2020高中数学 11 分层抽样（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(十一)分层抽样(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人,为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本,则适合的抽样方法是(）A．简单随机抽样B．系统抽样C．直接运用分层抽样D．先从老年人中剔除1人,再用分层抽样C［因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．］2．某中学有高中生3500人,初中生1500人，为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(）A．100 B．150C．200 D．250A[由题意得,eq\f(n,3500＋1500)＝eq\f(70,3500），解得n＝100。]3．一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比是4∶3∶1,现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（)A．20，15，5 B．4,3，1C．16，12，4 D．8，6，2A［40×eq\f(4,8）＝20.40×eq\f(3,8)＝15,40×eq\f（1,8)＝5.]4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3〈p1C．p1＝p3〈p2 D．p1＝p2＝p3D[不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样,它们都是等可能抽样，每个个体被抽中的概率均为eq\f（n,N)。]5．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为（）A．60 B．80C．120 D．180C［11～12岁回收180份,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份,抽样比为eq\f（1,3)，因为分层抽取样本的容量为300，故回收问卷总数为eq\f（300,\f(1,3))＝900份,故x＝900－120－180－240＝360份，360×eq\f（1,3)＝120份．]二、填空题6．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是________．eq\f(1,6)[在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，且为eq\f（样本容量，总体容量).所以每个个体被抽取的可能性是eq\f(20，120）＝eq\f(1,6)。］7．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类型ABC产品数量(件)1300样本容量130由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．800［抽样比130∶1300＝1∶10，即每10个产品中取1个个体,又A产品的样本容量比C产品的多10,故A产品比C产品多100件，故eq\f(1,2)(3000－1300－100)＝800（件）为C产品数量．]8．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；（2)某学校有160名教职工，其中教师120名,行政人员16名，后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；(3）体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖．(1）________（2）________（3)________．（1)抽签法（2）分层抽样（3)系统抽样题号判断原因分析(1)抽签法总体容量较小，宜用抽签法(2)分层抽样由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大,用分层抽样(3）系统抽样总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用系统抽样三、解答题9．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数管理技术开发营销生产合计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200合计16032048010402000（1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？［解］(1)按老年、中年、青年分层抽样，抽取比例为eq\f(40,2000）＝eq\f（1，50)。故老年人，中年人，青年人各抽取4人,12人，24人，（2）按管理、技术开发、营销、生产进行分层，用分层抽样，抽取比例为eq\f(25，2000）＝eq\f（1,80)，故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人,4人，6人，13人．10．为了考察某校的教学水平,抽查了该学校高三年级部分学生的本年度考试成绩．为了全面地反映实际情况，采取以下三种考察方式（已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计14人,考察这14个学生的成绩；③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀,良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分,该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．根据上面的叙述，试回答下列问题：（1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分别是多少?(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？（3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．［解]（1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩,个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14;第二种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩,样本容量为100.(2）第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．（3）第一种方式抽样的步骤如下：第一步:在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩．第二种方式抽样的步骤如下：第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为x；第二步：在其余的13个班中，选取学号为x＋50k（1≤k≤12，k∈Z）的学生，共计14人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成绩分,其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人,所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次;第二步：确定各个层次抽取的人数,因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7,所以在每个层抽取的个体数依次为eq\f(105，7），eq\f(420,7），eq\f(175，7）,即15，60,25；第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．［能力提升练]1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(）A．200,20 B．100，20C．200，10 D．100，10A[该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000人，则样本容量为10000×2％＝200人，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50％＝20.］2．某初级中学共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为001，002，003，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为001,002，003,…，270，并将整个编号平均分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①007，034，061，088，115，142，169，196,223，250；②005，009，100，107，111，121，180，195，200，265；③011,038,065，092,119，146，173,200，227,254；④036，062，088，114,140，166，192,218，244，270.关于上述样本的下列结论中,正确的是（)A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样D［系统抽样又称为“等距抽样”,做到等距的有①③④，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个元素是否在001～027范围内,结果发现④不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k＝eq\f（270,10)＝27，④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，因此排除A，C；若采用分层抽样,一、二、三年级的人数比例为4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在001~108范围内要有4个编号,在109～189和190～270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有①②③,即它们都可能为分层抽样（其中①③在每一层内采用了系统抽样,②在每一层内采用了简单随机抽样)，所以排除B.]3．某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq\f(3,5），为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸"社团的学生中应抽取________人．6[因为“泥塑"社团的人数占总人数的eq\f（3，5）,故“剪纸"社团的人数占总人数的eq\f(2,5），所以“剪纸"社团的人数为800×eq\f（2，5)＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为eq\f（y,x＋y＋z）＝eq\f（3，2＋3＋5）＝eq\f（3，10)，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×eq\f(3，10)＝96.由题意知，抽样比为eq\f（50,800)＝eq\f（1,16)，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×eq\f（1,16）＝6.］4．某机关老年、中年、青年的人数分别为18，12，6，现从中抽取一个容量为n的样本,若采用系统抽样和分层抽样，则不用剔除个体．当样本容量增加1时，若采用系统抽样，需在总体中剔除1个个体，则样本容量n＝________．6［当样本容量为n时，因为采用系统抽样时不用剔除个体，所以n是18＋12＋6＝36的约数，n可能为1，2，3，4，6，9，12，18，36.因为采用分层抽样时不用剔除个体,所以eq\f（n，36)×18＝eq\f(n,2），eq\f（n，36)×12＝eq\f（n,3）,eq\f（n,36）×6＝eq\f(n，6）均是整数，所以n可能为6,12,18，36。又因为当样本容量增加1时，需要剔除1个个体,才能用系统抽样，所以n＋1是35的约数，而n＋1可能为7,13，19，37，所以n＋1＝7，所以n＝6.]5．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．（1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2）要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样,应如何操作?（3)为了从4000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？［解］（1）由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120,总体个数为500＋3000＋4000＝7500，则抽样比:eq\f(120，7500）＝eq\f(2,125），所以有500×eq\f（2,125）＝8，3000×eq\f(2，125)＝48，4000