2022年全国高中数学联赛考前冲刺全模拟卷及答案

2022年全国高中数学联赛考前冲刺全真模拟卷全真模拟卷TOC\o"1-5"\h\z2022年全国髙中数学联赛考前冲刺全舆模拟（一） 1\o"CurrentDocument"2022年全国髙中数学联赛考前冲刺全舆模拟（二） 4\o"CurrentDocument"2022年全国高中数学联赛考前冲刺全貞模拟（三） 7\o"CurrentDocument"2022年全国离中数学联赛考前冲刺全貞模拟（四） 10\o"CurrentDocument"2022年全国高中数学联赛考前冲刺全良模拟（五） 13\o"CurrentDocument"2022年全国髙中数学联赛考前冲刺全舆模拟（一）参考答案 16\o"CurrentDocument"2022年全国髙中数学联赛考前冲刺全舆模拟（二）参考答案 28\o"CurrentDocument"2022年全国离中数学联赛考前冲刺全貞模拟（三）参考答案 41\o"CurrentDocument"2022年全国高中数学联赛考前冲刺全貞模拟（四）参考答案 54\o"CurrentDocument"2022年全国高中数学联赛考前冲刺全良模拟（五）参考答案 632022年全国高中数学联赛考前冲刺全真模拟(-)第一试一、填空题(本大题共8小题每小题S分，满分64分)• UCOS0COS360cos20cos18c . 2 1-己知头数9俩足c_-36。)+cos(2,-l^)=1-贝1J邮2卜己知直线卜⑽十幼十c=0与岡r:ar2+I/2=r2没有公共点，其中a.b.c.r为常数，且b#◦，r>0,若O为坐标原点，P.Q分别为直线I和IMIr上的动点，且满足LOPQ=q(0"<q<90'点P的横坐标为d，则皿十(i腿= (用b,c表示). 己知n为不超过2028的正整数，单位复数s满足^+1十y/2zn-1=0,则n的最大俏为 方程3(L2^-1J+\2x十ll)=4x+2的所有实数解x= ，其中［a\.fa］分別表示不超过实数a的最大幣数和不小于实数a的最小整数.己知二元函数f(z.y)=\t-2y\十|4x+7以十叫十|3x十5以-59|，其中实数zj满足P十100,则f(x,y)的最大值为 .若存在实数j:.?/，使得n=/(x—1>2十G/—1>2十^+1)2+(1/+1)2灼整数，其中|x|C21，\y\彡21，则满足上述条件的整数n的个数力 .若存在n个非零实数a］,<12,…，a„€(―1.1),满足ai+02 an=0,a,+ +•— =2021,则不超过104的正整数n的个数A .已知四而体ABCD的内切球fi与而BCD.而C7Z4、而DAB.而ABC分别切于点A0,B^C0,Do，在12个角ABA0C.ZCA0D.ZZM0D, ZCB0P.ZAB0D. ABC0D.ZAC0D.^AD0C中，由所有不同的角构成的集合为S，则\S\的所有可能的值为 二、解答题(本大题共3小题.满分.56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(本题满分16分)设集合S={sez\\s\^2021},对于任意互不相等的整数a,b.ceS,求满足a十6十c<0的三元有序整钕组(a，6,c>的个数.2022年全W离中数学联赛考前冲側全與模拟（一）10（本题满分20分）己知抛物线r:y2=2px,其中p为正常数.Pdxi.yl）.P2（X2^2）^P^3-y3）力抛物线r上按逆吋针的次序排列的三个互不重合的点，对于i=1.2.3,过点尸：作抛物线r的切线i„直线12J3交于点直线以交于点a2,宣线/i,/2交于点A：i,设△'七乇的外接阀半径为n,AP.PoP^的Ifti积为s，证明：5 1^2一！/:川仍一Wl||?/1一？/2|11.（本题满分20分）已知集合A/={1，2,…，n}，其中n为大于1的奇数，若集合A/的子集X满足：在子集X中，奇数的个数大于偶数的个数，则称x为好的，所冇好子集构成集合族为r，记.Y中所有元素之和为S（A丁求z;SPO的值.XGT微信公众号：数学兗赛的那些事儿微信公众号：数学兗赛的那些事儿微信公众号：数学兗赛的那些事儿微信公众号：数学兗赛的那些事儿力口试一、（本题满分40分）已知凸四边形ABCD有内切岡，过点C的射线与边AD交于点£，与13A的延长线交于点厂，过点4的射线与BC的延长线交于点G.