集合间的基本运算

集合间的基本运算一、知识概述1、交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作A^lB（读作‘A交B’），即A^lB={x|xEA，且xEB}.2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集.记作：aUb（读作‘A并B’），即aUb={x|xEA，或xEB}.3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A3），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作「网，艮即豚二{汇|拦§且居H}.性质：盘5=孔「成如辛=$.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S，。表示・4、运算性质：（1）质网=如网=乩（2）如。二。丑必"；（3）如如町SUAEIM；（4）Ar\^A=0,A\J^A=U（5）A（'\B=qA⑹&（纯司二（如）n（撰）;顷如为=g&）u（接）.二、例题讲解例1、设集合A={一4,2m—1,mJ,B={9,m—5,1—m},又A^B={9},求实数m的值.解：B={9},2m—1=9或m：9,解得m=5或m=3或m=—3.若蚌5,则A={—4,9,25},B={9,0,—4}与A「B={9}矛盾；若m=3,则B中元素m—5=1—m=—2,与B中元素互异矛盾；若m=—3,则A={一4,—7,9）,B={9,—8,4}满足A「B={9}.m=—3.例2、设A=（x|x2+ax+b=0）,B=（x|x2+cx+15=0）,又A『B={3,5},ACIB二⑶,求实数a,b,c的值.解：VAnB={3},A3GB,.・.3，+3c+15=0,・.・c二一8,由方程x-8x+15=0解得x=3或x=5.・.・B={3,5）.由A匚（aUb）={3,5}知,355，A（否贝!j5GAAB,与AAB={3}矛盾）.故必有A={3},方程x2+ax+b=0有两相同的根3.由韦达定理得3+3=—a,3X3=b,即a=—6,b=9,c=—8.例3、已知A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+bW0},且AEB={x|0VxW2},AUB={x|x>—2},求a、b的值.解：A=(x|—2<x<—1或x>0},TOC\o"1-5"\h\z设B=[x,x],由AAB=(0,2]知x=2,122且一1WxW0,①1由AUB=(—2,+8)知一2WxW—1.②1由①②知x=—1,x=2,12.•.a=—(x+x)=—1,b=xx=—2.1212例4、已知A=(x|x2—ax+a2—19=0},B={x|x—5x+8=2},C={x|x2+2x—8=0}.若0^AAB，且AEC二。，求a的值.解：VB=(x|(x—3)(x—2)=0}=(3,2},C={x|(x+4)(x—2)=0}={—4,2},又v^anB,・.・AebK.又•.•Anc二°,・.・可知一4^A,2^A,3EA.・••由9—3a+a2—19=0,解得a=5或a=—2.①当a=5时，A=(2,3},此时AnC={2}尹。，矛盾，.'.a尹5；②当a=—2时，A={—5,3},此时AEC=/,AEB={3}尹°，符合条件.综上①②知a=—2.例5、已知全集U={不大于20的质数},M,N是U的两个子集，且满足ME（命"）={3,5},（山财）en={7,19},（虻财）^（山"）={2,17},求M、N.解：用图示法表示集合U,M,N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素.特别提示：下列四个区域：对应的集合分别是：①一祢洲）；②」作；③一m"；④」心皿.一、选择题1、下列命题中，正确的是（）若U=R,A^U,靠（昂为=3）；若U为全集，中表示空集，则昂中二中；若A={1,①，{2}},则则{2}WA；若A={1,2,3},B={x|x^A}，则AEB...■;1..M=｛x\m点一盘+一｝部=｛工|或-一建了式毗2、设数集43且M、N都是集合｛x|0WxW1｝的子集，如果把b-a叫做集合｛x|aWxWb｝的“长度”，那么集合MAN的“长度”的最小值是（）TOC\o"1-5"\h\z123B.3C.日D.日3、设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M-N=｛x|xEM且x^N｝，则M-（M-N）等于（）A.NB.MANC.MUND.M4、已知全集U=R，集合m=｛iMTH｝和^=｛亦=的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个B.2个C.1个D.无穷个1、〕U（】uA）Hugu，｛2｝£A，｛2｝单独看是一个集合，但它又是A中的一个元素.312、集合M的“长度”为彳，集合N的“长度”为矿而集合311___|___｛x|0WxW1｝的“长度”为1，故MAN的“长度”最小值为日3一侦3、M-N=｛x|xEM且展N｝是指图（1）中的阴影部分.同样M-（M-N）是指图（2）中的阴影部分.4、・.・图形中的阴影部分表示的是集合，由"T&解得集合技二"|-1*工*3｝，而n是正奇数的集合，.•.肱门"=｛1日，故选B.二、填空题5、已知集合A=｛x|x2—3x+2=0｝，集合B=｛x|ax—2=0｝(其中a为实数)，且AUB=A，则集合C=｛a|a使得AUB=A｝=.5、｛0，1，2｝解析：A=｛1，2｝，由AUB=A，得B^A.