北师大版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套课件

北师大版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套PPT课件平面直角坐标系【综合评价】通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也有不同形式．因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐1．2．3．4．【学习目标】标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别．5．【学习计划】

内容学习重点建议学习时间平面直角坐标系坐标系的选择；直角坐标系下的伸缩变换2课时极坐标系极坐标的概念1课时点的极坐标与直角坐标的互化1课时直线和圆的极坐标方程1课时曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1课时圆锥曲线统一的极坐标方程1课时柱坐标系和球坐标系两种坐标系的概念2课时

平面直角坐标系(1)坐标法：根据几何对象的_____，选择适当的坐标系，建立它的_____，通过_____研究它的_____及______________________．(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的_____元素，将几何问题转化成_____问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成_____结论．1.坐标系特征方程方程性质与其他几何图形的关系几何代数几何平面直角坐标系的作用：使平面上的点与_________________，曲线与_____建立联系，从而实现_______的结合．(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为_____伸缩变换，这就是用_________研究_____变换．2．平面直角坐标系的作用3．平面直角坐标系中的伸缩变换坐标(有序实数对)方程数与形坐标代数方法几何【思维导图】1．回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用．2．了解建立坐标系的方法和原则．【知能要点】题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究．建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．【例1】解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2.1．如图所示，四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－3，－2)，C(4，－2)，D(3，4)，求四边形ABCD的面积．【例2】分析本例是帮助同学们进一步了解点的坐标．点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A(a，b)到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|)，从而得出某些我们需要的线段的长度．将四边形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，其中BE的长度等于B到y轴的距离减去A到y轴的距离，AE的长度为A到x轴的距离加上B到x轴的距离，依此类推可以求出DF，CF，EF的长度，从而求出四边形ABCD的面积．【反思感悟】本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积．2．平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想．在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆．题型二

坐标伸缩变换分析根据变换公式，分清新旧坐标即可．【例3】将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线．经过伸缩变换后，圆变成了椭圆．【反思感悟】伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x′，y′表示．3．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.分析求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆．得λ2x2＋μ2y2＝1.与4x2＋9y2＝36比较，【例4】【反思感悟】对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x，y和x′，y′，比较公式中的系数即可．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换．4．已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．解

(代入法)设A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36. ①1.已知B村位于A村的正西方向1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？2．阐述由曲线y＝tanx得到曲线y＝3tan2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换．3．

[思考交流]1．在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？答

(x－2)2＋(y－3)2＝25.2．在平面直角坐标系中，以(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程是什么？答

(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[思考交流]我国1990年至2000年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元) 表1—2选择适当的平面直角坐标系，根据表1－2画出统计图，与同学交流，观察各自的特点．年份19941995199619971998生产总值4380057733677957477279553年份19992000200120022003生产总值820548940495933102398116694答

统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～1997年增长较快，1997～2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长．[思考交流]1．观察例3(2)中y＝sinx的图像与(1)中y＝2sin3x的图像，讨论它们的关系？

答

y＝sinx的图像和y＝2sin3x的图像可以通过伸缩变换相互得到：2．试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况．答设函数y＝f(x)与函数y＝μf(ωx)(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为：它们的图像可以通过伸缩变换相互得到．【规律方法总结】1．建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程．2．利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算．3．在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可．坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程391.点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P′的直角坐标为()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)答案:B402.若△ABC的三个顶点A(-3,4),B(3,-4),C(1,7),则△ABC的形状是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形答案:B413.方程(x2-3)2+(y2-4)2=0表示的图形是()A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线答案:B424.已知直线l:x+y-3=0,曲线:(x-3)2+(y-2)2=2,则点M(2,1)()A.在直线l上,但不在曲线上B.在直线l上,也在曲线上C.不在直线l上,也不在曲线上D.不在直线l上,但在曲线上答案:B43解析:将M(2,1)代入直线方程,2+1-3=0,将M(2,1)代入曲线方程,(2-3)2+(1-2)2=2,故点M在l上,也在曲线上.445.设动点P在直线x=1上,O为坐标原点,以OP为直角边,以点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ,则动点Q的轨迹是()A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线答案:B4546解析:(1)方程,表示的曲线是以(2,0)为对称中心,焦点在x轴上,长轴长为6,焦距为的椭圆.(2)方程(x+2)2+(y-2)2=16表示的曲线是以(-2,2)为圆心,4为半径的圆.(3)方程(2x+3y-5)=0表示直线2x+3y-5=0与射线x=4(x≥3).(4)方程,可以看作点(x,y)到(2,0)的距离与到直线x=4的距离之比为2,故此方程表示以(2,0)为焦点,离心率为2的双曲线.477.过点P1(1,5)作直线交x轴于点A,过点P2(2,7)作直线P1A的垂线交y轴于点B,点M在线段AB上,且BM∶MA=1∶2,求动点M的轨迹方程.共12页4849

