2020高中数学 7 超几何分布（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(七)超几何分布(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3，4,5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是（)A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④B［由超几何分布的概念知③④符合，故选B。]2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队"的概率为（)A。eq\f（C\o\al（6，15）,A\o\al(6,15)） B.eq\f（C\o\al（3,10）C\o\al(3，5）,C\o\al(6,15))C。eq\f（C\o\al(4，10)C\o\al(2，5)，C\o\al(6,15）） D。eq\f（C\o\al（4，10）A\o\al（2,5),A\o\al(6，15）)C[组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为eq\f(C\o\al（4,10）C\o\al(2，5)，C\o\al（6，15)).］3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个，其中白球的个数记为X,则下列概率等于eq\f（C\o\al(1，22)C\o\al（1，4)＋C\o\al(2，22），C\o\al(2,26)）的是（）A．P(0<X≤2) B．P（X≤1）C．P（X＝1） D．P（X＝2)B［结合题意，当X＝1时，P（X＝1)＝eq\f(C\o\al(1，22）C\o\al（1，4），C\o\al（2，26）），当X＝0时，P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(2,22），C\o\al（2，26)),故P(X≤1）＝eq\f(C\o\al（1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22)，C\o\al（2,26））.］4．从含2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为X，则X的分布列为（)X＝k012P（X＝k)eq\f(7,15)eq\f(7，15）eq\f（1，15）AX＝k123P(X＝k)eq\f（1，15）eq\f(7，15）eq\f(7,15)BX＝k012P（X＝k）eq\f（1，2）eq\f（1,3）eq\f（1,6)CX＝k012P（X＝k）eq\f(1,15）eq\f（7,15）eq\f（7,15)DA[X的所有可能取值为0，1，2,“X＝0”表示入选3人全是男生，则P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(3，8)，C\o\al（3,10）)＝eq\f（7,15），“X＝1”表示入选3人中恰有1名女生，则P（X＝1）＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2，8),C\o\al（3，10）)＝eq\f(7,15)，“X＝2”表示入选3人中有2名女生,则P（X＝2）＝eq\f(C\o\al（2，2)C\o\al（1,8),C\o\al（3，10)）＝eq\f(1,15）。因此X的分布列为X＝k012P（X＝k）eq\f（7，15）eq\f(7,15）eq\f(1,15)］5．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好取1名女生的概率为eq\f（16，45），则a＝(）A．1 B．2或8C．2 D．8B[由题意，得eq\f(16,45)＝eq\f(C\o\al(1,10－a)C\o\al(1,a）,C\o\al(2，10)),解得a＝2或a＝8。］二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件,其中出现次品的概率为________．eq\f(47，245)[设抽取的两件产品中次品的件数为X，则P（X＝k）＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(2－k，45），C\o\al(2，50))(k＝0，1，2）．∴P（X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2）＝eq\f（C\o\al(1，5）C\o\al(1，45），C\o\al（2，50))＋eq\f（C\o\al(2，5）,C\o\al（2，50)）＝eq\f(47,245）。]7．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为________．15[用X表示中奖票数,P（X≥1）＝eq\f(C\o\al(1，2）C\o\al(n－1,48）,C\o\al（n,50)）＋eq\f(C\o\al（2,2）C\o\al(n－2,48），C\o\al(n，50)）>0。5,解得n≥15.］8．某班班委会由5名女生和4名男生组成,现要从中任选3人参加一项公益活动，所选3人中男生人数ξ的分布列为________．ξ0123Peq\f（5，42）eq\f（10,21)eq\f(5,14）eq\f（1，21)[ξ的可能取值为0,1，2，3，P(ξ＝0）＝eq\f（C\o\al(3，5）,C\o\al(3,9))＝eq\f（5，42），P(ξ＝1）＝eq\f(C\o\al（2，5）C\o\al（1，4)，C\o\al（3,9））＝eq\f(10，21），P（ξ＝2)＝eq\f（C\o\al(1，5)C\o\al(2,4）,C\o\al（3，9））＝eq\f(5,14)，P（ξ＝3）＝eq\f（C\o\al(3,4），C\o\al（3，9）)＝eq\f(1,21）.