【教学设计】不等式2

第二讲不等式1．不等式的基本性质1对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c3加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c4乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bca>b，cb，c>d⇒a＋c>b＋d6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd7乘方法则：a>b>0⇒an>bnn∈N，n≥1．8开方法则：a>b>0⇒eq\rn,a>eq\rn,bn∈N，n≥2．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式a2＋b＋c>0a≠0或a2＋b＋c40Δ＝0Δ0的图象一元二次方程a2＋b＋c＝0a>0的根有两相异实根1，210a>0的解集{|>2或0的解集{|10，b>0利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．4．二元一次不等式组和简单的线性规划1线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等；2解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．5．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题1恒成立问题若不等式f>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上fmin>A；若不等式fA成立，则等价于在区间D上fma>A；若在区间D上存在实数使不等式fA在区间D上恰成立，则等价于不等式f>A的解集为D；若不等式f\f1,2，则f10>0的解集为A．{|－g2}B．{|－1－g2}D．{|g>0B．in＋eq\f1,in≥2≠π，∈ZC．2＋1≥2||∈R\f1,2＋1>1∈R答案C解析当>0时，2＋eq\f1,4≥2··eq\f1,2＝，所以geq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12＋\f1,4≥g>0，故选项A不正确；当≠π，∈Z时，in的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当＝0时，有eq\f1,2＋1＝1，故选项D不正确．3．最新·浙江设＝＋，其中实数，满足eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1＋－2≥0，,－2＋4≥0，,2－－4≤0若的最大值为12，则实数＝________答案2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－3c9c9c3c9c3c3c9c3c9c0，∵≥0时，f＝2－4，∴f－＝－2－4－＝2＋4，又f为偶函数，∴f－＝f，∴0，①或eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1－1≥0，,2＋1∧q为真命题，则实数m的取值范围是A．－∞，－2B．[－2,0C．－2,0D．[0,2]答案C解析4f3，那么的取值范围为\b\c\\rc\\a\v4\a\co10，\f1,2\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，2\b\c\\rc\]\a\v4\a\co1\f1,2，1∪2，＋∞\b\c\\rc\\a\v4\a\co10，\f1,8∪eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，2答案B解析由已知可得当≥0时，f是减函数．又f为偶函数，∴f＝f||．由f||>eq\f3,4＝feq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,3，得||1，在约束条件eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1≥，,≤m，,＋≤1下，目标函数＝＋m的最大值小于2，则m的取值范围为A．1,1＋eq\r2B．1＋eq\r2，＋∞C．1,3D．3，＋∞审题破题1将eq\oOA,\\u的不等式求得m的取值范围．答案1C2A解析1作出可行域，如图所示，由题意eq\oOA,\\uin＝－1＋1＝0；过点0,2时有最大值，ma＝0＋2＝2，∴eq\oOA,\\u＋eq\f,m，由于m>1，所以－12m350，b>0，函数f＝2＋ab－a－4b＋ab是偶函数，则f的图象与轴交点纵坐标的最小值为________．2已知正数，满足＋2eq\r2≤λ＋恒成立，则实数λ的最小值为A．1B．2C．3D审题破题1由f为偶函数得出a，b的关系式，再利用基本不等式，列出关于ab乘积的不等关系，求ab乘积的最小值．2求λ的最小值，即求eq\f＋2\r2,＋的最大值．答案1162B解析1根据函数f是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4eq\rab，解得ab≥16当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，即f的图象与轴交点纵坐标的最小值为162∵>0，>0，∴＋2≥2eq\r2当且仅当＝2时取等号．又由＋2eq\r2≤λ＋可得λ≥eq\f＋2\r2,＋，而eq\f＋2\r2,＋≤eq\f＋＋2,＋＝2，∴当且仅当＝2时，eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f＋2\r2,＋ma＝2∴λ的最小值为2反思归纳在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”即条件要求中字母为正数、“定”不等式的另一边必须为定值、“等”等号取得的条件的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添拆项，创造应用基本不等式的条件．