平面直角坐标轴中的伸缩变换随堂验收1.将点P(-2,2)变换为P′(-6,1)的伸缩变换公式为()答案:C2.将正弦曲线y=sinx的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的,所得曲线的方程为()A.y=sin3x B.y=3sinx答案:A3.在同一平面直角坐标系中,使直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4的伸缩变换是()答案:C4.在同一直角坐标系中函数y=cos2x的图像经过伸缩变换φ后,得到函数的图像,则伸缩变换φ是()答案:B5.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线2x′2+8y′2=1,则曲线C的方程为()A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1答案:A答案:B7.若点P(x,y)经过平面伸缩变换后又回到P点,则x=________,y=________.008.对下列曲线向着x轴进行伸缩变换,伸缩系数(1)2x+3y-6=0;(2)x2+y2=16.平面直角坐标系课后作业1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,那么下列命题中正确的是()A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.至少有一个点不在曲线C上,其坐标满足方程f(x,y)=0答案:D解析:对于命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”的否定是“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”,即至少有一个点不在曲线C上,它的坐标满足方程f(x,y)=0.2.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:D解析:由题意知,点P到点(2,0)的距离与P到直线x=-2的距离相等,由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点,以直线x=-2为准线的抛物线,故选D.3.方程的曲线是()A.两条直线 B.一个点C.一条射线和一条直线D.两条射线答案:C4.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A､B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若

,且,则点P的轨迹方程是()答案:D5.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π答案:B解析:设P(x,y),由|PA|=2|PB|得整理得x2-4x+y2=0.而(x-2)2+y2=4,故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,故S=4π.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0)､B(1,1)､C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线A-B-C运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是()答案:D答案:y2=8x8.一动点在圆x2+y2=1上移动,它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程是________.答案:(2x-3)2+4y2=19.△ABC中,若BC的长度为4,中线AD的长为3,则A点的轨迹方程是________.答案:x2+y2=9(y≠0)解析:取BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0),设A(x,y)则D(0,0),所以|AD|= =3(y≠0)故A点的轨迹方程是x2+y2=9(y≠0).10.如图,动圆与定圆x2+y2-4y-32=0内切且过定圆内的一个定点A(0,-2),求动圆圆心的轨迹.解析:定圆:x2+(y-2)2=36,圆心为B(0,2),半径=6.设动圆圆心坐标为P(x,y),动圆半径为|PA|.∵动圆与定圆相切,∴|PB|=6-|PA|,即|PB|+|PA|=6.这表明动点P到两定点A､B的距离之和等于定长6.所以P点的轨迹是以A､B为焦点的椭圆,且2a=6,2c=|AB|=4,即a=3,c=2.∴b2=5.故所求的方程为.11.已知A(2,0)､B(-1,2),点C在直线2x+y-3=0上移动,求△ABC重心G的轨迹.解析:设△ABC的重心G的坐标(x,y).∵A(2,0),B(-1,2),∴C(3x-2+1,3y-0-2).又C点在直线2x+y-3=0上,∴2(3x-1)+(3y-2)-3=0,即6x+3y-7=0.又C点不在直线AB上,即C(3x-1,3y-2)不能为直线AB:2x+3y-4=0与直线2x+y-3=0的交点 ,12.如图,在平面直角坐标系中,一定长为m的线段,其端点A､B分别在x､y轴上滑动,设点M满足

