝x，∵S四边形ABED＝S△ABE＋S△ADE，∴6＝

AE(BE＋DF)，∴6＝

x(1＋x)，∴x1＝3，x2＝－4(舍去)，∴AE＝3，

∴EF＝AE－AF＝2.解：小试牛刀6如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．小试牛刀(1)AG2＝GE2＋