数学分析试题4

（十四）《数学剖析Ⅱ》考试题一填空（共15分，每题5分）：1设E{x[x]|xR,则supE1,infE0;2设f(5)2,则limf(x)f(5)45；5x5x3设f(x)sinax,x0,0处可导，则a1ln(1x)b,x在x，0b0。二计算以下极限：（共20分，每题5分）1lim(1111)n1;n23n11111解:因为1(1)nnn，又limnn1，23nn1故lim(1111)n1。n23n12n2lim(n)3；n解:由stolz定理,lim123nlim3n3n(n)n(n)(n1)limnn(nn1)(nn(n1)n1)limn(nn1)n(n(n1))(2nn(n1)1)1112nlim.n1132(1n)n2)3limsinxsina；xaxasinxsina2cosxasinxa解:limxalim2a2xaxaxxalimcosxasin2cosa.xa2xa214lim(12x)x。x0112e2.解:lim(12x)xlim(12x)2xx0x0三计算导数（共15分，每题5分）：1f(x)x21ln(xx21),求f(x);解:2

12x2xx21x1x1f(x)2。2x21xx21x21x21x21求由方程xacos3t表示的函数的二阶导数;yasin3t解:dy(asin3t)dx(acos3t)d2ysec2tdx2(acos3t)3设y(3x22)sin2x,

3asin2tcosttant,3acos2tsintsec2t。3acos2tsint求y(100)。解:由Leibniz公式y(100)C1000(sin2x)(100)(3x22)C1001(sin2x)(99)(3x22)C1002(sin2x)(98)(3x22)2100sin(2x100)(3x22)100299sin(2x99)6x100999898)62222sin(2x22100(3x22)sin2x600299xcos2x29700298sin2x298[(12x2229708)sin2x1200cos2x]。x四（12分）设a0，{xn}知足：x00,xn11(xna),n0,1,2,2xn证明：{xn}收敛，并求limxn。n解:（1）证明：易见，xn0,(n0,1,2,),xn1aa(n0,1,2,),xnxn进而有：xn1xn1a)xnaxn20(n1,2,)，(xnxn2xn2故{xn}单一减少，且有下界。因此{xn}收敛。（2）求limxn：设l{xn}，由（1）知：l{xn}a0。n在xn11(xna)两边同时取极限得2xnllimxn11lim(xna)1(la),解之得la，即limxna。n2nxn2ln五（10分）求椭圆x2y21过其上点(x0,y0)a2b2处的切线方程。解:在方程x2y21两边对x求导数得：2x2yy0,a2b2a2b2故yb2x,进而yxx0b2x0，因此椭圆在点(x0,y0)处的切线方程为a2ya2y0yy0yy0b2x0(xx0)，即xx0yy01a2y0a2b2六（10分）利用Cauchy收敛原理证明：单一有界数列必收敛。证明：设{xn}

单一有界，不如设

{xn}

单一增添。假设

{xn}

不收敛，则由

Cauchy收敛原理，存在常数

0

0,

m,n

N(m

n),xm

xn

0，于是令N

1,存在

m1,n1

1(m1

n1),

xm1

xn1

0，再令一般地令

Nn1,存在m2,n2n1(m2n2),xmxn20，2NnK1,存在mk,nknk1(mknk),xmxn0，kk这样获得{xn}的一个子列：xm1,xn1,xm2,xn2,,xmk,xnk,知足：xmkx0。进而有xnkxmk0，xnxmk0nkk(k2,3,)，由此式递推可知：xnxnk10xnk200xn(k1)0,k1因此{xn}无界，与条件矛盾，故{xn}收敛。七（8分）设f(x)在[a,)上(a0)知足：x,y[a,),|f(x)f(y)|K|xy|(K0为常数）。证明：12