(t为大于0的常数),M点的轨迹是什么?若t=1,上述方程表示以原点为圆心,为半径的圆;若0<t<1,上述方程表示中心在原点,焦点在x轴上的椭圆;若t>1,上述方程表示中心在原点,焦点在y轴上的椭圆.平面直角坐标系课后作业1.将Y=sinX图象沿x轴均匀压缩为y=sin3x,则坐标变换公式是()答案:A2.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的,得到的曲线方程为()答案:A3.将曲线C按伸缩变换公式变换得到曲线方程为x′2+y′2=1,则曲线方程为()C.4x2+9y2=36D.4x2+9y2=1答案:D4.在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为()A.3x-4y+1=0B.3x+y-1=0C.9x-y+1=0D.x-4y+1=0答案:C5.在同一坐标中,将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是()答案:B6.在平面直角坐标系内,y=tanx经过怎样的伸缩变换可得到y=3tan2x()答案:B7.将对数曲线y=log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________.8.已知平面上三点A(2,0)､B(0,3)､C(0,0),经过伸缩变换后变为A′、B′、C′.则△A′B′C′的面积为________.12解析:经过伸缩变换A(2,0)→A′(4,0),B(0,3)→B′(0,6),C(0,0)→C′(0,0),∴△A′B′C′面积为9.对曲线向y轴进行伸缩变换,伸缩系数为

,所得的曲线方程为________.10.设M1是A1(x1,y1)与B1(x2,y2)的中点,经过伸缩变换后,它们分别为M2,A2,B2,求证:M2是A2B2的中点.11.圆C:x2+y2=4向着x轴均匀压缩,伸缩系数为.(1)求压缩后的曲线方程;(2)过圆C上一点的切线,经过压缩后的直线与压缩后的曲线有何关系?12.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:(1)求点A(,-2)经过φ变换所得的点A′的坐标;(2)点B经过φ变换得到点B′(-3,),求点B的坐标;(3)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l′的方程;(4)求双曲线C:x2-=1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标.

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化随堂验收1.将曲线ρ2(1+sin2θ)=2化为直角坐标方程为________.解析:∵ρ2(1+sin2θ)=2,∴ρ2(cos2θ+2sin2θ)=2,∴ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2,即x2+2y2=2,∴2.极点到直线ρ(cosθ-sinθ)=2的距离为________.答案:解析:∵直线ρ(cosθ-sinθ)=2的直角坐标方程为x-y-2=0,极点的直角坐标为(0,0),∴极点到直线的距离为3.ρ2sin2θ=4的直角坐标方程是________.答案:xy=2解析:ρ2sin2θ=4变形为2ρ2sinθ\5cosθ=4.即xy=2.4.曲线ρ=4cosθ化为直角坐标方程为________.答案:x2+y2=4x解析:ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x.5.将直线x+y-2=0化为极坐标方程为________.答案:ρcosθ+ρsinθ-2=06.ρ2cos2θ=16表示的曲线是________.答案:双曲线解析:由ρ2cos2θ=16,得ρ2(cos2θ-sin2θ)=16,即x2-y2=16.∴ρ2cos2θ=16表示的是双曲线.7.将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程.(1)ρ=cosθ+sinθ;(2)ρcos2=1.8.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程.(1)直线x+y=0;(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).解析:(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x+y=0,得ρcosθ+ρsinθ=0,ρ(cosθ+sinθ)=0,tanθ=-1,得(ρ≥0)和θ=(ρ≥0).综上所述,直线x+y=0的极坐标方程为θ=(ρ≥0)和θ=(ρ≥0).

(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2+2ax=0,得ρ2cos2θ+ρ2sinθ+2aρcosθ=0,即ρ(ρ+2acosθ)=0,ρ=-2acosθ,从而圆x2+y2+2ax=0(a≠0)的极坐标方程为ρ=-2acosθ,圆心为(-a,0),半径为r=|a|.

极坐标系的概念

点的极坐标与直角坐标的互化极坐标系极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：如图在平面内取一个定点O，叫作_____，从O点引一条射线Ox，叫作_____，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆1．时针方向)．这样就确定了一个______________，简称为_________．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面内任意一点M，用ρ表示_____________，θ表示______________________________，ρ叫作点M的_____，θ叫作点M的_____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的_______，记作_________．极点平面极坐标系极坐标系线段OM的长以Ox为始边、OM为终边的角度极径极角极坐标极轴__________当点M在极点时，它的极径________，极角θ可以__________．(1)互化的前提条件：_____________________________________________________________________________________________________.2．极坐标和直角坐标的互化ρ＝0取任意值①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位M(ρ，θ)【思维导图】【知能要点】1．极坐标系的四要素．2．点的极坐标的写法．3．极坐标和直角坐标的互化．

