江西省临川市2022-2023学年数学高三第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：12．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，平面四边形ACBD中，ABBC，AB 3，BC2，△ABD为等边三角形，现将△ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且PBBC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（ ）A．8 B．C．D．8 23f(xf(xf'(xln(1xln(1x)恒成立，则a的取值范围是（ ）A．(3,1) B．(4,1) C．(3,0)

2 x[11f(ax1)f(x1)1x2 62D．(4,0)若不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，y，z成等比数列，则xy（ ）zA．52

7B．C．2 D．2已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点对称，则f（5）+f（﹣1）＝（ ）﹣2

﹣1

C．2 D．405．命题x(0,1),e0

lnx”的否定是（ ）A．x(0,1),exlnx

x0

(0,1),ex

lnx0x0

(0,1),ex

lnx0

x0

(0,1),ex0

lnx00已知F,F是双曲线C:x2y 0)的两个焦点，过点02

x轴的直线与CB两点，若1 2 a2 1AB 2ABF2

的内切圆半径为（ ） 333x

3 3

2 33A{xZA．{﹣1，0，1，2，3}

x

0}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ）B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2}D．{x﹣1≤x≤2}8A|x22x15B|0x，则AR

B等于( )A．5,7

B．3,7

C．3,7 D．5,7下列与A．2kπ＋45°(k∈Z)

的终边相同的角的表达式中正确的( )B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z)某几何体的三视图如图所示（单位：cm，则该几何体的体积（单位：cm3）为（ ）16 20 22A． B．6 C． D．3 3 3x2 y2已知点P是双曲线C: a2 b21

0,b0,c a2b2P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为c2，则双曲线C的离心率为（ ）42

52

3

D．2 12．设全集U=R，集合M x|

xNx|2x}，则M

N（ ）UA．B．0,1 C．0,1

D．,1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。π 4 π π13（5分）已知cos ) ，且( ,0)，则2cos 2sin( )的值 ．2 5 2 4AB＝6，O为圆心，CA、B的任意一点，若POC上的动点，则PA

PC的最小值为 .李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元65元盒、80元盒、90元/120x80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．函数fxcos3xπ在的零点个数为 ．6 6 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在ABC中，角C的对边分别为c，且满足asinBbcosAc，线段BC的中点D.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）已知sinC 10，求ADB的大小.1018（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改800100.5.0以上的人数；0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？在（2）中调查的100882人，记坚持做眼保健操的学生人数为XX.nadbc2附：K2abcdacbdK2k0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919（12分）如图，在直三棱柱ABCABC中，CACB，点Q分别为AB，CC

的中点.求证：1 1 1 1 1PQ//ABC；PQABBA.1 120（12分）已知函数fx1xalnx.x（1）fx在a的取值范围：若3

a

5

fx

的两个极值点为

x

fx记 1

fx2

Mm2 2的值.

1 2 xx1 221（12分）已知数列an

nn项和，对于任意的nN*满足关系式2Sn

3an

3.求数列n设数列

的通项公式；的通项公式是b 1

n项和为

，求证：对于任意的正数n，总有T

3.n n loga3 n

log3

a n nn2422（10分）如图，平面四边形ABCD 为直角梯形，AD/BC，ADC90，ABAD2BC2，ABD绕4着AD翻折到PAD.M为PC上一点，且PMMC，当平面DMB 时，求实数的值；当平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小为30 时，求PC与平面ABCD 所成角的正弦.参考答案125601、A【解析】将三棱锥PABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O应在棱柱上下底面三形的外心连线上，在Rt OBE中，计算半径OB即可.【详解】ABBCPBBCBCPAB．将三棱锥PABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．由此易知外接球球心O应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记△ABP的外心为E，由△ABD为等边三角形，2可得BE1．又OEBC1，故在Rt OBE中，OB ，22此即为外接球半径，从而外接球表面积为8．故选：A【点睛】2、A【解析】先根据函数奇偶性求得fx,fx，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】f(xf'(x是偶函数f(x)f'(x)ln(1x)ln(1x)

