2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高二上学期期中数学试题一、单选题1．若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．C【分析】由题意结合直线的斜率公式求出该直线的斜率，即可求出直线的倾斜角.【详解】因为一条直线经过两点和，所以该直线的斜率为：所以该直线的倾斜角为.故选：C.2．已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切C【分析】求出两圆圆心距，与两圆半径和与差的绝对值比较大小，可得出结论.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为，则，故这两个圆相交.故选：C.3．点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离.故选：A.4．如果，，那么直线不通过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B把直线方程化为，根据，，对分类讨论即可得出．【详解】把直线化为．因为，，假设，则，．所以，，则直线不通过第二象限．假设，则，．所以，，则直线不通过第二象限．故选：．5．过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（）A．x+2y﹣3＝0 B．x﹣2y﹣5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y﹣5＝0B【分析】本题先根据圆的切线的几何意义建立方程求切线的斜率，再求切线方程即可.【详解】解：由题意：点M（1，﹣2）为切点，则，，解得：，∴l的方程：，整理得：，故选：B.本题考查圆的切线的几何意义，点斜式直线方程，两线垂直其斜率相乘等于，是基础题.6．已知椭圆：，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，则这三个点是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，D【分析】根据椭圆的对称性可知：椭圆经过两点，进一步比较判断即可求解.【详解】因为两点关于轴对称，所以椭圆经过两点，又因为，所以椭圆不经过点，故椭圆经过，，点，故选.7．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A． B． C． D．D【详解】试题分析：由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．C【分析】根据题意延长交椭圆另一交点为，由条件结合椭圆性质可知，再通过通径的性质有即可得解.【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长交椭圆另一交点为，由再结合椭圆的对称性，易知，所以，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当垂直轴时，最短，所以，所以，解得.故选：C二、多选题9．已知直线，则（

）A．直线过定点B．当时，C．当时，D．当时，两直线之间的距离为1ACD【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.【详解】对A;变形为令，则，因此直线过定点，A正确；对于B;当时，，故两直线不垂直，故B错误；对于C;当时，，故两直线平行，C正确；对于D;当时,则满足，此时则两直线距离为，故D正确；故选：ACD10．已知方程：，则下列命题中为真命题的是（

）A．若，则方程表示的图形是圆B．若，则方程表示的图形是双曲线，且渐近线方程为C．若且，则方程表示的图形是椭圆D．若且，则方程表示的图形是离心率为的椭圆BD【分析】对于A，由题知方程为，再根据，时的情况判断A；对于B，分和两种情况讨论判断B；对于C，分和两种情况讨论判断C；对于D，由题知方程表示焦点在轴上的椭圆，再求离心力判断D.【详解】解：对于A选项，由于且得，故方程为，所以，当时，方程表示的图形是圆；当时，方程不表示任何图形，故A选项错误；对于B选项，若，则方程表示的图形是双曲线，当时，焦点在轴上，，渐近线方程为；当时，焦点在轴上，，渐近线方程为；所以，B选项正确；对于C选项，由于且，所以当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程不表示任何图形；所以，C选项错误；对于D选项，若且，方程表示焦点在轴上的椭圆，其中，所以，离心率为，故D选项正确.故选：BD11．已知直线：，圆：，是坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．当时，直线在轴上的截距为1B．到直线的距离的最大值为5C．存在实数，使得直线与圆相切D．当时，直线被圆截得的弦长最短BD【分析】对于A，利用斜截式方程即可求解；对于B，利用点斜式及两点间的距离公式即可求解；对于C，利用点与圆的位置关系即可求解；对于D，利用垂径定理及两直线垂直斜率的关系即可求解.【详解】对于A，当时，直线的方程为：，即，由直线的斜截式方程可知，所以直线在轴上的截距为，故A错误对于B，由，得，直线恒过定点,所以到直线的距离的最大值就是点与定点的连线的距离，，故B正确；对于C，由，得，所以圆的圆心坐标为，半径为，因为直线过定点，所以，所以在圆内，所以直线与圆相交，故C错误；对于D，当时，直线的方程为：，即,由直线恒过定点，由，得，所以圆的圆心坐标为，半径为，，所以，所以，所以当时，直线被圆截得的弦长最短，故D正确.故选：BD12．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线，则下列结论正确的是（