•「1EA，即得a=2；或2EA，即得a=1；或B=^，此时a=0.•C=｛0，1，2｝.6、非空集合sM｛1，2,3,4,5｝，且若aeS，则6—a^S，这样的S共有个.6、6解析：S=｛1，5｝或｛2,4｝或｛3｝，或｛1，3，5｝，或｛2,4，3｝，或｛1，5，2，4｝．三、解答题7、设集合月=伍七必一1U=但一5」一饱9).若犯⑴门刃，求实数a的值.若｛9｝=月门#，求实数a的值.7、解：（1）・「9丘应门#,.・.9EA.则&2=9或&—1=9.解得a=±3或5.当企=3时，R={9,。4）,占={-2,-2,9}（舍）；当企=一3时，H={9,T,—4},£?={—&4,9）（符合）；当山=5时，R={25&—4}档=（。19）（符合）.综上知&=一3或你=5.（2）由（1）知企=一3.8、已知全集U=r,，=U|-"+女+10v。},，=*|再v能+1或x>M—l}，若&籍W，求实数徽的取值范围8、解：依题设可知全集昌=R且&旦="|一/+女+1。顼今&归命可知.分类如下：①若,^。m+1>2m—1=~mV2.由+1》-2②若&归8，则m+1W2m—1,且—，解得2WmW3.由①②可得：mW3.「・实数m的取值范围为｛m|mW3｝.9、已知全集U=｛|a—1|,(a_2)(a—1),4,6｝.若［相仍=0顷求实数a的值；若「日』=。,4｝,求实数a的值.9、解：(1)・.•顽u用=8=｛叩｝,且BWU,.,.|a—1|=0,且(a—2)(a—1)=1,或|a—1|=1,且(a—2)(a—1)=0；第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a-1|=1得a=0或a=2,「・a=2.(2)依题意知|a—1|=3,或(a—2)(a—1)=3,若|a—1|=3,则a=4,或a=—2；怪=3土，用若(a—2)(a—1)=3，则言?经检验知a=4时，(4—2)(4—1)=6，与元素的互异性矛盾.3土应.*.a=—2或？.10、设集合A=｛工成十4h=D｝,B=｛k|亍+20+1)工+^-1=口，兴只｝，若aW=B,求实数口的值.10、解：先化简集合A=｛f盼.由a^B=B,则BWA,可知集合B可为°,或为｛0｝,或｛—4｝，或｛-%盼.⑴若B二。，则A4g+1)，—"—1)罚，解得□<-1；若口EB,代入得&'-l=on*=i或*=-1,当口二1时，B=A，符合题意；当企=T时，B={0}WA，也符合题意.若一修B，代入得罗-％十7=口na=7或仅二1，当企=1时，已经讨论，符合题意；当口二7时，B={—12，—4}，不符合题意.综上可得，口二1或口w-i.11、已知集合A={x|x2—4mx+2m+6=0}，B={x|xV0}，若AEB尹，求实数m的取值范围.U=加\%=(-4rn)2-4(2rn0)=(rn|腕W-L或成云J}11、解：设全集艾.<X]+电=物彳Cl,若方程x2—4mx+2m+6=0的两根x，x均非负，则+6^0.12解得E.m-...{m|N}关于U的补集是{m|mW—1}，.・・实数m的取值范围是{m|mW—1}.1、(全国I，1)设集合A={4,5,7,9}，B={3,4,7,8,9}，全集U=AUB，则集合&如跄中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x>0},则等于（）A.{x|0WxW2}B.{x|0<x<2}{x|x<0或x>2}D.{x|xW0或xA2}答案：A解析：..•x2—2x〉0,..・x（x—2）〉0，得x<0或x>2,.・・A={x|x<0或x〉2},&如WgG}.3、（山东，1）集合A={0,2,a},B={1,a2}.若AUB={0,1,2,4,16}，则a的值为（）A.0B.1C.2D.4答案：D解析：..・AUB={0,1,2,a,a2},又AUB={0,1,2,4,16},「・{a,a2}={4,16},「・a=4,故选D.集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。图形不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，同时也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合运算能建立在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具，又是正确解题的手段.例1、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%,洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的为25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为（）A.10%B.12%C.15%D.27%分析：这是一个小型应用题.把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助Venn图解法.解：不妨设调查了100户农户，U={被调查的100户农户}，A={100户中拥有电冰箱的农户},B={100户中拥有电视机的农户},C={100户中拥有洗衣机的农户},由图知,的元素个数为49+85+44—63—25=90.则&（HU'UQ的元素个数为100—90=10.答案：A一般此类题利用Venn图直观手段，使集合中元素的个数，以及集合间的关系更直接的显示，进而根据图逐一把文字陈述