变式训练3设a>0，b>0，若eq\r3是3a与3b的等比中项，则eq\f1,a＋eq\f1,b的最小值为A．8B．4C．1\f1,4答案B解析因为3a·3b＝3，所以a＋b＝eq\f1,a＋eq\f1,b＝a＋beq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,a＋\f1,b＝2＋eq\fb,a＋eq\fa,b≥2＋2eq\r\fb,a·\fa,b＝4，当且仅当eq\fb,a＝eq\fa,b，即a＝b＝eq\f1,2时“＝”成立．典例最新·福建若函数＝2图象上存在点，满足约束条件eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1＋－3≤0，,－2－3≤0，,≥m，则实数m的最大值为\f1,2B．1\f3,2D．2解析在同一直角坐标系中作出函数＝2的图象及eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1＋－3≤0，,－2－3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m≤1时，函数＝2的图象上存在点，满足约束条件，故m的最大值为1答案B得分技巧由运动变化的观点让目标函数所表示的曲线过可行域上的某点，求线性约束条件中的某一参数值，是逆向思维，用数形结合的思想方法，即可破解．阅卷老师提醒本题要正确理解“存在”这个关键词，只要函数＝2和可行域有公共点即可．1．最新·湖北已知全集为R，集合A＝eq\b\c\{\rc\}\a\v4\a\co1|\f1,2≤1，B＝eq\b\c\{\rc\}\a\v4\a\co1|2－6＋8≤0，则A∩∁RB等于A．{|≤0}B．{|2≤≤4}C．{|0≤4}D．{|04或4}．2．已知og＋＋4eq\f1,2eq\f1,23＋－eq\f1,2eq\f1,2画出可行域如图，设＝－，易知的范围是－∞，10，故λ≥103．若函数f＝＋eq\f1,－2>2在＝a处取最小值，则a等于A．1＋eq\r2B．1＋eq\r3C．3D．4答案C解析∵>2，∴f＝＋eq\f1,－2＝－2＋eq\f1,－2＋2≥2eq\r－2×\f1,－2＋2＝4，当且仅当－2＝eq\f1,－2，即＝3时，即a＝3，fmin＝44．最新·陕西小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和baeq\fa2－a2,a＋b＝0，∴v>a5．若对任意>0，eq\f,2＋3＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．答案eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co1\f1,5，＋∞解析∵a≥eq\f,2＋3＋1＝eq\f1,＋\f1,＋3对任意>0恒成立，设u＝＋eq\f1,＋3，∴只需a≥eq\f1,u恒成立即可．∵>0，∴u≥5当且仅当＝1时取等号．由u≥5知02a42a2a2m0，>0，所以eq\f2,＋eq\f8,≥2eq\r16＝8要使原不等式恒成立，只需m2＋2m2，n＝－2≥eq\f1,2，则m与n之间的大小关系为A．mnC．m≥nD．m≤n答案C解析m＝a＋eq\f1,a－2＝a－2＋eq\f1,a－2＋2≥4a>2，当且仅当a＝3时，等号成立．由≥eq\f1,2得2≥eq\f1,4，∴n＝－2＝eq\f1,2≤4即n∈0,4]，∴m≥n8．设，满足约束条件eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co13－－6≤0，,－＋2≥0，,≥0，≥0，若目标函数＝a＋ba>0，b>0的最大值为12，则eq\f3,a＋eq\f2,b的最小值为\f25,6\f8,3\f11,3D．4答案A解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线a＋b＝a>0，b>0过直线－＋2＝0与直线3－－6＝0的交点4,6时，目标函数＝a＋ba>0，b>0取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以eq\f2,a＋eq\f3,b＝eq\f2,a＋eq\f3,b·eq\f2a＋3b,6＝eq\f13,6＋eq\fb,a＋eq\fa,b≥eq\f13,6＋2＝eq\f25,6，故选A二、填空题9．若正实数，满足2＋＋6＝，则的最小值是________．答案18解析∵>0，>0,2＋＋6＝，∴2eq\r2eq\r＋6≤，即－2eq\r2eq\r－6≥0，解得≥1810．最新·陕西若点，位于曲线＝|－1|与＝2所围成的封闭区域，则2－的最小值为________．答案－4解析如图，曲线＝|－1|与＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令＝2－，则＝2－，作直线＝2，在封闭区域内平行移动直线＝2，当经过点－1,2时，取得最小值，此时＝2×－1－2＝－411．若关于的不等式2－124a0，且有4－a>0，故0的解集为{|－2}，求的值；2对任意>0，f≤t恒成立，求t的取值范围．解1f>⇔2－2＋6－2}是其解集，得2－2＋6＝0的两根是－3，－2由根与系数的关系可知－2＋－3＝eq\f2,，即＝－eq\f2,52∵>0，f＝eq\f2,2＋6＝eq\f2,＋\f6,≤eq\f2,2\r6＝eq\f\r6,6由已知f≤t对任意>0恒成立，故t≥eq\f\r6,6即t的取值范围为eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co1\f\r6,6，＋∞14．最新·江苏如图，建立平面直角坐标系O，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程＝－eq\f1,201＋22>0表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．1求炮的最大射程．2设在第一象限有一飞行物忽略其大小，其飞行高度为千米，试问它的横坐标a不