【班海精品课件】冀教版（新）八下-22.4 矩形 第一课时

22.4矩形第1课时一键发布配套作业&AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入两组对边分别平行的四边形是平行四边形.ABCD四边形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBD▱ABCDAC平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；角平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；对角线平行四边形的对角线互相平分；班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)情景导入我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形——矩形.一个角是直角两组对边分别平行平行四边形矩形新课精讲探索新知知识点矩形及其对称性1.如图，剪出一个矩形纸片ABCD，点O是这个矩形的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.

矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？1探索新知2.四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长

保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使

一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角α由钝角先变成直角，再变成锐角.探索新知在这个过程中：(1)这个四边形总是平行四边形吗？(2)当α=90°时，其余三个内角各是多少度的角？(3)当α=90°时，两条对角线的长有什么关系？探索新知归纳矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.探索新知例1如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于点E、F，若AB＝3，BC＝4，那么阴影部分的面积为________．导引：由题意易得到△OEB≌△OFD，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．3探索新知方法一：∵四边形ABCD是矩形，∴由矩形中心对称的性质知S△EBO＝S△FDO，∴阴影部分的面积为矩形面积的.∴S阴影部分＝S△ABO＝×3×4＝3.方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO.在△OEB与△OFD中，∴△OEB≌△OFD.∴S阴影部分＝S△ABO＝

S矩形ABCD＝×3×4＝3.探索新知总

结

矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积求解．体现了转化思想．典题精讲下列说法不正确的是(

)A．矩形是平行四边形B．矩形不一定是平行四边形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形1B典题精讲在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(

)①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④2B探索新知2知识点矩形的边角性质因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考探索新知(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在

的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗？如果是，它

有几条对称轴？(2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你

发现矩形的另外三个角有什么性质？证明你的结论．探索新知归纳矩形的四个角都是直角.探索新知例2如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，

∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO的度数．由∠DAE与∠BAE之和为矩形的一个内角及两角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度数，从而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．导引：探索新知∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝

AC，BO＝

BD，AC＝BD.∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.解：探索新知总

结

矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等腰三角形中来解决．典题精讲1已知：如图，E为矩形ABCD的边AD的中点，连接BE，CE.求证：△EBC是等腰三角形.在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE.∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形．解：典题精讲如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC与BD相交于点O，EF经过点O且分别与AB，CD相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．23典题精讲如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOC3A典题精讲如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为(

)A．5B．4C.D.4D典题精讲如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O.若AO＝5cm，则AB的长为(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm5C探索新知3知识点矩形的对角线性质任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．求证：AC=DB．ABCDO探索新知证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.探索新知归纳矩形的对角线相等.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴∠AOB是等边三角形.∴AO=BO=AB=4cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),即矩形ABCD对角线的长为8cm.探索新知例4如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm.求矩形对角线的长.解：ABCDO探索新知总

结

因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可得到特殊的三角形——等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解．典题精讲矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是__________________________________________________________________________.1①矩形的四个内角都是直角；②矩形的两条对角线相等典题精讲如图，四边形ABCD为矩形，指出图中相等的线段和角.2相等的线段：AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.解：ABCDO典题精讲已知矩形ABCD的边AB=4，BC=5.求对角线AC的长.3如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°.∴AC＝解：ABCD典题精讲如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF丄CE，交AB于点F，DE=2.矩影的周长为16，且CE=EF.求AE的长.4典题精讲在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD，设AE＝x，则CD＝x，AD＝x＋2.∵矩形的周长为16，∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3.即AE＝3.解：在矩形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，因为AB∥CE，BE∥AC，所以四边形ABEC是平行四边形．所以AC＝BE，又因为AC＝BD，所以BD＝BE.典题精讲已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E.求证：BD=BE.5证明：连接PO，在矩形ABCD中，AC＝BD＝

＝5.OA＝OD＝

AC＝

BD＝.S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝

OA·PE＋

OD·PF＝OA·(PE＋PF)＝

S△ADC＝×AD·DC＝3.故PE＋PF＝.典题精讲已知：如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为AD上一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.求PE+PF的值.6解：典题精讲如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，连接DF.求DF的长.7典题精讲连接AC，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠DCF＝90°，因为E为CD的中点，所以DE＝CE.因为AD∥CF，所以∠DAE＝∠CFE.在△ADE和△FCE中，所以△ADE≌△FCE，所以CF＝AD，又因为AD＝BC，所以BC＝CF，又因为DC⊥BF，所以DF＝BD＝＝5.解：典题精讲如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是(

)A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm8A典题精讲9如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝

DE＝2，则四边形OCED的面积为(

)A．2B．4C．4D．8A易错提醒矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为

．4cm2或12cm2易错点：对题意理解不透彻导致漏解.学以致用小试牛刀在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是(

)A．7°B．21°C．23°D．24°1C小试牛刀如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(

)

A．4.8B．5C．6D．7.2A2小试牛刀3在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)EG＝FH.小试牛刀(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝

AD，CF＝

BC.∴AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形．证明：小试牛刀(2)∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF.∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.∵DE＝

AD，BF＝

BC，AD＝BC，∴DE＝BF.

在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH(AAS)．∴EG＝FH.小试牛刀4如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．小试牛刀(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.∵BE＝DF，∴OE＝OF.

在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(SAS)．∴AE＝CF.证明：小试牛刀(2)∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.∵∠AOB＝∠COD＝60°.∴△AOB是等边三角形．∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12.

在Rt△ABC中，BC＝

＝6，∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝6×6＝36.解：小试牛刀5数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徵》)小试牛刀请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋________)．易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMFS△AEFS△FMCS△ANF