2，1x2，f(xf'(xln(1xln(1x

21x2，f(xf'(xln(1xln(1x

21x2，f(xln(1xln(1xf'(x

2 .1x2f(x的定义域为(1,1)f'(x

2 0，1x2f(x在(1,1)上为单调递增函数又在(0,1)上，f(x)f(0)0，所以f(x)为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由f(axf(x，ax1x1 11可得1ax11，对x[ , ]恒成立， 62 2ax11x 1 a1 x 11则 2 ， 2

对x[ , ]恒成立， a0 x3a1得4a0，

a0 62 xa的取值范围是(3,1).A.【点睛】3、A【解析】y

xzz2xyyx2xz2z20,x

2y

z，代入即得解【详解】

2 z 2由x，y，z成等差数列，y

xz，又x，z，y成等比数列，2z22

xyyx2xz2z20，x2

x20

x1

x2所以 z z

，解得 或 ，z z因为x，y，z是不相等的非零实数，x2yz，z 2xy所以

12

5 ．z 2 2故选：A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4、C【解析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（，（）与点（﹣，（﹣）满足﹣）＝，故它们关于点（2，1）f（5）+f（﹣1）＝2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．5、D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】x(0,1)exlnxx0

(0,1)，ex．0D．【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.6、B【解析】首先由AB 解.

2求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求【详解】由题意b1xc代入双曲线C的方程y12a a

2,a 2,c 3,由AF AF2

BF2

BF1

2a2 2,ABF2

的周长为AF BF2

|AB2aAF1

2aBF1

|AB4a2|AB6 2,

的内切圆的半径为r则16 2r

12 3 2,r 3,2 2 2 3故选：B【点睛】7、A【解析】解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】A{xZ

3xx

0}{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故选：A．【点睛】8、B【解析】解不等式确定集合A，然后由补集、并集定义求解．【详解】A|x22x15{x|x3x5}，∴A{x|3x5}，R( A)R

B{x|3x7}．B.【点睛】9、C【解析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【详解】与的终边相同的角可以写成k＋ ∈Z，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.故答案为C【点睛】（1）.(2)与终边相同的角=k3600+10、D【解析】

其中kz.根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详解】如图

ACE,1 1 1所以该几何体的体积为：VV

V 2221122122,ABCDABCD

BACE

3 2 3故选：D【点睛】

1111

1 11本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.11、A【解析】P的坐标为(mn，代入椭圆方程可得b2m2a2n2a2b2P到两条渐近线的距离，由距离之1积为c2，并结合b2m2a2n2a2b2，可得到abc.4【详解】P

(mn

m2n2

1，得b2m2a2n2a2b2.a2 b2双曲线的两条渐近线方程为bxay0和bxay0，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为bmana2b2

bmana2b2

b2m2a2n2a2b2

a2b2，c2 a2 所以 c2，则4a2(c2 a2) c4，

c22a2

0，故c22a2

0，即e2c

2，所以e 2.2c2 4 a22A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造a,b,c12、A【解析】求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【详解】M{x|x2}x|0xNx|2x}x|}，NN|UM故选：A．【点睛】

x0，N|U0x[N|U本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。113、25【解析】由于π)cos(πsin4，且(π,0)，则cos

3，得sin22sincos24，1sin21sin2π 则2cos2 2sin(2 )1cos2 2(sincos π

cos2

πsin

1sin21．149.2【解析】

4 4 4 25 POPC

3 9.PAPBPC2POPC2POPC2(

)22( )22 2 215、130. 15.【解析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x的最大值.【详解】x10,需要支付8010130元.y元,y120元时y80%,符合要求.y120元时有yx80%y70%恒成立即8yx7yx

yxy

15元.8 8所以x的最大值为15.

min【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.16、3【解析】求出3x6

的范围，再由函数值为零，得到3x6

的取值可得零点个数．【详解】00x3x6 63x

π6 3x

3x 由题可知

，或 解得x

6 2,4,或7

6 2 6 29 9 9故有3个零点．【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（Ⅰ）B4

（Ⅱ）ADB.4.【解析】（Ⅰ）由正弦定理边化角，再结合sinCsinAB转化即可求解；（Ⅱ）可设AC1，由c

bb

a52，再由余弦定理a2c22accosBb2解得a2 ，52sinC sinB 22222 2cos4对△ABD中，由余弦定理有AD2222 2cos4解【详解】（Ⅰ）由正弦定理得sinAsinBsinBcosAsinC.而sinCsinABsinABsinAcosBcosAsinB.由以上两式得

sinAsinBsinAcosB，即sinAsinBcosB0.由于sinA0，所以sinBcosB，.又由于B0,，得B.4（Ⅱ）设c1，在ABC 中，由正弦定理有c

b5 b .5sinC sinB22 22由余弦定理有a2c22accosBb2，整理得a2 a 0，2由于a0，所以a2 a .22 2 2 222cos4所以AB2AD2BD2，所以BAD，ADB.

