2020高中数学 24 空间两点间的距离（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业（二十四）（建议用时：60分钟）［合格基础练]一、选择题1．已知平行四边形ABCD，且A(4，1,3)，B（2,－5,1）,C（3，7，－5),则顶点D的坐标为（）A．(－5,13，－3) B．(5，13,－3)C．(5，－13，3) D．(5,13,3)B［由平行四边形对角线互相平分的性质知,AC的中点即为BD的中点，AC的中点Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（7，2)，4，－1）).设D（x，y，z），则eq\f（7,2)＝eq\f(x＋2,2），4＝eq\f(－5＋y,2），－1＝eq\f（1＋z,2)，∴x＝5，y＝13，z＝－3，∴D(5，13，－3）．］2．点B是点A(2，－3，5)关于平面xOy的对称点，则AB的长为（）A．2eq\r（26） B．2eq\r(34）C．4eq\r(13) D．10D[点B的坐标为B（2，－3,－5），∴AB＝eq\r((2－2)2＋(－3＋3)2＋（5＋5）2）＝10.]3.在如图所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4，4，2），E，F分别为BC，A′B′的中点，则EF的长为()A．12 B．2eq\r(11）C．2eq\r(3） D.eq\r（10）C［由C′（4，4，2）知，B(4，0，0)，C(4，4，0），A′（0，0，2），B′(4，0，2）．由中点坐标公式得，E(4,2，0），F(2，0，2），∴EF＝eq\r（（4－2)2＋（2－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(3）.］4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中,若D(0，0，0），A(4，0,0），B(4，2,0)，A1（4，0，3)，则对角线AC1A．9 B。eq\r（29)C．5 D．2eq\r（6)B[由已知可得C1(0，2，3)，∴AC1＝eq\r（（0－4）2＋（2－0）2＋（3－0）2）＝eq\r（29）。］5．设A(1，1，－2)，B（3，2，8）,C（0，1,0），则线段AB的中点P到点C的距离为（）A。eq\f(\r（13），2) B。eq\f（\r（53)，4）C.eq\f(53,2） D.eq\f（\r(53），2）D[利用中点坐标公式，得点P的坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3)），由空间两点间的距离公式，得PC＝eq\r(（2－0）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，2)－1）)\s\up12(2）＋（3－0）2)＝eq\f（\r（53)，2）.］二、填空题6．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示,则BC边上的中线的长是________．eq\r(3）［设BC边上的中线长为AM，BC的中点坐标为M(1,1，0)．又A（0,0，1),∴AM＝eq\r(12＋12＋（－1）2)＝eq\r(3).]7．已知A(1，－2,1），B(2，2，2），点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标为________．(0,0，3)[设P(0，0，c),由题意得eq\r（（0－1）2＋（0＋2)2＋（c－1）2）＝eq\r（（0－2）2＋（0－2）2＋（c－2)2),解得c＝3，∴点P的坐标为（0，0，3）．]8．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N（6，5，1）的距离最小,则M点坐标为________．(1，0，0）[设M点坐标为(x,1－x，0)，则MN＝eq\r（（x－6）2＋（1－x－5）2＋（0－1）2)＝eq\r（2(x－1）2＋51)≥eq\r(51）（当x＝1时，取“＝”)，∴M（1，0，0）．］三、解答题9．在直三棱柱ABC.A1B1C1中,AC＝2,CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1,AB，C1B1，CB的中点,如图建立空间直角坐标（1)在平面ABB1A1中找一点P，使△ABP（2)能否在MN上求得一点Q,使△AQB为直角三角形？若能，请求出点Q的坐标，若不能,请予以证明．［解］(1）因为EF是AB边的中垂线，在平面AB1内只有EF上的点与A,B两点的距离相等,则P必在EF上，设P（1，2，z)，则由｜PA｜＝｜AB|，得eq\r（（1－2）2＋（2－0）2＋（z－0）2）＝eq\r((0－2）2＋（4－0）2＋(0－0)2）,即eq\r（z2＋5)＝eq\r(20），∴z2＝15。∵z∈［0，4］，∴z＝eq\r(15)。故平面ABB1A1中的点P（1,2，eq\r(15））,使△ABP为正三角形．（2)设MN上的点Q(0，2，z），由△AQB为直角三角形，其斜边的中线长必等于斜边长的一半，∴|QF|＝eq\f（1,2)｜AB|，即eq\r（1＋z2）＝eq\r（5)，∴z＝2（0<z<4)，故MN上的点Q（0，2，2）使得△AQB为直角三角形．10．如图，在长方体ABCD。A1B1C1D1中,AD＝AA1＝2，AB＝4,DE⊥AC，垂足为E，求B1E［解］如图,以点D为原点,以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），B1(2，4，2),A(2，0，0)，C（0，4，0），设点E的坐标为（x，y，0），在坐标平面xOy内,直线AC的方程为eq\f（x,2)＋eq\f(y,4）＝1,即2x＋y－4＝0，DE⊥AC，直线DE的方程为x－2y＝0。由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（2x＋y－4＝0,,x－2y＝0，)）得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝\f(8,5），,y＝\f（4,5），）)∴Eeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(8,5），\f(4,5），0)）。∴B1E＝eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（8,5）－2))\s\up12(2）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4，5)－4）)\s\up12(2)＋(0－2）2)＝eq\f(6\r（10），5），即B1E的长为eq\f（6\r（10）,5).［等级过关练]1．在空间直角坐标系中，点A（－3，4，0）与点B（2，－1，6)的距离是（)A．2eq\r（43） B．2eq\r(21）C．9 D.eq\r（86)D[由｜AB｜＝eq\r（（－3－2）2＋（4＋1）2＋（0－6）2)＝eq\r（86）.］2．已知△ABC的三个顶点坐标是A（3，1,1),B（－5，2，1)，C(－4，2，3)，则它在yOz平面上的射影所组成的△A′B′C′的面积是(）A。eq\f(1，2) B．1C．2 D。eq\f（5,2）B［A,B，C三点在yOz平面上的射影为A′（0，1，1），B′（0，2，1)，C′(0，2，3),△A′B′C′是以B′为直角的直角三角形，∴S△A′B′C′＝eq\f(1，2）×1×2＝1.]3．三棱锥各顶点的坐标分别为（0,0，0），(1，0,0），(0，2，0),（0，0，3),则三棱锥的体积为________．1［V＝eq\f(1,3）S·h＝eq\f（1，3）×eq\f(1,2）×1×2×3＝1。]4．在空间直角坐标系中,一定点P到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是________．eq\f（\r(6),2)[设P（x，y，z),由题意可知eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1，，y2＋z2＝1，，x2＋z2＝1，））∴x2＋y2＋z2＝eq\f(3,2），∴eq\r（x2＋y2＋z2）＝eq\f（\r（6），2).］5．如图(1)，已知矩形ABCD中,AD＝3，AB＝4。将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD。现以D为坐标原点，射线DB为y轴的正方向，建立如图(2）所示空间直角坐标系,此时点A恰好在xDy平面内，试求A,C两点的坐标．［解]由题意知，在直角坐标系D.xyz中，B在y轴的正半轴上，A，C分别在xDy平面、yDz平面内．在xDy平面内过点A作AE垂直y轴于点E，则点E为点A在y轴上的射影．在Rt△ABD中，由AD＝3,AB＝4，得AE＝eq\f(12,5)，从而ED＝eq\r（AD2－AE2