2020高中数学 第1章 常用逻辑用语章末复习课学案 北师大版

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12-学必求其心得，业必贵于专精第1章常用逻辑用语1．四种命题：原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题（它的逆命题与它的否命题)同真同假．2．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判断．判断充要条件时常见有两种方法，分别是定义法和集合关系法．3．由“且”“或”“非"构成的新命题有三种形式：“p或q”“p且q”“非p”．4．命题的否定与否命题的区别：否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．命题关系及其真假判定【例1】判断下列命题的真假:（1)若x∈A∪B,则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若自然数能被6整除，则自然数能被2整除的逆命题;（3)若0＜x＜5，则｜x－2｜＜3的否命题及逆否命题;(4)若不等式（a－2）x2＋2(a－2）x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a∈（－2，2)的原命题、逆命题．[解](1)逆命题:若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义,逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B。逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B,A＝｛2，3},但2∈A∪B.(2）逆命题:若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2，4,14,22等都能被2整除,但不能被6整除．（3）否命题：若x≤0或x≥5，则｜x－2|≥3。否命题为假．反例:x＝－eq\f（1,2）≤0，但eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)－2））＝eq\f（5，2）＜3.逆否命题：若|x－2｜≥3，则x≤0或x≥5。逆否命题为真,因|x－2｜≥3⇒x≥5或x≤－1。（4)原命题为假．因为(a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0,当a＝2时，变为－4＜0，故为假命题．逆命题：若a∈（－2,2)，则不等式（a－2)x2＋2（a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立．逆命题为真,因为当a∈（－2，2）时，Δ＜0，且a－2＜0.1．四种命题的改写步骤(1)确定原命题的条件和结论．（2)逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．2．命题真假的判断方法：直接法、间接法．1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)相等的两个角的正弦值相等；（2）若x2－2x－3＝0，则x＝3.[解］（1)逆命题:若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题;否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题;逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．（2)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题:若x2－2x－3≠0，则x≠3。真命题；逆否命题：若x≠3,则x2－2x－3≠0。假命题．充分条件与必要条件【例2】设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a〉0，命题q：实数x满足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2－x－6≤0，,x2＋2x－8〉0。))若﹁p是﹁q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．［解］由x2－4ax＋3a2得(x－3a）(x－a又a〉0，所以a〈x〈3a由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2－x－6≤0，,x2＋2x－8〉0，）)得2〈x≤3,﹁p是﹁q的充分不必要条件,即﹁p⇒﹁q，且﹁q﹁p，设A＝｛x|﹁p}，B＝｛x|﹁q｝，则AB，又A＝{x|﹁p｝＝｛x｜x≤a或x≥3a｝，B＝｛x|﹁q｝＝｛x｜x≤2或x则0〈a≤2，且3a>3，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(1〈a≤2))）).判断充分条件、必要条件和充要条件的方法1定义法：①p⇒q且qp,则p是q的充分不必要条件.②pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件.③p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件.④pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.2集合法:①若AB,则x∈A是x∈B的充分不必要条件，同时x∈B是x∈A的必要不充分条件.②若A⊆B,则x∈A是x∈B的充分条件,x∈B是x∈A的必要条件。③若A＝B，则x∈A是x∈B的充要条件，x∈B是x∈A的充要条件.④若AB且BA，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件.2．(1)给定两个命题p，q，若﹁p是q的必要不充分条件，则p是﹁q的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）设点P（x,y），则“x＝2且y＝－1"是“点P在直线l：x＋y－1＝0上"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析］（1）由题意，“若q，则﹁p”为真，则其逆否命题“若p，则﹁q"也为真，即p是﹁q的充分不必要条件．（2）由“x＝2且y＝－1”,可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上",反之不成立，故选A。[答案］（1)A（2）A全称命题与特称命题【例3】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假：（1）对任意实数x，都有x2＋3〉0；（2)每一个指数函数都是增函数；（3）至少有一个自然数小于1;（4）存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0.［解］(1）是全称命题．当x∈R时，x2≥0，则x2＋3〉0。故该全称命题是真命题．（2）是全称命题．对于指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））x，它是减函数，故该全称命题是假命题．（3）是特称命题．显然，自然数0小于1，故该特称命题是真命题．（4)是特称命题．对方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－4<0，即方程x2＋2x＋2＝0没有实数根，因此该特称命题是假命题．判断全称命题、特称命题及其真假的方法：1判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词,有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断。2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题；3要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题。3．（1)命题“任意x∈R,x2＋4x＋4≥0”的否定为__________．（2)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：①对数函数都是单调函数；②至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；③任意x∈｛x｜x是无理数}，x2是有理数；④存在x0∈Z，log2x0＞0。（1)[解析]全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定为：存在x0∈R,xeq\o\al（2，0)＋4x0＋4＜0。[答案］存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋4x0＋4＜0（2）[解］①全称命题，真命题；②特称命题，真命题；③全称命题，假命题,例如，当x＝eq\r（4，2)时，x2＝eq\r（2)，不是有理数；④特称命题,真命题．分类讨论思想的应用[探究问题］1．命题“p或q”为真、“p且q"为假包含真假情况有哪几种？[提示］由p或q为真知命题p与命题q至少有一个为真，由p且q为假知命题p与命题q至少有一个为假，由此可知命题p与命题q一真一假．因此需分两种不同情况分类讨论．2．分类讨论的原则和步骤是什么?如何解决复合命题中参数范围的求解问题．[提示］(1）分类讨论的分类原则：①要有明确的分类标准;②分类要不重复、不遗漏；③当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤为:先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准,逐段分析，获得阶段性结果,最后归纳总结得出结论．(2）若命题“p或q”“p且q”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p,q,直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况分类讨论参数的取值范围．【例4】已知a〉0且a≠1，设命题p:函数y＝ax在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2a|〉1的解集为R，如果p和q有且只有一个正确，求a［思路点拨]分p正确且q不正确，p不正确且q正确两种情况求解．［解］由函数y＝ax在R上单调递减知0<a<1，∴p：0<a<1.不等式x＋|x－2a｜〉1的解集为R即y＝x＋|x－2a|在R又x＋｜x－2a|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－2a,x≥2a，，2a，x<2a.））∴函数y＝x＋|x－2a｜在R上的最小值为2a。故要使解集为R，只需2a〉1.∴a〉eq\f(1,2）.∴q：a〉eq\f(1,2）。如果p真q假，则0〈a≤eq\f（1，2)；如果p假q真，则a〉1.故a的取值范围为eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(0<a≤\f(1，2)或a〉1)))）。将例4中的条件“如果p和q有且只有一个正确"变成“p或q”为真．求a的取值范围．［解］当p