题型一极坐标系的概念与点的极坐标极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③单位长度；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根1．2．据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)．【例1】解对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为【反思感悟】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．1．写出下列各点的极坐标．解各点描点如图所示【例2】【反思感悟】知道点的极坐标(ρ，θ)，我们可以先根据极角θ确定方向(射线)，然后根据ρ来确定距离，进而描出(ρ，θ)的对应点．2．点D，E，F的位置如上图所示．解析如图所示，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．【例3】答案

B【反思感悟】在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径．这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合．3．答案

B题型二

两点间的距离公式【例4】答案等边三角形4．我们把极轴与平面直角坐标系xOy的正半轴重合，且两种①与②是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)之间的换算公式．题型三

极坐标与直角坐标的互化坐标系取相同的长度单位，设P(x，y)是平面上的任一点，如图所示，则【例5】【反思感悟】把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般只要取θ∈[0，2π)，ρ>0即可．分析本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应用．5．即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求点的坐标为(1，0)或(7，0)．答案

(1，0)或(7，0)1．2．中央气象台在2010年7月15日发布的一则台风消息：今年第2号热带风暴“康森”的中心今天晚上八点钟已经移到了距离万宁市东南方大约380千米的南海海面上，中心附近最大风力有12级．请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(ρ≥0，0≤θ<2π)．3．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．(1)点P是点Q关于极点O的对称点；解

(1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．

4．[练习]在极坐标中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)有什么关系？答关于极轴对称．设M点坐标为(ρ，θ)，为直观，以极点为原点，以x轴的正方向与极轴建立直角坐标系，不难看出与M点关于y轴对称的点M1的坐标为(ρ，π－θ)M1关于极点对称的点M2的坐标为(－ρ，π－θ)则M2与M关于极轴对称，如图所示．【规律方法总结】1．建立极坐标系可以确定点的位置和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面内的点和极坐标一一对应．2．利用极坐标可以刻画点的位置，有时比直角坐标方便，在台风预报、测量、航空、航海中主要采用这种方法．3．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并且取相同的长度单位，平面内一点的直角坐标和极坐标可以进行互化．

极坐标系

极坐标系的概念 随堂验收1.点M(1,0)关于极点的对称点为()A.(1,0)B.(-1,π)C.(1,π)D.(1,2π)答案:C解析:如图所示,设点M(1,0)关于极点的对称点为M′(1,π),故选C.2.点关于极轴的对称点的极坐标为()答案:D解析:如图所示,设点关于极轴的对称点为P′,易得P′点的极坐标为答案:A解析:如图所示,结合选项,只有点,符合题意,故选A.答案:A解析:如图所示,5.点M(ρ,)(ρ≥0)的轨迹是()A.点B.射线C.直线D.圆答案:B解析:由于动点M(ρ,)的极角θ=

,ρ取一切非负实数,故点M的轨迹是极角为

的终边,是一条射线,故选B.6.点M(1,θ)(θ∈[0,π])的轨迹是()A.射线B.直线C.圆D.半圆答案:D解析:由于M(1,θ)满足ρ=|OM|=1,θ∈[0,π],故点M的轨迹是以极点为圆心,半径为1的圆的上半部分,即半圆.7.将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP,若在OP上取点M,使|OM|=4,则ρ>0,θ∈[0,2π]时点M的极坐标为