f(x)在[a,)上有界；xf(x)在[a,)上一致连续。x证明：1.由条件知，x[a,),|f(x)f(a)|K|xa|，故：|f(x)||f(x)f(a)||f(a)|K|xa||f(a)|，f(x)K|xa||f(a)|Kxa|f(a)|K|f(a)|，x|x||x|xxa可见f(x)在[a,)上有界。x2.x1,x2[,),af(x1)f(x2)|x2f(x1)x1f(x2)||x2f(x1)x2f(x2)x2f(x2)x1f(x2)|x1x2x1x2x1x2x2|f(x1)f(x2)||f(x2)||x2x1|x1x2x1x2K|x1x2|1|f(a)|)|x1x2|2K|f(a)||x1x2|,(Ka2aaaa0,取[2aKf(a),x1,x2[a,),当|x1x2|时,a]f(x)f(x),故f(x)在[a,)上一致连续。x1x212x八（10分）设a1,a2,an为实常数，证明：f(x)a1cosxa2cos2xancosnx在(0,)内必有零点。证明：令F(x)a1sinx21a2sin2xn1ansinnx,则F(x)在[0，]上可导，F(x)f(x),F(0)F()0,故由Rolle中值定理，(0,),使F()0,即f( )0,故f(x)在(0,)内必有零点。（十五）数学剖析2考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最适合的答案填入括号内，每题2分，共20分）1、函数f(x)在[a,b]上可积，那么（）Af(x)在[a,b]上有界Bf(x)在[a,b]上连续Cf(x)在[a,b]上单一Df(x)在[a,b]上只有一个中断点2、函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上有（）dbBdxf(x)Af(x)dxf(x)f(t)dtdxadxadbDdbf(x)Cf(t)dtf(x)f(t)dtdxxdxx3、在[a，+∞]上恒有f(x)g(x)，则（）Af(x)dx收敛g(x)dx也收敛Bg(x)dx发散f(x)dx也发散aaaaCf(x)dx和ag(x)dx同敛散D没法判断a4、级数an收敛是（）对p=1,2，lim(an1an2anp)0n1nA充分条件B必需条件C充分必需条件D没关条件5、若级数

1

1

收敛，则必有（）n1nA0B0C0D06、f(x)an(x)在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2），那么（）n1Af（x）在[a，b]可导，且f'(x)a'n(x)n1Bf（x）在[a，b]可导，但f'(x)不必定等于a'n(x)n1a'n(x)点点收敛，但不必定一致收敛n1a'n(x)不必定点点收敛n17、以下命题正确的选项是（）an(x)在[a，b]绝对收敛必一致收敛n1an(x)在[a，b]一致收敛必绝对收敛n1an(x)在[a，b]条件收敛必收敛n1D若lim|an(x)|0，则an(x)在[a，b]必绝对收敛nn18、(1)n(11)xn的收敛域为（）n1nA(-1,1)B(-1,1]C[-1,1]D[-1,1）9、以下命题正确的选项是（）重极限存在，累次极限也存在并相等累次极限存在，重极限也存在但不必定相等C重极限不存在，累次极限也不存在重极限存在，累次极限也可能不存在10、函数f(x,y)在（x0,,y0）可偏导，则（）f(x,y)在（x0,,y0）可f(x,y)在（x0,,y0）连续Cf(x,y)在（x0,,y0）在任何方向的方导游数均存在D以上全不对二、计算题：（每题6分，共30分）1、lim1p2pp1np(p0)nn2、计算由曲线yx2和xy2围成的面积3、求极限lim(x2y22ysin1)(x,y)(0,0)1x2y1x4、已知zf(x,x)，求z,zyxy5、计算n1nn(1)2nx的收敛半径和收敛域n1三、议论判断题（每题10分，共30分）0x1pdx的敛散性1、议论2、判断(n21n21)的敛散性n13、判断(1)nsinnx的一致收敛性n1n21四、证明题（每题10分，共20分）1、设()是以[]上可积，证明aTTfxT为周期的函数，且在f(x)dxf(x)dxa02、设级数xn收敛，则当0时，级数xn也收敛n1n0n1n参照答案一、1、A2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D二、1、因为xp在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）lim1p2pnplim1(1p2pnp)xpdx1（4分）1nnp1nnnpnpnp0p12、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：1(xx2)dx1（4分）033、解：因为sin1有界，limysin10（2分）x(x,y)(0,0)xx2y2ysin1)=(x2y2)(1x2y21)lim(limx2y2x2y2(x,y)(0,0)1x2y21x(x,y)(0,0)(11)(11)（3分）=lim1x2y21=2（1分）1(x,y)(0,0)zf21zf2x4、解：=f1y（3分）=y2（3分）xy5、解：limn(1)n1n1，r=2（3分）2n2n因为x=-2，x=2时，级数均不收敛，因此收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、因为被积函数可能在x=0和x=1处无界，因此将其分为x1p11x1p0|x1|pqdx=0|x1|pqx1pdx+1|x1|pqdx（2分）考虑奇点x=0应要求p-1<1；奇点x=1应要求p+q<1；（4分）当x时，因为1~1，知2p+q-1>1时积分收敛（2分）xp1(x1)pqx2pq1因此失常积分知足p<2且2(1-p)<q<1-p收敛，其他发散（2分）2、解：因为n21n21n22n2~1（6分），又1发散（2分）11nn1n因此原级数发散（2分）(1)nsinnx1（6