教案(1)-函数-极限-连续

求lim‘1x21x0x..1x21lim x0xlimx0(.1x21)(,1x..1x21lim x0xlimx0(.1x21)(,1x21)x(.1x21)xm0.1x210函数的间断点定义设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x0没有定义(2)虽然在x。有定义 但limf(x)不存在xx0⑶虽然在x。有定义且limf(x)存在但limf(x)f(x。)xxq则函数f(x)在点x。为不连续 而点x。称为函数f(x)的不连续点或间断点例4函数丫裂在x=1没有定义所以点x=1是函数的间断点x2x21因为limJ!lim(x1)2如果补充定义x1x1x1令x=1时y=2则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点.如图1-11.例5所以x=1称为该函数的可去间断点.如图1-11.例5因为所以极限x1 x0设函数f(x)0x0x1 x0limf(x)lim(x1) 1x0 x0limf(x)lim(x1)1x0 x0limf(x)limf(x)x0 x0limf(x)不存在x0是函数f(x)x0现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点.如图1-2,图1-3,图1-9都是此类间断点例6正切函数y=tanx在x万处没有定义所以点x5是函数tanx的间断点因为limtanx因为limtanxx—

2故称xw"为函数tanx的无穷间断点x例7设函数yf(x)12因为limf(x)

x1limx1x1因为limf(x)

x1limx1x1f(1)limf(x)”1)所以x=1是函数f(x)的间断点x1如果改变函数f(x)在x=1处的定义令f(1)=1则函数f(x)在x=1成为连续 所以x=1也称为该函数的可去间断点例8函数ysin1在点x=0没有定义所以点x=0是函数sin1的间断点x x当x。时函数值在-1与1之间变动无限多次 所以点x=0称为函数sin-的振荡间断点x2.间断点的分类：通常把间断点分成两类 如果x0是函数f(x)的间断点但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在那么x。称为函数f(x)的第一类间断点，不是第一类间断点的任何间断点 称为第二类间断点， 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点，而无穷间断点和振荡间断点都是第二间断点四闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数具有一些重要的性质，介绍如下^1有界性若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则它在这个区间上一定有界 .显而易见，一定存在一个正数 M对于I^区间［a,b］上所有的x,恒有|f(x)|wm所以f(x)在闭区间［a,b］上是有界的.2最值性若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则它在这个区间上有最大值和最小值 .例如函数f(x)=1+sinx在区间［02 ］上有最大值2和最小值0该性质说明 如果函f(x)在闭区间［ab］上连续 那么至少有一点 i［ab］使f(1)是f(x)在［ab］上的最大值又至少有一点2［ab］使f(2)是f(x)在［ab］上的最小值注意如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值3介值性若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，m和M分别为f(x)在［a,b］上的最小值与最大值，则对介于m和M之间的任一实数C,至少存在一点E6(a,b),使得f(七)=C.零点定理 若函数f(x)在［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号,则至少存在一点EC(a,b),使得f()=0.(图1-12)例9证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根证函数f(x)=x3-4x2+1在闭区间［01］上连续又f(0)=1>0 f(1) =-2<0根据零点定理 在(01)内至少有一点使得f()=0即3-42+1=0(0< <1)这等式说明方程 x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根函数连续性的概念是函数概念和极限概念相结合而得出的另一个重要概念，在客观事物中， 当自变量的变化幅度小时， 因变量的变化幅度也小这种现象给出了一种严格的数学定义 .连续函数有重要的性质，比如，有界闭区间上的连续函数是有界函数，零点定理成立，有介值性，并且能够取到最大值与最小值(最优解的存在性)；连续函数求极限十分简单，即极限值等于函数值， limf(x)f(a)；当等式limf(x)f(a)不成立xa xa时，称函数f(x)在a处是不连续， 称为f(x)的间断点；由于连续函数的四则运算(除法时使得分母为零的点除外)、取反函数运算和复合函数运算保持连续性等等，这里渗透着一种数学思想： 首先根据连续性定义直接证明几个简单函数的连续性， 然后建立连续函数的运算法则， 由此立刻可得到两个重要结论：基本初等函数在其定义域内处处连续；初等函数在其定义区间(既包含在定义以内的区间)内处处连续 .对分段函数在分段点的两侧有共同初等函数表达式的开区间内是连续的，分段点处根据左右连续性来讨论其连续性 .我们知道，一元一次方程，一元二次方程都有求根公式.可以证明三次、四次方程也有类似的求根公式，不过比较复杂 .五次和五次以上的代数方程没有求根公式，因此，五次和五次以上的代数方程，更一般的函数方程 f