2021-2022学年江苏省常州市武进区礼嘉中学高二年级下册学期阶段测试数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省常州市武进区礼嘉中学高二下学期阶段测试数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（

）A．4 B． C．4或 D．5A【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可.【详解】由题设，且，则，可得.故选：A2．小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（

）A．84 B．78 C．108 D．96A【分析】首先计算小李与父母中一人相邻的排法数并加总，再排除小李与父母都相邻的情况，即可得结果.【详解】爷爷奶奶和父母中的一人，三人成列有种，队列有4个空，小李与父母中另一人相邻有种，再作为整体插入队列中有种，所以共有种；爷爷奶奶两人成列有种，队列有3个空，小李与父母都相邻有种，再作为整体插入队列中有种，所以共有种；综上，共有种.故选：A3．已知随机变量X服从二项分布X～B(4，)，（

）A． B． C． D．D【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.【详解】∵随机变量X服从二项分布X～B(4，)，∴.故选：D.4．二项式的展开式中含项的系数是（

）A． B． C． D．15B【分析】求出二项式的展开式的通项公式，再由x的幂指数为2确定项数，进行计算作答.【详解】二项式的展开式的通项公式为：，当，即时，，所以展开式中含项的系数是60.故选：B5．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．D【分析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、平面的法向量，应用空间向量的坐标表示，求直线与平面所成角的正弦值.【详解】以点D为坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，，设面的法向量为，有，取，则，所以，，，则直线与平面所成角的正弦值为．故选：D.6．将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（

）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种B【分析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，故有种不同的分配方案；故选：B7．北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（

）参考公式：，其中．参考数据：A． B． C． D．C【分析】设男生人数为，则女生人数为，且,写出列联表并根据卡方计算公式，结合题意确定卡方值的范围，即可确定的取值范围，进而确定男生可能人数.【详解】设男生人数为，则女生人数为，且,可得列联表如下：男生女生合计喜欢滑冰不喜欢滑冰合计所以，因为有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，所以，解得，所以，结合选项只有，故选:C.8．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．A【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，按照距离的向量求法求解即可.【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，设平面的法向量，则，令，解得，故点到平面的距离为.故选：A.二、多选题9．北京冬奥会临近开幕，大众对冰雪运动关注不断上升，各地陆续建成众多冰雪设施，广大市民有条件体验冰雪活动的乐趣，为研究市民性别和喜欢冰雪活动是否有关，某校社团学生在部分市民中进行了一次调查，得到下表：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140m140+m不喜欢n8080+n合计140+n80+m220+m+n已知男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，则（

）参考：，P(＞3.841)＝0.05，P(＞6.635)＝0.01．A．列联表中n的值为60，m的值为120B．有95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系C．随机对一路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动D．没有99%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系ABD【分析】利用列联表及给定占比计算判断A；计算观测值再比对判断B；利用列联表求出对应频率判断C；利用观测值并比对判断D即可作答.【详解】依题意，，解得，由，解得，A正确；，则有95％的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动有关系，B正确；随机对一路人进行调查，喜欢冰雪运动的频率为：，则有65%的可能性对方喜欢冰雪运动，C不正确；，没有99％的把握认为市民性别与喜欢冰雪运动有关系，D正确.故选：ABD10．已知二项式，则下列说法正确的是（

）A．展开式中的常数项为160 B．展开式中含项的系数是60C．若展开式中各项系数之和为64 D．展开式中的二项式系数最大项为第3项AB【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算判断A，B；求出各项系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.【详解】二项式展开式的通项公式，由得，所以展开式中的常数项为，A正确；由得，所以展开式中含项的系数是，B正确；由展开式中各项系数之和为，C不正确；展开式中的二项式系数最大项为第4项，D不正确.故选：AB11．根据我省普通高中高考综合改革方案，现将某校高二年级1000名参加生物选择考同学的分数转换为等级分，知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若使等级分，则下列说法正确的有（

）（参考数据：①；②；③.）A．这次等级分超过80分的约有450人B．这次等级分在(65,95]内的人数约为997C．甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率为D．BCD【分析】利用正态分布的三段区间的概率求特殊区间的概率并估计人数判断A、B、D，结合二项分布的概率公式求C中概率.【详解】由题设，，A：，故人，错误；B：在(65,95]内的概率为，则人，正确；C：甲、乙、丙3人中至多有2人的等级分超过80分的概率，正确；D：，正确；故选：BCD12．如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（