________.解析:ρ=|OM|=4,与OP终边相同的角为2kπ-,k∈Z,令k=1,θ=π,∴M(4,

π).8.点到极轴所在直线的距离为________.解析:依题意,点M(6,π)到极轴所在直线的距离为d=6×sinπ=3.3

圆锥曲线统一的极坐标方程随堂验收1.判断下列极坐标方程表示的是什么曲线.解析:(1)方程可化为ρ-2ρcosθ=6,化为直角坐标方程为化简得3x2-y2+24x+36=0(x≥-3).故该方程表示双曲线的右支.(2)方程可化为4ρ-ρcosθ=4,化为直角坐标方程为化简得15x2+16y2-8x-16=0,2.求椭圆的实轴长､焦距､离心率.3.求证:过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数.4.定点O与定直线l的距离是a,自O作射线交l于Q,在OQ上取点P,如图所示,分别求下列两种情形下点P的轨迹的极坐标方程.(1)OP•OQ=a2;(2)OP=OQ.极坐标系课后作业1.极坐标为的点的直角坐标为()A.(π,π)B.(π,-π)C.(-π,π)D.(-π,-π)答案:B解析:设点的直角坐标为(x,y),则有x=ρcosθ=πcosπ=π,y=ρsinθ=πsinπ=-π,故直角坐标为(π,-π).2.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)答案:A解析:x=ρcosθ,y=ρsinθ,对选项A来说,x=3cos4<0,y=3sin4<0,满足在第三象限,故选A.3.若极坐标平面内的点,则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()答案:D答案:C答案:B解析:∴直角坐标为6.将点(-3,-3)化为极坐标是()答案:C解析:∵点(-3,-3)在第三象限,∴应选C.7.在极轴上与点距离为5的点M的坐标为________________.答案:(1,0)或(7,0)解析:方法一:设M(r,0),即r2-8r+7=0,解得r=1或r=7.∴M点的坐标为(1,0)或(7,0).方法二:点A的直角坐标为(4,4),在x轴上的一点M,使即(x-4)2=9,∴x=1或x=7,∴点M的直角坐标为(1,0),(7,0).∴点M的极坐标为(1,0),(7,0).8.若点M的极坐标为,则点M关于y轴对称点的直角坐标为________.9.若点M的极坐标为(5,θ),且tanθ=-<θ<π,则点M的直角坐标为________.答案:(-3,4)10.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).11.已知定点,将极点移至处,极轴方向不变,求P点的新坐标.解析:设P点新坐标(ρ,θ),如图,则|OO′|=又|OP|=4,12.在极坐标系中,如果为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

圆锥曲线统一的极坐标方程 课后作业1.极坐标方程表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.双曲线的一部分答案:D解析:ρ-2ρcosθ=2化为直角坐标方程为即=2+2x,x≥-1,即3x2-y2+8x+4=0(x≥-1).2.椭圆的长轴长是()A.3B.6C.9D.12答案:B解析:化为直角坐标,得椭圆方程为,∴长轴长为6.3.双曲线的焦距是()A.6B.8C.2D.3答案:A4.极坐标方程表示的曲线是()A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线答案:D解析:原方程可化为2ρ(1-cosθ)=5,5.记抛物线y2=8x的焦点为F,过点F作倾斜角为的直线,交抛物线于A､B两点,则线段AB的长为()A.16B.14C.8D.10答案:A解析:以焦点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,如图所示.∵抛物线的焦点到准线的距离为4,则抛物线的极坐标方程为答案:C7.椭圆的极坐标方程为________.答案:5ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ-20=08.将极坐标方程化为直角坐标方程为________.答案:y2=2x+1解析:ρ-ρcosθ=1,化简得y2=2x+1.9.如果圆锥曲线的极坐标方程为,那么它的两个焦点的极坐标为________.答案:(8,π),(0,0)解析:化为直角坐标方程为3x2-y2+24x+36=0,即∴焦点为(-8,0),(0,0),焦点的极坐标为(8,π),(0,0).10.在极坐标系中,椭圆的两焦点分别为极点和点(2,0),离心率为,求它的极坐标方程.11.设抛物线以O为顶点,F为焦点,PQ是过焦点F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,求△OPQ的面积.解析:如图,以F为极点,抛物线的对称轴为极轴建立极坐标系,则抛物线的方程为设点P的极角为θ(θ∈(0,π)),则点Q的极角为π+θ,所以|PQ|=ρP+ρQ=即,∴sinθ=又S△OPF=a|PF|sinθ,S△OQF=

