新高考数学理一轮总复习知能演练25函数与方程(含答案详析)

一、选择题2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是)1A．0,2B．0，211C．0，－2D．2，－212剖析：选C.∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax－ax＝－ax(2x＋1)，∴零点为0和－2.2．(2012高·考湖北卷)函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．5剖析：选D.借助余弦函数的图象求解．f(x)＝xcos2x＝0?x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0π3π5π7π在[0,2π]上有4，4，4，4，共4个根，故原函数有5个零点．3．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定剖析：选D.由题意，知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f(－1)·f(1)符号不确定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.4．(2011·考课标全国卷高)在以下区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()－1，01A.B.0，441，1D.1，3C.4224剖析：选C.∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0.∴f(x)在其定义域上是严格单调递加函数．110∵f－4＝e－4－4<0，f(0)＝e＋4×0－3＝－2<0，1111f4＝e4－2<0，f2＝e2－1>0，1∴f4·f2<0.225．方程|x－2x|＝a＋1(a＞0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4剖析：选B.∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与

y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．二、填空题6．用二分法求方程

x3－2x－5＝0在区间

[2,3]内的实根，取区间中点

x0＝2.5，那么下一个有根区间是

________．剖析：由计算器可算得

f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)

·f(2.5)<0，因此下一个有根区间为

(2，2.5)．答案：(2,2.5)7．若函数f(x)的图象是连续不断的，依照下面的表格，可判断f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞).x123456f(x)136.12315.542－3.93010.678－50.667－305.678剖析：用二分法解题时要注意，依照区间两个端点函数值符号的异同，确定零点所在区间．答案：③④⑤8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．剖析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，－2＋3＝－aa＝－1由根与系数的关系知－2×3＝b，∴，b＝－6∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0，3解集为{x|－2＜x＜1}．3答案：{x|－＜x＜1}三、解答题9．已知函数32x11f(x)＝x－x＋＋.求证：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.242证明：令g(x)＝f(x)－x.11111∵g(0)＝4，g(2)＝f(2)－2＝－8，∴g(0)g(·1又函数g(x)在[012)<0.，2]上连续，因此存在x0∈(0，1)，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.2210．判断函数f(x)＝23在区间[－1,1]上零点的个数，并说明原由．4x＋x－x37解：∵f(－1)＝－4＋1＋3＝－3<0，213f(1)＝4＋1－3＝3>0，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝9－2(x－12，22)9当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤2，∴f(x)在[－1,1]上是单调递加函数，∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．一、选择题1．已知函数32有唯一零点，则以下区间上必存在零点的是()f(x)＝x－2x＋2A．(－2，－3)B．(－3，－1)2211C．(－1，－)D．(，0)22剖析：选C.由题意，可知11f(－1)·f(－)<0，故f(x)在(－1，－)上必存在零点，应选C.222．(2013丹·东调研)已知函数f(x)＝log2x－(1)x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值(3)A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零剖析：选A.由题意知f(x0)＝0，f(x)＝log2x－(1)x在(0，＋∞)为增函数，又0<x1<x0，所3以f(x1)<f(x0)＝0，应选A.二、填空题3．(2011高·考辽宁卷)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．剖析：函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex与函数y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递加，在(ln2，＋∞)上递减，因此g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，因此要使函数g(x)＝2x－ex与函数y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．答案：(－∞，2ln2－2]4．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，若是我们采用初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求最少需要计算的次数是________．1.5－1.4剖析：设最少需要计算n次，由题意知n＜0.001，即2n＞100，由26＝64,27＝1282知n＝7.答案：7三、解答题5．(2013岳·阳质检)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，x2x即方程(2)＋m·2＋1＝0仅有一个实根．当＝0时，即m2－4＝0，∴m