2023年新高考数学大一轮复习真题源大题分类讲义之专题02 利用正弦定理、余弦定理求解四边形问题（解析版）

2.利用正弦定理、余弦定理求解四边形问题一．边长与角【例1】（2018年·新课标I）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以；（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.【方法技巧】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二．面积问题【例2】（2014年·全国Ⅱ）四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【解析】（1）连接．在和中，利用余弦定理列等式和，且，代入数据得，求的值，进而求和的值；（2）由（1）知和的面积可求，故四边形等于和的面积．（1）由题设及余弦定理得．①．②由①②得，故，．（2）四边形的面积．【方法技巧】与三角形面积有关问题的解题策略：(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．三．结构不良问题【例3】（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.【解析】选择①：所以；由余弦定理可得所以选择②：设，则，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【方法技巧】结构不良问题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的.【演练提高】1．（重庆市第八中学2022届高三下学期高考适应性月考卷（五））如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，.（1）求的长；（2）求的面积.【解析】（1）在中，由余弦定理得：，解得：，设为外接圆半径，由正弦定理得：，即.（2）为直径，，，，又，.2．（山东省2022届高三第二次学业质量联合检测）如图，D是△ABC外一点，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）若，，且△ABC的面积是△ADC面积的2倍，求b的值.【解析】（1）在△ABC中，由及正弦定理，得，整理得，即.因为在△ABC中，，所以.又，所以.（2）由（1）知，因为，，所以.又，，所以，解得.因为，所以.3．（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知四边形内接于圆，，，是钝角.（1）求的最大值；（2），求四边形周长的最大值.【解析】（1）设圆的半径为.因为内接于圆，且，，由正弦定理得.又是圆的弦，所以，所以的最大值为4.（2）在中，由正弦定理得，即，所以.因为是钝角，所以，所以，即.由得，设，，在中，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时，取得最大值，所以四边形周长的最大值为.4．（湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（五））如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．（1）求∠ACD；（2）若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．【解析】（1）在中，由余弦定理得：，所以，又因为，所以．（2）由，且，可得，在中，由正弦定理得，所以，

因为为锐角三角形，，，所以，可得，则，所以，所以，所以的取值范围为．5．（2021年·广东韶关市高三综合测试）如图，在中，对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知，若为外接圆劣弧上一点，且，求四边形的面积.【解析】（1）由正弦定理及已知，得，，，，，又，所以，即；（2）由A､B､C､D四点共圆得，设，在三角形中，由余弦定理得所以，而，，，因此.6．（2021年·辽宁省高三期中）在梯形ABCD中，已知，，对角线AC，BD交于O，，，．（1）把BD，分别用的函数表示；（2）若，，，求的值和的面积．【解析】（1）过A点作交CD的延长线于E，则，，，在三角形ACE中，由正弦定理，得，所以，所以，，所以，.（2）因为，所以，所以，在中，由余弦定理得，解得或，又，所以或，因为当时，,与矛盾，所以，所以，所以．7．（2021年·山东潍坊市高三核心素养测评）如图，在平面四边形ABCD中，已知，点E在AB上且AE=2BE，．（1）求的值；（2）求的周长．【解析】（1）由题知，，在中，由正弦定理得，因为，，，所以．（2）因为,所以，所以，所以，在中，因为，，所以，在中，由余弦定理得，所以的周长为．8．（2021年·黑龙江嫩江市第一中学等高三联考）如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，．（1）求的值；（2）求AD的长度．【解析】（1）在中，因为，，，由余弦定理，可得，所以．又由正弦定理可得，所以．所以．（2）由（1），因为为锐角，可得．在中，根据余弦定理，可得，所以．9．（2021年·重庆市天星桥中学高三抽测）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.（1）求氢能源环保电动步道的长；（2）若，求花卉种植区域总面积（电动步道的面积忽略不计）.【解析】（1）因为，，所以，因为，，所以由余弦定理得，因为，所以；（2）因为，所以在ABC中，由余弦定理得，解得或（舍去），因为，所以，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为.10．（2022年·山东淄博市第一中学高三开学考试）在四边形ABCD中，已知，，．（1）求四边形ABCD的面积；（2）求的值．【解析】（1），，，可得，，则，，，，故，又，，故，∴四边形ABCD的面积.（2）在△中，，，．11．（2022年·江苏南通市海安市高三检测）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．【解析】（1）由题意，设，则，，在中，由正弦定理有，即，解得.所以，因为，所以.（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四边形ABCD的面积.12．（2022年·河南濮阳外国语学校高三限时训练）在平面中，四边形满足，，，，面积为4．（1）求的长；（2）求的面积．【解析】（1）由已知，可得，又，所以，所以，在中，由余弦定理，,（2）由（1）可得：，所以，故.由，得，所以，.又，所以，所以为等腰三角形，即.在中，过顶点作的垂线，垂足为，且，，，在中，由正弦定理，可得，所以.13．（2022年·普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（二））如图，在四边形中，．若，，______，求的长．从①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．（注：如果选择多个条件分别