a|FQ|sinθ,∴S△OPQ=S△OPF+S△OQF=

a(|FP|+|FQ|)sinθ=

absinθ=a12.已知A､B为椭圆

(a>b>0)上两点,OA⊥OB(O为原点).(1)求证: 为定值;(2)求△AOB面积的最大值和最小值.点的极坐标与直角坐标的互化 随堂验收答案:C解析:设点A的直角坐标为(x,y),则有x=ρcosθ=2cosπ=,y=ρsinθ=2sinπ=-1,即A(,-1).2.直角坐标为的点的极坐标为()答案:C3.极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:设点(3,3)的直角坐标为(x,y),则有故(x,y)在第二象限.答案:D解析:设点M的极坐标为(ρ,θ),则有于是θ=2kπ+π,k∈Z.5.把点P的直角坐标(3,3)化成极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).解析:因为点M在第一象限,ρ>0,所以因此点P的极坐标是6.若A､B两点的极坐标为A(4,),B(4,π),求A､B中点的极坐标.解析:A､B两点的直角坐标分别为(0,4),(-4,0).中点M为(-2,2).∵M在第二象限,∴7.把点按下列要求化为极坐标形式:(1)在极坐标中,限定ρ≥0,0≤θ<2π;(2)在极坐标中,限定ρ<0,0≤θ<2π.圆的极坐标方程 随堂验收1.极坐标方程ρ=2表示()A.直线B.射线C.圆D.椭圆答案:C解析:将其化为直角坐标方程可得即x2+y2=4,是以原点为圆心,半径为2的圆.2.圆心在(1,0),且过极点的圆的极坐标方程为()A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρ=2cosθD.ρ=2sinθ答案:C解析:圆心在(1,0)且过极点可知该圆半径为1.如图,可得ρ=2rcosθ,即ρ=2cosθ.答案:D解析:ρ=2cosθ是以(1,0)为圆心,半径r=1的圆极坐标方程,而ρ=2cos可以看作把ρ=2cosθ顺时针旋转而得到,∴圆心变为(1,π),故选D.答案:C5.已知圆的极坐标方程为ρ=4cos,则圆心坐标为()答案:D6.求两曲线ρ=3cosθ,ρ=1+cosθ,θ∈[0,2π)的交点坐标.7.已知圆的圆心为,半径为1,求圆的极坐标方程.解析:设圆上任意一点P(ρ,θ),连接OA,AP,OP,则在△AOP中,OA2+OP2-2OA•OP•cos∠POA=AP2,即9+ρ2-2×3×ρcos(θ-=12,化简得ρ2-6ρcos(θ-)+8=0.∴所求圆的极坐标方程为ρ2-6ρcos(θ-)+8=0.极坐标系课后作业答案:D解析:令M点坐标为把OM绕极点逆时针旋转一周即与M点重合,故2.下列点在极轴上方的是()答案:D解析:在极坐标系将选项中的各点标出,即可得到在极轴上方,故选D.3.以为顶点的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.非等腰锐角三角形答案:D解析:C点的坐标可改写成.∵|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|cos=52+82-2·5·8·=49,∴|AB|=7.∵|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|cos=52+32+2·5·3·

∵|BC|2=|OB|2+|OC|2-2|OB||OC|cos=82+32-2·8·3·=73,∴|BC|=.|BC|为最长边,但|AB|2+|AC|2=49+34+15>73=|BC|2,故为锐角三角形.4.在极坐标系中,下列点与M(3,2)距离为1的是()A.(1,1)B.(1,2)C.(2,2)D.(3,3)答案:C解析:∵C(2,2)点与M(3,2)的极径相差1,极角相同,∴CM两点的距离为1.5.与点M(ρ,θ)关于极点对称的点是()A.(ρ,θ+π)B.(ρ,-θ)C.(-ρ,-θ)D.(-ρ,θ+π)答案:A解析:如图所示,设M点关于极点对称的点为M′,则有M′(ρ,θ+π).6.极坐标方程表示的图形是()A.余弦曲线B.两条相交直线C.一条射线D.两条射线答案:D7.已知极坐标系中,若,0≤θ<2π,则点A关于射线OP的对称点的极坐标为________.解析:如图所示,∵|OA′|=|OA|=2,∠xOA′=,∴点A关于射线OP的对称点极坐标为.8.已知极坐标系中,极点为O,0≤θ<π,,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为__________________.解析:如图所示,|OM|=3,∠xOM=,在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,∠xOP=,∠xOQ=π,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4.9.已知极坐标系中,若极点为,则△AOB的面积为________.6