）A．棱上存在一点M，使得//平面B．直线到平面的距离为C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为D．过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为BCD【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助空间向量分析计算可判断A，B；作出过与平面平行的正方体截面，计算其面积判断C；求出直线PQ被正方体的外接球所截弦长即可计算作答.【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设棱上点，，则，若//平面，则有，解得，与矛盾，即在棱上不存在点M，使得//平面，A不正确；连AC，矩形是正方体的对角面，有，而P，Q分别为棱AB，BC的中点，则，又平面，平面，于是有平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离h，因，则，B正确；取AD，CD的中点E，F，连接，则，即确定一个平面，如图，依题意，，，即四边形是平行四边形，，平面，平面，于是得平面，显然，平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即梯形是过与平面平行的正方体的截面，而，则此等腰梯形的高，所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C正确；过PQ的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ被正方体的外接球所截弦，由对称性知线段PQ中点N是这个小圆的圆心，令正方体的外接球球心为O，连接ON，OP，则，而，而球半径，则这个小圆半径，此圆面积为，D正确.故选：BCD关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题13．向量，，，且，，则______.【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x，y，再利用坐标求出向量的模作答.【详解】因，，而，则有，解得，即又，且，则有，解得，即，于是得，，所以.故14．某产品在某零售摊位上的零售价x（元）与销售量y（个/天）的统计数据如下表：x16171819y50m3431根据表中的全部数据，得到y关于x的线性回归方程为，则表中m的值为____.41【分析】求出，由回归直线过中心可得值．【详解】由题意，，所以，解得．故41．15．已知，且，则______．【分析】运用二项式定理将进行展开，分别求出各个项的系数，再带入到中，解方程即可求．【详解】由二项式定理得：的通项为：，又则其通项为：即，，，，，，代入，化简得：，解得故．16．如图，在正四棱锥中，分别为侧棱上的点，四点共面，若，则_________..【分析】先证明成立，设正四棱锥的体积为，，应用结论可得，从而可解得，进而可得.【详解】先证明一个结论：如图，若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，则四面体体积之比.事实上，设分别是点到平面的距离，则，从而.设正四棱锥的体积为，，应用上述结论可得，则，，则，所以；同理可得.所以，解得，即，从而.故答案为.结论点睛：若不在同一平面内的射线上分别存在点，点和点，则四面体体积之比.四、解答题17．已知某圆上的10个不同的点.(1)过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？(2)过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？(1)条(2)个【分析】（1）根据2点可以确定一条直线，可得从10个点任选2个点取法，即可求得答案；（2）根据不共线的三点确定一个圆，可得从10个点任选3个点取法有，即可求得答案.【详解】（1）2点可以确定一条直线从10个点任选2个点取法故一共可画条弦（2）不共线的三点确定一个圆从10个点任选3个点取法有故一共可画个圆内接三角形18．如图，在三棱锥中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得MN∥AB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC⊥平面ABC，从而有AB⊥VC，然后由线面垂直的判定定理可证得结论【详解】（1）证明：∵M，N分别为VA，VB的中点，∴MN∥AB，∵AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，∴AB∥平面CMN．（2）证明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥VC，又VC∩BC＝C，∴AB⊥平面VBC．19．某加工厂加工某种零件，由新旧两台机床加工，为考核两台机床同时加工质量，各抽取100个样本，测偏差率，得数据如下表：偏差率新机床202535119旧机床1020302515其中偏差率小于0.06的为合格产品.(1)若两台机床生产零件总数量相同，以样本频率为概率，求任取一件产品为合格品的概率；(2)填下表：合格品不合格品合计新机床旧机床合计计算有无99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关.参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)；(2)填表答案见解析，没有99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关.【分析】（1）利用古典概型概率公式即得；（2）由题可得列联表，利用公式计算即得.【详解】（1）由题可得200个样本中，合格品有140个，故任取一件产品为合格品的概率.（2）表格填充如下：合格品不合格品合计新机床8020100旧机床6040100合计14060200，所以没有99.9%的把握认为合格率大小与新旧机床有关.20．在如图所示的几何体中，四边形是正方形,底面.,且,,.(1)若与交于点,求证:平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的余弦值.(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）如图，取中点，连，，易得，且，又由已知得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面；（2）建立空间直角坐标系，只需证明，即可.（3）根据两个面的法向量求解即可.【详解】（1）如图，取中点，连，，在中，因为分别是的中点，所以，且，又由已知得，，且，所以，所以四边形是平行四边形，所以又平面，平面所以平面（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系则，所以，，所以，且所以，；又，所以平面（3）设平面的法向量为由（Ⅱ）知，所以，令，得又平面的法向量为设二面角的大小为，是锐角则所以二面角的余弦值为21．某高校的入学面试中有编号为A，B，C的3道试题，每位面试者依次作答这3道试题.面试共有3次机会，只要答对其中一道题面试即通过，无需继续答题，否则就作答下一题，直到3次答题机会全部用完.该校规定：答对A题通过者得30分，答对B题通过者得20分，答对C题通过者得10分，未通过面试者得0分.若小明同学答对A题的概率是，答对B题的概率是，答对C题的概率是，且各题作答相互独立.(1)求小明同学答题不超过2道的概率；(2)记小明同学得分为X分，求X的概率分布及数学期望.(1)；(2)详见解析.【分析】（1）