）A．曲线与轴的交点为和B．曲线关于轴对称，不关于轴对称C．坐标原点是曲线的对称中心D．的取值范围为ACD【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，由判断A；由曲线方程对称性判断B，C；求出的范围计算判断D作答.【详解】设点，依题意，，整理得：，对于A，当时，解得，即曲线C与y轴的交点为，，A正确；对于B、C，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称，因为，由换方程不变，曲线C关于轴对称，所以坐标原点是曲线的对称中心，B不正确，C正确；对于D，由得：，解得，于是得，解得，D正确.故选：ACD三、填空题13．若方程表示圆，则实数的取值范围为_______．【分析】方程表示圆，需要计算得到答案.【详解】方程表示圆则本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题.14．抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为___________.【分析】写出抛物线的准线，再利用抛物线的定义直接列式计算作答.【详解】抛物线的准线为：，由抛物线定义得：，解得，抛物线方程为，而在抛物线上，则，原点为O，即有，所以M到坐标原点的距离为.故15．已知直线与直线相交于点，点，为坐标原点，则的最大值为_____________.【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答.【详解】直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线与直线垂直，当时，，点P在以MN为直径的圆（除点M，N外）上，当时，点,因此，点P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆（除点外），如图，观察图形知，点A在圆O：外，当直线AP与圆O相切时，为锐角且最大，最大，所以.故16．已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，.过且垂直于的直线与交于两点，则的周长为.________.【分析】根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.【详解】由，得，，，解得，，因为椭圆的上顶点为，两个焦点为，，所以，所以，即为等边三角形，因为过且垂直于的直线与交于两点，所以由椭圆的定义可知，，,所以的周长为.故四、解答题17．设为实数，已知直线：，.(1)若与平行，求的值；(2)若与的交点在直线上，求的值.(1)；(2).【分析】（1）根据直线平行则斜率相等，列出等式求解即可；（2）求得两直线的交点坐标，再根据其满足，解方程即可.【详解】（1）因为两直线平行，则斜率相等，故可得，解得.（2）联立，解得两直线的交点坐标为，又因为其满足直线，则，即，解得或，当时，两直线平行，无交点，故舍去，则.18．已知圆：和圆.(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程：(2)求圆与圆的公共弦的长.(1)或(2)【分析】（1）先求得圆的标准方程，由此求得，再分类讨论直线斜率存在的情况，利用点线距离公式即可求得直线的方程；（2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长公式即可求得公共弦长.【详解】（1）由得，故圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故，若直线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意；若直线斜率存在，设直线方程为，即，故，解得，则直线方程为，所以直线得方程为或.（2）因为圆：，所以圆的圆心为，，所以，，故，即圆与圆相交，联立，两式相减得公共弦方程为，所以圆心到公共弦的距离为，又因为，所以公共弦长为.19．（1）已知圆经过三点，，，求该圆的方程；（2）若一个圆过点，且与圆：相切于点，求此圆的方程.（1）；（2）.【分析】（1）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解；（2）根据已知条件及两圆的位置关系，再利用垂径定理及直线的点斜式方程，结合半径的定义及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设圆方程为，因为A，B，C三点在圆上，所以，解得，，，所以圆方程为.（2）圆方程为，所求圆与圆外切∵，，∴方程为①∵，，∴中点为，∴中垂线方程：即②由①②解得圆心.②所以所求圆方程为.20．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点到其准线的距离为2，直线过点且与交于两点.(1)求的值及直线的斜率的取值范围；(2)若，求直线的方程.(1)，直线的斜率的取值范围为(2)或.【分析】（1）结合题意，根据抛物线的焦准距得，再设直线的方程为，进而与抛物线联立，结合判别式求解即可；（2）设，，进而结合韦达定理与焦半径公式得，再解方程即可得答案.【详解】（1）解：因为抛物线：的焦点到其准线的距离为2，所以，解得.所以抛物线方程为，因为直线过点且与交于两点，所以，设直线的斜率为，方程为，所以，联立得，故方程有两个不等的实数解.，解得且所以，直线的斜率的取值范围为（2）解：设，，由（1）知，又由焦半径公式得，所以，，即，解得或.所以，直线的方程为或.21．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点P到点F的距离是到直线的距离的，点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程(2)已知，，点M是曲线C上异于A、B的任意一点，①求证：直线AM，BM的斜率之积为定值：②设直线AM与直线交于点N，求证.(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）设出点的坐标，根据题意，列出满足的等量关系，整理化简即可；（2）①设出点的坐标，表达出直线的斜率，结合点的坐标满足曲线，即可证明；②设出点的坐标，求得直线的方程以及点的坐标，结合直线的斜率与倾斜角之间的关系，证明即可.【详解】（1）设，因为动点P到点F的距离是到直线的距离的，故可得，化简得，即，故曲线的方程为.（2）①设，则，即故.②设，且在轴的上方时，若，不妨取，满足曲线的方程，则方程为，则，此时，又，故；若不垂直于，设，，则由，得，又直线的方程为：，联立可得：，故，则，又，则，又，，故即；当点在轴的下方时，根据对称性，显然也满足；综上：得证.关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中定值问题和角度问题的证明，处理问题的关键是合理转化所证问题为证明其正切值相等的问题，属综合中档题.22．在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.(1)求，的方程：(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.(1)，(2)只有一个公共点，证明见解析(3)证明见解析，2【分析】（1）由题知双曲线焦点在轴上，椭圆焦点在轴上，再设出方程，待定系数求解即可；（2）联立方程，结合解方程判断即可；（3）设，，进而结合（2）中的结论得直线的方程为，再与双曲线的渐近线联立，求解，计算点到直线的距离，进而计算面积即可.【详解】（1）解：由题，双曲线的顶点为，所以双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为，因为的一条渐近线为所以，，解得，所以双曲线方程为又因为椭圆的短轴长为2