2022-2023学年上海市宝山中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件A【分析】根据复数为纯虚数的等价条件是实部为零，虚部不为零，再利用充分，必要条件的概念解题，即可得到结果.【详解】当时，复数，为纯虚数；当复数为纯虚数时，有，得或.所以“”是“复数为纯虚数”的充分非必要条件.故选:A.2．下列命题正确的是（

）A．一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行.B．如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.C．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.D．两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行.C【分析】根据线面平行，线面垂直的定义，逐个选项进行判断，可得答案.【详解】对于A，一条直线和一个平面平行，根据线面平行的定义，不能得出它和这个平面内的任何直线平行，故A错；对于B，根据线面垂直的定义，如果该直线垂直于平面内无数条平行直线，则该直线不一定和该平面垂直，故B错；对于C，根据线面垂直的定义，垂直于三角形两边的直线，必定垂直于三角形所成的面，则该直线必垂直于三角形的第三边，故C正确；对于D，两条直线与一个平面成角相等，则两条直线可以相互平行，也可以相互垂直，故D错误；故选：C3．已知点在圆：外，则直线与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定A【分析】根据点在圆外，求出，再根据圆心到直线的距离公式即可判断.【详解】因为点在圆外，所以，所以圆心到直线的距离，所以该直线与圆相交，故选：A.4．如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（

）A．存在点，使∥B．存在点，使平面C．与所成的角不可能等于60°D．三棱锥的体积随动点变化而变化B【分析】根据题意，结合线面平行的判定、线面垂直的判定、异面直线夹角的求法以及锥体的体积公式，一一判断即可.【详解】根据题意，如图所示，连接.对于选项A，∵平面，平面，∴若//，一定有//平面，又∵与平交，∴不存在点，使//，故A错；对于选项B，当为中点时，易知//，∵在正方体中，，，且，∴平面，即平面，故B正确；对于选项C，当为中点时，易知//，//，∵在正方体中，，∴与所成的角为，即与所成的角为，故C错；对于选项D，设正方体边长为2，因为//，//，所以三棱锥的体积，故D错.故选：B.二、填空题5．已知集合，，则_________.【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，集合，，所以.故6．已知直线：，则此直线的倾斜角为_________.##【分析】先求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为.故7．若直线与互相垂直，则实数的值为________．【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.【详解】两直线与互相垂直.所以，解得故本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.8．方程表示圆，则实数的取值范围是_________.或【分析】根据圆方程的判断方法：形如的方程表示圆的条件为，列出不等式，解之即可.【详解】因为方程表示圆，则，解得：或，故或.9．若关于的实系数一元二次方程有一个根为，则_________.【分析】根据虚根成对的知识求得正确答案.【详解】依题意，关于的实系数一元二次方程有一个根为，则另一个根是，.故10．圆心为且与直线相切的圆的方程为_________..【分析】利用点到直线的距离公式可求出半径，从而可求出圆的方程.【详解】由题意可得圆的半径为，所以圆的方程为.故答案为.11．已知、、，则在方向上的数量投影是_________.##【分析】分别求出，再根据在方向上的数量投影为结合数量积的坐标表示即可得解.【详解】解：由、、，得，设的夹角为，所以在方向上的数量投影为.故答案为.12．将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为，圆心角为，则圆锥的体积是_________.【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则，，所以圆锥的体积为.故13．在菱形中，，，为的中点，则的值是_______；1【详解】如图所示：在菱形中，，∴故答案为114．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为_________.##【分析】设容器中水的高度为，根据水的体积和球的体积等于图中圆柱的体积可得出关于的等式，即可得解.【详解】设容器中水的高度为，圆柱的底面半径为，由题意可得，解得.故答案为.15．如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A，B在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是___________.30【分析】过作,交于，过作,交于，然后判断出当四点共面时，点到的距离最大，进而算出AC，最后得到答案.【详解】如图，过作,交于，过作,交于，因为在中，，则，当四点共面时，点到的距离最大.因为，所以是与平面所成的角，则，则，于是，，即到的最大距离为30.故30.16．关于曲线：，有如下结论：①曲线关于原点对称；

②曲线关于直线对称；③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；其中所有正确结论的序号为_________.①②④【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确.【详解】对于①，将方程中的换为，换为，得，所以曲线关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的换为或，换为或，得，所以曲线关于直线对称，故②正确；对于③，由得，即，同理，显然曲线不是封闭图形，故③错误；对于④，由③知曲线不是封闭图形，联立，消去，得，令，则上式转化为，由可知方程无解，因此曲线与圆无公共点，故④正确.故①②④.三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的大小.(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）建系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）∵平面，平面，∴，又∵是矩形，则，，平面，∴平面，平面，则.（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，∴，设平面的法向量，则，令，则，即，∵，∴直线与平面所成角的正弦值为，故直线与平面所成角的大小为.18．（1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值.（2）已知复数是方程的解，若，且（、，为虚数单位），求.（1）；（2）.【分析】（1）求出向量的坐标，根据平面向量平行的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；（2）求出方程的虚根，结合可求得复数的值，利用复数的运算结合复数相等可求得、的值，再利用复数的模长公式可求得的值.【详解】解：（1），因为与平行，则，解得；（2）由，即，可得，解得，即，因为，则，所以，，所以，，解得，所以，.19．已知直线.(1)若直线与圆：交于，两点，求.(2)若直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程.(1)(2)或【分析】（1）求出圆心与半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式求解即可；（2）求出直线的倾斜角，再根据直线与直线的夹角可求得直线的倾斜角，再根据直线的点斜式方程即可得解.【详解】（1）解：圆：的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以；（2）解：直线：的斜率为，则倾斜角为，因为直线与直线的夹角为，所以直线的倾斜角为或，当直线的倾斜角为时，方程为，当直线的倾斜角为时，其斜率为，所以方程为，即，综上，直线的方程为或.20．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.(1)若直线与法向量平行，写出直线的方程；(2)求面积的最小值；(3)如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标.(1)；(2)12；(3)证明见解析，定点为.【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程；（2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不定式即可求出面积最小值；（3）设，利用定比分点公式得到，再设，根据四边形面积得到，代回直线方程，求出定点.【详解】（1）由题设直线，将点代入得，,故直线（2）设直线的方程为，将点代入得，则，则，当且仅当，结合，即时等号成立.故的面积最小值为12.（3）证明：点分向量所成的比的值为2,即为,设,由,即有,可得,,梯形的面积为,由题意可得梯形的面积为6,设,可得,即,由直线的方程为,将代入上式可得,由解得,则直线经过定点.21．已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质.(1)当，判断、是否具有性质；(2)当，，，若函数具有性质，求正数的取值范围；(3)当，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值.(1)具有性质，不具有性质(2)(3)为正奇数【分析】（1）利用函数的单调性结合新定义逐一判断即可；（2）由题意可得在为增函数，由复合函数的单调性可得函数在为增函数，求出函数的单调增区间即可得出答案；（3）由题意可得，从而可得，从而可得出答案.【详解】（1）解：因为函数是上的减函数，又，所以，所以具有性质，因为函数是上的增函数，又，所以，所以函数不具有性质；（2）解：依题意，对于任意的，恒成立，由，得，所以在为增函数（函数不可能为常数函数），令