1.2 4【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题18（1）144（2）0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系详见解析【解析】由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.05.0以上的的人数；由题中数据计算k2的值，对照临界值表可得答案；826人，可得X0，1，2.【详解】解3727100372763（人）所以后三组频数依次为24，21，18，所以视力在5.0以上的频率为0.18，5.0以上的的人数约为8000.18144人1004418326

150（2）k2 7.8957.879，50507624 190.005.调查的10024人，从中抽取8

1，这8人中不做眼保健操和坚持做眼26人，X0，1，2，

24 3 C0C2 1

C1C1

12 3

C2C0 15P X0 6

2 ,P X1 6 2 ,P X2

6 2 ，C2gX的分布列

28 C28

28 7 C2 288X012P128371528XEX012P128371528

1 121

152

1.5.【点睛】

28 28 28本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.19（1）见解析（2）见解析【解析】1（）取AB的中点，连结PD，CD.根据线面平行的判定定理即得（）先证1

CD，CDABABBB1ABBA11 1

B，由（1）得CDPQ.【详解】取AB的中点D，连结PD，CD .

中，P，D分别为

，AB中点，1PD∥

1，且PD

1ABCAB

CC

BB，

BB

Q为棱

的中点，1 2 11

1 1 1

1 1 1 1 1CQ∥BB1

，且CQ

BB.212PD∥CQ，PDCQ.PDCQ.又CDABCPQABC，ABC.ABCAB

ABC.又CDABC，

CD.

CACB，D为AB中点，CDAB.

1 1 1 1 1由（1）知CDPQ，BB1

PQ，ABPQ.AB BBB1又 ，AB 平面AB BBB11 1

，BB1

平面ABBA，1 1PQABBA.1 1【点睛】本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.ln220（）a2）3【解析】（1）fx11ax2ax1.fx单调，转化为

x2x2

10对x0恒成立求解x2 x x2（2）由（1）x

x2ax10

x，令t

a a24 4

2.根据2x1 2 1 x

x a a24 a a2423 2 5

1 1 f

f

f

fx

t1

t1a

，确定

t ，将 1

2 转化为 1

2 2 lnt

令ht lnt，2 2 4 2

xx1 2

xx1 2

t1 t1用导数法研究其单调性求最值.【详解】（1）fx的定义域为，fx

1a

x2ax1.x2 x x2fxx2ax10x0恒成立，1ax1

x0，恒成立，xx

2x1时取等号，xa2；（2）由（1）xx1 2

x2ax10的两个根.x

a，x

1

x，1 2 12 1 2a a24a a2a a24a a24x.4.a242x aa2423 2因为 a3 2

5ta1

t1.2 2 4 2fx1

fx2

1 1

lnx1

lnx2xx xx xx1 2 12 1 22xx1 2

lnx1x1

ln2x22

2t1lnt.t1h

t1

t12lntlnt，则ht t .t1 a2fx1x2lnx在上为减函数.x所以当t1m(x)1t2lntm0.tht0，所以h在上为减函数.3 2所以当 a3 2

5Mmh1h1

ln2.4 2 32 2 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.21（1）an

3n（2）证明见解析【解析】根据公式an

S n

n1

得到an

3an1

n2，计算得到答案.

11

1 ，根据裂项求和法计算得到T

111 1

1 ，得到证明.n n 2n n2 2 2 n1 n2【详解】（1）由已知得22Sn

S

3an

，故an

3an1

n2.故数列a为等比数列，且公比q3.nn12a1

3.a3a 3a 3，a11

3n.（2）b 1

1

11 1 .n

aloga

n2 2n n23 n 3

n2T bb

b

1 1 1 1 1 1

1

1 n 1 2

2 3 2 4 3 5

n n2111 1

1 3.2 2 n1 n2 42【点睛】本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.