解析:如图所示,又∵|OA|=3,|OB|=4,∴S△AOB=|OA|·|OB|=

×3×4=6.10.已知P,Q分别在∠AOB的两边OA,OB上,∠AOB=,△POQ的面积为8,求PQ中点M的极坐标方程.解析:建立如图所示极坐标系,设动点M坐标为(ρ,θ)(0<θ<),P､Q两点坐标分别为(ρ1,0)､(ρ2,),11.在极坐标系中,作出以下各点:解析:如图所示,A,B,C,D四个点分别是唯一确定的.12.已知边长是2的正方形ABCD的中心在极点,且一组对边与极轴Ox平行,求正方形的顶点的极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π).解析:如图所示,由题意,可知|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=,∠xOA=,∠xOB=,∠xOC=π,∠xOD=π.故正方形的顶点坐标分别为极坐标系课后作业1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是()C.ρ=2cos(θ-1)D.ρ=2sin(θ-1)答案:C解析:设P(ρ,θ)为圆上任意一点,∴在△OPA中,OP2+OA2-2OP\5OA\5cos∠AOP,=AP2即ρ2+1-2ρcos(θ-1)=1,即ρ=2cos(θ-1).2.圆心在(4,π),半径为4的圆的极坐标方程为()A.ρcosθ=8B.ρ=8cosθC.ρ=8sinθD.ρ=-8cosθ答案:D解析:如图所示,P(ρ,θ)为圆上一点,在△AOP中,有OP=OAcos∠POA,即ρ=8cos(π-θ)=-8cosθ,应选D.答案:A解析:由题可知圆过极点,直径为4,∴当ρ=4时,∴圆心在直线θ=上,∴圆心的坐标为4.在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程是()A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=-4答案:B解析:由圆的极坐标方程可知圆心为,半径为2,如图所示,∴与它相切的直线为ρcosθ=2.5.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ=的图形是()答案:B解析:ρ=cosθ表示圆心在,半径为的圆.ρcosθ=表示过(

,0),且与极轴垂直的直线.6.圆ρ=1与圆ρ=-2cosθ的公共弦所在直线的极坐标方程为()A.2ρcosθ=1B.2ρcosθ=-1C.ρcosθ=1D.ρcosθ=-1答案:B解析:ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1,ρ=-2cosθ化为直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,两式相减,可得化为极坐标方程为ρcosθ=-,即2ρcosθ=-1.7.已知圆的极坐标方程为ρ=2cos(θ-),则此圆被直线θ=0(ρ∈R)截得的弦长为________.解析:由圆的方程知圆过极点,圆心为,半径为1.∴当θ=0时,,圆与θ=0的两个交点为

,∴截得的弦长为8.圆心在,且过极点的圆的极坐标方程为________.9.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A､B两点,则|AB|=________.解析:已知曲线ρ=4cosθ表示圆心C为(2,0),半径为2的圆.如图所示,圆与直线相交于A､B两点,又C到直线AB的距离为1,10.在极坐标系中,求半径为r,圆心为的圆的极坐标方程.解析:由题意知,圆经过极点O,OA为其一条直径,设M(ρ,θ)为圆上除点O､A以外的任意一点,则|OA|=2r,连接AM,则OM⊥MA.在Rt△OAM中,∵|OM|=|OA|cos∠AOM,即ρ=2rcos,∴ρ=-2rsinθ.经验证,点O(0,0),的坐标满足上式.故满足条件的圆的极坐标方程ρ=-2rsinθ.11.在极坐标系中,过点A(2,0),作圆ρ=-4cosθ的切线,切点为B,求切线|AB|长.解析:已知圆ρ=-4cosθ,表示圆心在C(2,π),半径为2的圆.如图示,在△ABC中,CB⊥AB.又|CB|=2,|AC|=4,12.求满足下列条件的圆的极坐标方程.(1)圆心在,半径为3;(2)圆心在B(2,π),半径为2.解析:(1)由圆心在半径为3,可知圆过极点.如图所示,连接OA并延长交圆于B,则OB=6.在圆上任取一点P(ρ,θ),则△OPB为直角三角形,则OP=OB·sin∠OBP,∴ρ=6sinθ.故圆的极坐标方程为ρ=6sinθ.(2)由题可知圆经过极点,如图所示,连OB延长交圆于A,则OA=4,在圆上任取一点P(ρ,θ),则△OPA为直角三角形,则OP=OAcos∠POA,∴ρ=4cos(π-θ)=-4cosθ.

