2020高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4. 对数 42 对数的运算课后课时精练 第一册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE7-学必求其心得，业必贵于专精4。3.2对数的运算A级：“四基"巩固训练一、选择题1．2log510＋log50。25＝（）A．0B．1C．2D．4答案C解析2log510＋log50。25＝log5100＋log50。25＝log525＝2.2．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么(）A．x＝eq\f(ab3,c5) B．x＝eq\f（3ab，5c)C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c5答案A解析∵lgx＝lga＋3lgb－5lgc＝lga＋lgb3－lgc5＝lgeq\f（ab3，c5），∴x＝eq\f(ab3,c5)。3．化简log2eq\f（1,2)＋log2eq\f(2,3）＋log2eq\f(3，4)＋…＋log2eq\f（31，32)等于（)A．5B．4C．－5D．－4答案C解析原式＝log2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）×\f（2，3）×\f（3，4）×…×\f（31,32)))＝log2eq\f（1，32)＝－5。4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000,则eq\f（1，x）－eq\f(1,y)＝()A。eq\f（1，3）B．3C．－eq\f（1，3)D．－3答案A解析∵x＝log2。51000＝eq\f(3，lg2.5),y＝log0.251000＝eq\f(3,lg0。25)，∴eq\f（1，x）－eq\f(1，y)＝eq\f（1,3）（lg2。5－lg0.25)＝eq\f(1,3）×lgeq\f（2.5，0.25）＝eq\f（1,3）×lg10＝eq\f（1，3）。5．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（lg\f(a，b）)）2的值等于（）A．2B.eq\f（1,2）C．4D。eq\f（1，4）答案A解析由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f（1，2），∴eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（lg\f（a,b)))2＝(lga－lgb)2＝（lga＋lgb）2－4lga·lgb＝22－4×eq\f（1，2)＝2.二、填空题6．log3eq\f(\r（4,27)，3）＋lg25＋lg4＋7log72＝________。答案eq\f（15,4）解析原式＝log3eq\f(3eq\s\up15（eq\f（3，4)),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq\f（1，4）＋lg102＋2＝－eq\f（1，4）＋2＋2＝eq\f（15,4）。7．化简(log43＋log83)（log32＋log92）＝________。答案eq\f（5，4)解析原式＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(log23，log24）＋\f（log23，log28))）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,log23)＋\f（1,log232））)＝eq\f(5，6)log23×eq\f（3,2log23）＝eq\f（5,4)。8．汶川里氏8。0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关。震级M＝eq\f（2,3）lgE－3。2，其中E（焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6。0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量．答案1000解析设里氏8.0级、6。0级地震释放的能量分别为E2，E1，则8－6＝eq\f(2，3）(lgE2－lgE1),即lgeq\f(E2，E1）＝3.∴eq\f（E2，E1）＝103＝1000,即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹的能量．三、解答题9．计算：（1）logeq\r(3）27＋lg4＋lg25;(2)lg5(lg8＋lg1000）＋(lg2eq\r(3))2＋lgeq\f(1,6)＋lg0。06；(3）2eq\s\up15(log2eq\f(1，4））＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(16,9)）)eq\s\up15（－eq\f(1，2))＋lg20－lg2－（log32）×（log23）＋（eq\r（2）－1）lg1.解(1)原式＝logeq\s\do8（eq\r（3))（eq\r(3)）6＋2lg2＋2lg5＝6＋2(lg2＋lg5）＝8.(2)原式＝lg5(3lg2＋3）＋3(lg2）2－lg6＋lg6－2＝3lg5×lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2（lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.（3）原式＝eq\f(1,4）＋eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（4,3））)2）)eq\s\up15(－eq\f（1，2)）＋lgeq\f（20,2)－eq\f（lg2,lg3）·eq\f(lg3,lg2)＋1＝eq\f（1,4）＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（4，3）)）－1＋lg10－1＋1＝2。10．已知log95＝m,3n＝7,试用含m,n的式子表示log359。解解法一：由3n＝7，得n＝log37。因为m＝log95＝eq\f(log35,log39）＝eq\f（1,2)log35,所以log35＝2m。所以log359＝eq\f（log39，log335)＝eq\f（2,log37＋log35)＝eq\f（2,n＋2m).解法二:由3n＝7，得n＝log37。因为log37＝eq\f（lg7，lg3)＝n,所以lg7＝nlg3。因为log95＝eq\f（lg5,lg9）＝eq\f(lg5,2lg3)＝m,所以lg5＝2mlg3。所以log359＝eq\f（lg9，lg35）＝eq\f(2lg3,lg5＋lg7）＝eq\f（2lg3,2mlg3＋nlg3)＝eq\f(2,2m＋n）。B级：“四能"提升训练1．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2。（1）求证：log2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（b＋c,a）))＋log2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f（a－c，b)）)＝1；(2)如果log4eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（b＋c,a)）)＝1,log8(a＋b－c）＝eq\f(2,3）,那么a,b，c的值是多少？解(1)证明:左边＝log2eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（b＋c，a))）·\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f（a－c，b））））)＝log2eq\f(a＋b2－c2，ab）＝log2eq\f(a＋b2－a2＋b2，ab）＝log22＝1＝右边．所以原等式成立．（2）由log4eq\f(a＋b＋c,a）＝1，得－3a＋b＋c＝0，①由log8(a＋b－c）＝eq\f(2，3）,得a＋b－c＝4，②由题设知a2＋b2＝c2，③由①＋②，得b－a＝2，④由①得c＝3a－b,代入③得a（4a－3b)＝0，因为a〉0，所以4a－3b＝0，⑤由④⑤得a＝6，b＝8，则c＝10。2．已知a，b，x为正数，且lg(bx）·lg（ax）＋1＝0，求eq\f(a,b)的取值范围．解因为lg（bx）·lg(ax）＋1＝0，所以（lgb＋lgx）（lgx＋lga）＋1＝0.所以（lgx）2＋（lga＋lgb)lgx＋lga·lgb＋1＝0.因为x>0，所以上述关于lgx的一元二次方程有实