高等数学上-ch2-24极限运算法则

五、极限运算定理10设limfx)Alimgx)B,lim[f(x)g(x)]Alim[f(x)g(x)]Alimf(x)Ag(

其中B limf(x) limg(x)f(x)A g(x)B 其中0由无穷小运算法则,[f(x)g(x)](A

0.(1)成立[f(x)g(x)](A (A)(B)AB (2)成立f(x)AAABAg(x) B B(B

BA又0,B

x

时B B2

B

B

B12

12B(B

1B22

21B(B1B(B

有界推论1如果limfx)存在,而C为常数则lim[Cf(x)]Climf(常数因子可以提到极限记号外面推论

如果limfx)存在,而k是正整数,lim[f(x)]k[limf(x)]klimf(x), limg(x)(2)(3中不可缺条件

limg(x)B04例8x2

x3 23x2 lim(x23x

limx2lim3x

(limx)23limx 2232 3x2

x33x

limx3 lim(x23x

233

73小结

设f(x)a0xna1xn1 an,则limf(x)a(limx)na(limx)n1

axnaxn1

f(x0设f(x)P(x),且Q(x) 则Q(x)limP(x)limf(x)xx0

P(x0

0f(x0

lim

Q(x0若Q(x0)0, 则商的法则不能应用例9x1

4x 2x lim(x22x3) 商的法则不能 又lim(4x13

x22x34x1

03由无穷小与无穷大的关系,x1

4x 2xx2例10x1

22x3 x1时,分子,分母的极限都是零

0型)x2 (x1)(x22x1

2x

(x3)(x(消零因子法limx1 (消零因子法x1x 例

limx

x

x lim

x3 13(x

x

(x1)(x3

(x1)(x2x1)3(x

(x1)(x3lim

x x

lim (x1)(x2) x

x

x1(x1)(x2xlimx1x

xx

339例11

2x33x25x7x3

4x2解x时分子,分母的极限都是无穷大.型先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限33

5

23

2x7x34x2 x xa0,当nbaxmaxm1 lim 0,当n

bxnbxn1

,当n子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例 解 分子分母同除以9n9 9 lim

41 1 思考题在某个过程中，若f(x)有极限g(x)无极限，那f(xg(x)是否有极限？为什么 极限不存不一定，可能存在，可能不存2、复合函数求极限的变量代换（换元）法定理 函数ux在x0的某去心邻域ˆx0内有定义对任意xˆx0,xu0limxu0xx0fu满

limfuA limfxlimfu 例解uxx2已知limu 16∴原式=16 6解:方法 令u

x,则limux1u21x u

u1

lim(u1xlim(x x1) xx

例11：

limx2lim limxx1limx21

x2

x21x2x21x212

n(1

lim lim(2x3)10(x

x

例 x21x21x

x

11

t1,txlim1 111

1t2原式

t0 t

t t1t21t2t0 例.a解 令t1,x0lim31

3t31t

t

t lim3t31at 1a a3、极限存在准准则 ˆg(x)f(x)h(x),limg(x)x

limh(x)xxlimfx2(单调有界准fx是a,b f(x)间内的单调有界函数，limf(x)x

xa 说明：1(,b),(a,或(,) 设单位圆O,圆心角AOB (0x2

Box limsinxlimsinxx 于是有sinx x弧 tanxsinxxtan

即cosxsinxx上式对于x0也成立2

0

x时20cosx

1cos

2sin2x2(x

x22x2x

lim(1cosx)

limcosx

lim1

limsinx

例

1(xn aa

n1,2),

a0limxn

12

a) xxnxn11

a)1(1a)

∴limxnA1(Aa

A x10,xn0,

limxn 4、两个重要limsinlimsinxx例 解 limsinkxlimksinkxklimsinkx k k例9

limxsin 解 例

求lim1cosx

2sin2

sin2解原式lim

1lim

sin

2

(x)221lim( 2

12 212例 求

sin

（m,n为正整数 sinlimsin sinlimsinmx mnx0nn

sin 例 求limtan 解：limtan limsinx x0 例

limarcsin limarcsin

tarcsint0sinlim(11)lim(11)xxxlim(11lim(11lim(1x) x1lim(1 例

求lim(11)x 原式lim[(11)x 1e

1)x例17求lim3x)2x. 2 原式

)x2]2

e2.

x x例

求lim(1k)xxxxxx解原式

k)k]k例18求lim(1cosx)3secx. 解原式