2020高中数学 11 直线与平面垂直（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业（十一)直线与平面垂直(建议用时：60分钟）[合格基础练］一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．］2．直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内 D．不能确定D［直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．]3．已知空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC、BD的关系是（)A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交C［空间四边形ABCD的四个顶点不共面，∴AC与BD必为异面直线．取BD的中点O，连接OA，OC,由AB＝AD＝BC＝CD得OA⊥BD,OC⊥BD，∴BD⊥平面AOC,∴BD⊥AC,故选C.］4．已知ABCD。A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是(）A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1D［正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C,因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.]5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α,垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是(）A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FHB［因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ。又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.]二、填空题6．如图所示,平面α∩β＝CD，EA⊥α,垂足为A，EB⊥β,垂足为B,则CD与AB的位置关系是________．CD⊥AB［∵EA⊥α,CD⊂α,根据直线和平面垂直的定义,则有CD⊥EA.同理，∵EB⊥β,CD⊂β，则有EB⊥CD。又EA∩EB＝E,∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.]7．如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC,则图中直角三角形的个数有________．4［eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC，，BC⊂平面ABC)）⇒eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(PA⊥BC，,AC⊥BC,,PA∩AC＝A)）⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.]8．设l，m，n为三条不同的直线,α为一个平面,给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α,n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m,m∥n,l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．①③④[①显然正确;对②，只有当m,n相交时,才有l⊥α，故②错误；对③,由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n,故④正确．]三、解答题9．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE。［证明］∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF。又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE。10．如图所示，四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面）,C是圆柱底面圆周上异于A、B的任意一点．求证:AC⊥平面BB1C。[证明]因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面,所以BB1⊥底面ABC。因为AC⊂底面ABC，所以BB1⊥AC。因为AB为底面圆的直径,所以∠ACB＝90°,所以BC⊥AC。又因为BB1∩BC＝B，BB1⊂平面BB1C，BC⊂平面BB1C,所以AC⊥平面BB1C.[等级过关练]1．正方体ABCD。A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段A[如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．]2．已知直线m,n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个 B．至多一个C．有一个或无数个 D．不存在B［若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．]3．已知平面α，β和直线m，给出下列条件:①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β。当满足条件________时，有m⊥β.②④[若m⊥α，α∥β时,有m⊥β,故填②④.］4．如图，在直四棱柱ABCD。A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形）BD⊥AC［要找底面四边形ABCD所满足的条件，使A1C⊥B1D1,可从结论A1C⊥B1D1入手，∵A1C⊥B1D1，BD∥B1D1，∴A1C⊥BD。又∵AA1⊥BD，而AA1∩A1C＝A1，AA1⊂平面A1AC，A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥AC.(此题答案不唯一)．]5。如图所示，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点,AN⊥PM，N为垂足．(1）求证：AN⊥平面PBM;（2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.[证明］(1)∵AB为⊙O的直径,∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM.又∵PA