2022-2023学年河南省安阳市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省安阳市高二上学期期中数学试题一、单选题1．双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．A【分析】由题知，，再求解离心率即可.【详解】解：由双曲线方程得，焦点在轴上，所以，.所以，双曲线的离心率为故选：A2．已知向量，，且，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．C【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示可求得结果.【详解】由空间向量数量积的坐标运算可得，解得，所以，，所以，.故选：C.3．已知等差数列中，，，则的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．4B【分析】利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，从而求得的公差.【详解】因为是等差数列，所以，解得，所以的公差为.故选：B.4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．D【分析】将方程转化为，根据焦点在轴上的椭圆的标准方程列方程组即可.【详解】由题知：表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，故选：D.5．已知原点与点关于直线对称，则在轴上的截距为（

）A．5 B． C． D．B【分析】根据直线是线段的垂直平分线，利用点斜式方程可求直线，即可求在轴上的截距.【详解】解：由题可知，直线为线段的垂直平分线，所以，，则，中点为，则的方程为，当时，，则在轴上的截距为.故选：B.6．有一辆高铁列车一共有8节车厢，从第2节车厢开始每节车厢的乘客均比前一节少10人，且前4节目车厢乘客总数是后4节车厢乘客总数的2倍，则这辆列车上的乘客总数为（

）A．400 B．440 C．480 D．520C【分析】根据题意可知乘客人数构成的等差数列，且，利用等差数列前项和公式求得，进而求得，从而可求乘客总数.【详解】依题意可知这8节车厢的乘客人数构成等差数列，不妨记为，则，又，即，则，整理得，即，则，故，所以.故选：C.7．如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．B【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，则.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.8．若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．A【分析】考虑当直线与曲线相切且切点在第四象限时，实数的值；考查直线分别过点、时，直线与曲线的公共点个数，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】由可得，且，故曲线为圆的右半圆，作出直线与曲线的图象如下图所示：当直线即与曲线相切且切点在第四象限时，，且有，解得，当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时；当直线过点时，直线与曲线只有一个公共点，此时.结合图形可知，若时，直线与曲线只有一个公共点.故选：A.9．设抛物线：（）的焦点为，点在轴正半轴上，线段与抛物线交于点，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（

）A．1 B． C． D．D【分析】首先求出焦点坐标，依题意可得点的横坐标为，根据点到抛物线准线的距离求出，从而得到抛物线方程，再求出点坐标，即可求出的纵坐标.【详解】解：抛物线：（）的焦点为，由，且点在轴正半轴上，所以点的横坐标为，过点作准线的垂线段，垂足为，则，解得，所以抛物线方程为，令，解得，所以，又，所以的纵坐标为.故选：D10．已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（

）A． B． C． D．C【分析】设，分析可知点为的中点，由四边形的面积为，可得出的长，利用勾股定理可得出关于的等式，解出的值，即可求得.【详解】如下图所示：圆的标准方程为，圆心为，半径为，由题意可知，，，，，所以，，所以，，设，则为的中点，故四边形的面积为，则，故，所以，，，又因为，所以，，解得，因此，.故选：C.11．设等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，（

）A．15 B．7 C． D．D【分析】由题意条件得到与，再利用基本不等式求得的最大值与，从而利用等差数列前项和公式求得.【详解】因为是等差数列，，所以，整理得，则，因为，所以，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为，当时，，所以.故选：D.12．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与在第一象限交于点，的平分线与轴交于点，则（