直线和圆的极坐标方程直线的极坐标方程 课后作业1.过点,且垂直极轴的直线的极坐标方程是()A.ρ=sinθB.ρ=cosθC.ρsinθ=1D.ρcosθ=答案:D解析:如图,设P(ρ,θ)为直线l上的任意一点,∴所求直线的方程为ρcosθ=.2.过点且平行极轴的直线的极坐标方程是()A.ρcosθ=2B.ρcosθ=2C.ρsinθ=D.ρsinθ=2答案:C解析:设P(ρ,θ)为直线l上的任意一点.∴ρsinθ=4sin∴所求直线的极坐标方程为ρsinθ=

答案:D4.从极点出发,和极轴成的射线的极坐标方程是()答案:C5.已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2,则极点到直线l的距离为()答案:D∴|OA|=|OB|,△OAB是等腰直角三角形,取AB的中点M,则OM⊥AB,又|OM|=2,∴极点到直线l的距离为2.6.极坐标方程4sin2θ=3所表示的曲线是()A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线答案:B解析:由4sin2θ=3得θ=2kπ±或θ=2kπ±π,k∈Z.∴4sin2θ=3表示两条相交直线.7.直线l过,且极点到l的距离为4,则l的极坐标方程为________.解析:如图所示,P(ρ,θ)为直线上一点.则OP\5cos∠POA=OA,其中∠POA=-θ,OA=4,∴l的极坐标方程为ρcos(-θ)=4.8.直线l过A(1,0)与两点,则l的极坐标方程为__________.解析:由题可知,极点到直线的距离为9.直线ρsin(α-θ)=2sin(α∈R)所过定点的极坐标(ρ>0)为________.10.求过点A(1,0),且倾斜角为的直线的极坐标方程.化简得ρ(cosθ-sinθ)=1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程.所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1,其中0≤θ<(ρ≥0)和<θ<2π(ρ≥0).11.已知A(2,0),B(2,),直线l过极点,且与AB垂直,求直线l的方程.解:以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系,则A､B两点在直角坐标中的点为A(2,0),B(0,-2),则kAB=1.过极点与AB垂直的直线l的方程为y=-x,它的倾斜角为∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R)(或写为θ=- (ρ∈R)).12.求过且和极轴所成角为的直线.解析:设l上任意一点为P(ρ,θ),在△POA中,由正弦定理得

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课后作业1.极坐标方程ρsinθ=4sin2θ表示的曲线为()A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一个圆 D.一条直线和一个圆答案:D解析:ρsinθ=4sin2θ,可化为ρsinθ=8sinθcosθ,即sinθ=0或ρ=8cosθ,即y=0或x2+y2-8x=0.2.极坐标方程 表示的曲线是()A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:B解析:2ρ-ρsinθ=1,即即4x2+3y2-2y-1=0.得表示椭圆.3.在极坐标系中,过点A(6,π)作圆ρ=-4cosθ的切线,则切线长为()A.2B.6答案:C解析:转化为直角坐标,则A(-6,0),圆的方程为(x+2)2+y2=4,∴切线长为2

4.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程是()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4答案:B5.直线θ=α分别与直线l1:ρcos(θ-α)=a,l2:ρsin(θ-α)=a的位置关系是()A.与l1,l2都垂直B.与l1,l2都平行C.与l1平行,与l2垂直D.与l1垂直,与l2平行答案:D解析:直线θ=α的直角坐标方程为y=xtanα.ρcos(θ-α)=a化为ρcosθcosα+ρsinθsinα=a,则直角坐标方程为xcosα+ysinα=a,则k1=-ρsin(θ-α)=a化为ρsinθcosα-ρcosθsinα=a,则直角坐标方程为ycosα-xsinα=a,则k2==tanα.故直线θ=α与直线l1垂直,与直线l2平行.6.已知直线的极坐标方程为 ,则极点到该直线的距离是________.解析:化为直角坐标方程为x+y=1,极点即原点,∴7.已知圆的极坐标方程为ρ2-2ρ(cosθ+sinθ)=5,则此圆关于极轴对称的圆的极坐标方程为________.解析:将圆的方程化为直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=5,它关于x轴的对称的圆的方程为x2+y2-2x+2

y=5.则其极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+2

ρsinθ=5.8.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是________.解析:三条直线在直角坐标系下的方程依次为y=0,y=x,x+y=1.9.在极坐标系中,圆ρ=3cos(θ-)被极轴截得的弦长为________.10.在极坐标系中已知圆C的极坐标方程为,直线l为2ρcosθ-ρsinθ-3=0,判断直线l与⊙C的位置关系.11.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.12.(2009·辽宁)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos(θ- ,M､N分别为曲线C与x轴､y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M､N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

直线和圆的极坐标方程直线的极坐标方程 随堂验收1.极坐标方程(ρ≥0)表示()A.点B.射线