且与&CDE的内切盼I相切.若M3CF的内心为1.证明：LBAG=LBCF<=>S^iaf=Sa/cg<=>A/-4F和&ICG的垂心的连线垂直于IB.二、（本题满分40分）（1） 是否存在无穷正实数数列{a,.}（n》0）,使得对于任意正整数n，均有a。>^an_i-1；（2） 是否存在无穷正实数数列{a„}（n彡0）,使得满足an> -1的正整数n（n>2）的个数是有限的.三、（本题满分50分）2021„!+1求正整数n的最小值，使得5： -ci09I妁整数.i=1i十1四、（本题满分50分）己知阁G的顶点构成的集合为V,且|V|=2021,证明：存在阁G的子阁Gr（子阁G'的顶点构成的集合为V"），使得对于毎个顶点ueV\V\在策合V"中至少有21个顶点与n相邻，且子阁G'屮毎个点的度均不超过20.的整数解.如果m是偶数，则5=45+m3三n2三0或丨(mod8),矛盾.故m是奇数，即TOC\o"1-5"\h\zm=1(mod2). (2)如果m=1(mod4),则2=45十m3三n2三0或1(mod4)，矛盾.故m耷1(mod1). ③山式②，③可知m三3或7(mod8).将方程①变形为H2-2x62=n，3-27=(m一3)(m2十3m十9). ©如果m=0(mod3),则n=0(mod3),从而可设in=3zn().n=3hq(thq.hq€Z)5代入式④得ng= 十5.但2三3rng十5=n§=01(mod3)，矛盾.故m芙0(mod3),从而n0(mod3).由二次剩余理论可知，对n2-2x62的任意素㈥子p.方程=2(modp)有解.闵此.p三土1(mod8).如果m三3(mod8),则m2十3m十9=3(mod8).从而存在m2十3?n十9的索闵子p,满足p=±3(mod8),故m2十3ni十9|n2-2x62.与式®矛盾.再将方程①变形为H2-2x32=m3十27=(m十3)(m2一3m十9). ⑤同上可得n2-2x32的任意素闵子p=±1(mod8).如果m=7(mod8),则nr—3m十9=5(mod8).从而存在m2-3m十9的素闵子p,满足p=士3(mod8),故m2-3w+9fn2-2x32,与式(5)矛盾.综上可知，方程n2=n?十45没有整数解-从而，方程y2十2t/=t3-Or2十27t十17也没有整数解.四、(本题满分50分)给定正整数m,n,r.其中1<r彡mn.称mXn.棋盘中的m个方格构成一条广义对角线(简称对角线)，如果其中任意两个方格既不同行也不同列.将nrXn棋盘中的若I'•个方格染为红色，使得毎行毎列都至多有r个红色方格.试求正整数a的最小協.使得对于任何染色方式.都能在棋盘上找到a条对角线.满足所有的红色方格都在这些对粕线上.解：所求正整数。的域小值为r.用m个点表示方格表的m行，另n个点表示方格表的n列.如果某个方格被染红，则在与该方格所在的行和列分别对应的点之间连一条边，得到一个2部分图Gm,n，其中毎个顶点的度不大于r.在m个行对应点的部分増加n-m个孤立点，则2部分图G，Ti,n变成2部分图Gn^此时图中毎个点的度仍不大于r.记Gn，n的两部分的顶点集分別为A={Ai.A2，/ln}，B= …,Bn}.如果4中存在某个顶点（设为n）的度小于r,则n"Gll= <nr，1=1即n（1（3,）<nr.i=l于是，B中必定存在某个点（设为v）的度小于r.在Gn,n中增添边uv,使顶点u和v的度都増加1.其他顶点的度不变.从而增加新的边阁中毎个顶点的度仍不大于r.如此继续下去.直至毎个顶点的度都等于r,记此吋的阁为G1.W为G'足2部分正则阁，存在完笑匹配.取出共中一个完关匹配1\,在阁中去棹1\的边，则毎个点都去掉一条边.得到的图仍是2部分正则图.于是，又存在完美匹配P2,又在阁中去掉P2的边，则毎个点又都去棹一条边.得到的阁仍是2部分正则阁.如此下去，宣至取出第r个完美匹配Pr,这些匹配互不相交.于足，阁G'中所有边被r个两两不交的n-匹配掩盖.现在，去掉新增