）A．1 B． C．2 D．C【分析】先由双曲线方程得到的关系，再由轴求得，结合角平分线定理与双曲线的定义求得，由此得到，从而由三点共线得到关于的方程，解之即可得到的值.【详解】由双曲线：，得，故，，即，，则，，设的平分线与轴交于点，如图，因为轴，所以可设，代入双曲线得，故，则，即，则，因为，，故，又因为平分，所以，又，所以，则，即，因为三点共线，所以，即，解得，所以.故选：C..二、填空题13．若直线与平行，则直线与之间的距离为______．##【分析】利用两直线平行可求出的值，再利用平行线间的距离公式可求得直线与之间的距离.【详解】因为，则，解得，所以，直线的方程为，即，直线的方程为，即，所以，直线与之间的距离为.故答案为.14．已知数列的前几项为，，，，…，则的一个通项公式为______．【分析】观察所给数列的规律，利用不完全归纳法求解即可.【详解】因为，，，，…，所以可以猜想.故答案为.15．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴入射光线经抛物线反射后反射光线必经过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则______．4【分析】由题可知求出点A、F的坐标，则可求出直线AB的方程，联立抛物线方程则可求出点B的坐标，由两点间距离公式求出，，即可得出答案.【详解】已知抛物线，则，所以焦点，因为平行于轴的光线从点射出，所以，代入，则，直线AB的方程为，联立，求得，所以，，则.故416．已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，若，且的面积为，则的方程为______．【分析】利用椭圆的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可求得的值，结合椭圆的离心率可求得的值，即可得出椭圆的方程.【详解】设，，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，所以，，则，所以，，又因为，可得.因此，椭圆的方程为.故答案为.三、解答题17．已知点，直线，直线过点且与平行，直线交圆于两点、．(1)求直线的方程；(2)求线段的长．(1)(2)【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的值，求出的值，可得出直线的方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值.【详解】（1）解：设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得，解得，所以，直线的方程为.（2）解：圆的圆心为，半径长为，圆心到直线的距离为，因此，.18．已知数列的前项和为的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)求．(1)(2)【分析】（1）利用与的关系式可求得的通项公式；（2）由（1）可得到与的项，由此利用等差数列前项和公式即可求解.【详解】（1）因为，所以当时，，当时，，所以，经检验：满足，所以.（2）由（1）可知，令，则，得，又，所以当时，；当时，；所以.19．已知等差数列的各项均不为0，记为前项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设（为非零常数），若数列为等差数列，求的值．(1)(2)【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前项和公式求得，从而得解；（2）由（1）得，再求得，利用等差中项公式即可得解.【详解】（1）因为是等差数列，，所以由，得，解得或（舍去），故.（2）由（1）得，，则，所以，，，因为数列为等差数列，所以，即，解得或（舍去），故.20．如图，四棱锥的底面是矩形，平面底面，平面底面，，，，为的中点．(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的正弦值．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得平面与平面夹角的正弦值.【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，则，因为平面底面，平面平面，平面，平面，平面，，同理可证，因为，、平面，平面，又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，故.（2）解：设平面的法向量为，，则，取，可得，由题意可知，平面的一个法向量为，所以，，故.因此，平面与平面夹角的正弦值为.21．已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且．(1)求的方程；(2)若不过点的直线与相交于两点，且直线，的斜率之积为1，证明：直线过定点．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）利用抛物线焦半径公式与抛物线方程列出关于的方程组，解之即可；（2）联立方程利用韦达定理得，再由整理得，由此得到，直线为，从而求得定点.【详解】（1）因为抛物线：，所以准线方程为，因为点在上，所以由抛物线焦半径公式得，，联立，解得或（由于，舍去），所以抛物线的方程为.（2）依题意，易知，直线的斜率存在（若不存在，则与抛物线至多只有一个交点），设直线为，，联立，消去，得，则，，因为直线，的斜率之积为1，即，故，整理得，所以，得，故直线为，所以直线过定点.22．已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为．(1)求的方程．(2)若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点、，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(1)(2)【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，利用离心率公式可求得的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，对、两种情况讨论，在时直接验证；在时，求出线段的中点的坐标，利用结合可求得的取值范围.综合可得出结果.【详解】（1）解：由题意可知，点到直线的距离为，解得，又因为，则，所以，，因此，椭圆的方程为.（2）解：易知点，设直线的方程为，设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，若，则轴，此时、关于轴对称，则；若，则，，所以，线段的中点为，则，所以，，所以，，解得且.