所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f（5，42）eq\f（10,21）eq\f（5，14)eq\f（1，21)]三、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．[解］（1）设抽到他能背诵的课文的数量为X,X~H(3，6,10)．则P（X＝k）＝eq\f(C\o\al(k，6）C\o\al(3－k，4），C\o\al(3，10))（k＝0，1,2，3)，P(X＝0）＝eq\f（C\o\al(0，6)C\o\al（3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1，30），P(X＝1)＝eq\f(C\o\al（1,6）C\o\al（2，4)，C\o\al(3，10)）＝eq\f（3,10),P（X＝2）＝eq\f（C\o\al(2，6)C\o\al（1,4）,C\o\al(3，10））＝eq\f（1，2),P（X＝3）＝eq\f（C\o\al(3，6）C\o\al（0，4），C\o\al(3,10))＝eq\f(1，6)。所以X的分布列为X0123Peq\f(1,30)eq\f（3,10)eq\f（1,2）eq\f(1，6）（2）他能及格的概率为P（X≥2)＝P（X＝2）＋P（X＝3)＝eq\f（1,2）＋eq\f（1,6)＝eq\f(2,3)。10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球,从袋中随机取球，设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X的概率分布；（2）求得分大于6分的概率．［解](1）从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑,4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8。∴P（X＝5)＝eq\f（C\o\al（1，4）C\o\al（3，3）,C\o\al（4,7））＝eq\f(4，35），P(X＝6)＝eq\f（C\o\al（2，4)C\o\al（2，3）,C\o\al(4,7)）＝eq\f(18，35），P（X＝7）＝eq\f(C\o\al（3，4）C\o\al（1，3)，C\o\al（4,7)）＝eq\f(12，35），P(X＝8)＝eq\f(C\o\al（4，4)C\o\al(0，3），C\o\al（4,7））＝eq\f（1，35）。故所求概率分布为X5678Peq\f（4,35)eq\f(18，35）eq\f(12,35)eq\f（1,35)（2)根据随机变量X的概率分布，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P（X＝7)＋P（X＝8）＝eq\f(12,35)＋eq\f（1，35)＝eq\f(13，35）。［能力提升练]1．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4）的值为（）A。eq\f(1，220) B。eq\f(27，55）C。eq\f（27，220) D。eq\f（21,25）C[因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X＝4，即旧球的个数增加一个，所以取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，所以P（X＝4）＝eq\f(C\o\al（2,3）C\o\al（1，9）,C\o\al（3,12）)＝eq\f(27，220)。]2．现有语文、数学课本共7本（其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是eq\f(5,7）,则语文课本有(）A．2本 B．3本C．4本 D．5本C[设语文课本有n本,则数学课本有(7－n）本(n≥2）,则2本都是语文课本的概率是eq\f（C\o\al（2,n)C\o\al（0，7－n），C\o\al（2，7))＝eq\f(2，7).所以n2－n－12＝0，所以n＝4或n＝－3，所以n＝4.]3．在六个数字1，2,3,4,5，7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．0．2[剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P＝eq\f(C\o\al（2,2)·C\o\al（1，4），C\o\al（3，6）)＝eq\f（4,20）＝0。2。］4．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为________．eq\f(3,5）[由于是分层抽样,所以5名观众中，年龄为20至40岁的有eq\f(18,45)×5＝2人．设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从超几何分布H(2，2,5），故P(X＝1）＝eq\f（C\o\al（1,2）C\o\al(1,3），C\o\al（2,5))＝eq\f(3,5）.］5．从某批产品中，有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A）＝0.04。（1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的概率分布．[解](1)设任取一件产品是二等品的概率为p，依题意有P（A）＝p2＝0.04,解得p1＝0。2，p2＝－0。2(舍去)．故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0。2.（2）若该批产品共1