线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直基础要点线面垂直线面垂直面面垂直线线垂直面面垂直线线垂直AUTONUM、若直线与平面所成的角相等，则平面与的位置关系是（B）A、B、不一定平行于C、不平行于D、以上结论都不正确AUTONUM、在斜三棱柱,,又,过作⊥底面ABC，垂足为H，则H一定在（B）A、直线AC上B、直线AB上C、直线BC上D、△ABC的内部AUTONUM、如图示，平面⊥平面，与两平面所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则（A）A、2:1B、3:1C、3:2D、4:3AUTONUM、如图示，直三棱柱中，,DC上有一动点P，则△周长的最小值是5.已知长方体中，,若棱AB上存在点P，使得,则棱AD长的取值范围是。题型一：直线、平面垂直的应用1.（2023，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知.求证：(1)QUOTE；(2)QUOTE.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE丄EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.2.(2023,北京卷，文科)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.证明：（1）在三棱柱中，.(2)取AB的中点G，连接EG，FG、分别为、的中点,,,则四边形为平行四边形，.3．如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面．求证．分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．证明：在平面内作，交于．因为平面平面于，平面，且，所以．又因为平面，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因为平面，所以．说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．4.过点引三条不共面的直线、、，如图，，，若截取(1)求证：平面平面；(2)求到平面的距离．分析：要证明平面平面，根据面面垂直的判定定理，须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直的直线．(1)证明：∵，又，∴和都是等边三角形，∴，取的中点，连结，∴．在中，，∴，，∴，∴．在中，∴，，，∴，∴，∴平面．∵平面，∴平面平面．或：∵，∴顶点在平面内的射影为的外心，又为，∴在斜边上，又为等腰直角三角形，∴为的中点，∴平面．∵平面，∴平面平面．(2)解：由前所证：，，∴平面，∴的长即为点到平面的距离，，∴点到平面的距离为．AUTONUM、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB,AG⊥SD6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为的菱形，，M是PB中点。(1)求证：PACD(2)求证：平面PAB平面CDM7.在多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE//CD。(1)求证：AE//平面BCD；(2)求证：平面BED平面BCD题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱中，，E为上使的点，平面交于F，交的延长线于G，求：（1）异面直线AD与所成的角的大小（2）二面角的正弦值2.如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小．分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．解：在射线上取一点，作于，连结，则为射线与平面所成的角，．再作，交于，连结，则为在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，，为二面角的平面角．设，在中，,在△中，,是锐角，,即二面角等于．说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．3.正方体的棱长为1，是的中点．求二面角的大小．分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到垂直于平面，在平面上的射影就是．再过作的垂线，则面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角了．解：过作及的垂线，垂足分别是、，连结．∵面，面，∴，又，∴面．又∵，∴，∴为所求二面角的平面角．∵∽，∴．而，，，∴．在中，．∵，∴．在中，，在中，，∴．4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点，（１）求证：MN∥平面PAD（２）若二面角P－DC－A为，求证:平面MND⊥平面PDC5.已知正方体中，E为棱上的动点，（1）求证：⊥BD(2)当E恰为棱的中点时，求证：平面⊥平面（3）在棱上是否存在一个点E，可以使二面角的大小为？如果存在，试确定E在棱上的位置；如果不存在，请说明理由。题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心