2020高中数学 5 空间两条直线的位置关系（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(五)（建议用时:60分钟）［合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的有（)A．两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线B．两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线C．两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线D．两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线C[A只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性;B把两条直线放到特定的两个平面内,也不具有任意性；C从反面肯定了两直线的异面；D中的两条直线可能在同一平面内．故选C.]2．如图，G,H,M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形有（）①②③④A．①② B．①③C．②③ D．②④D［①中GH∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，∴GH，MN必相交．]3．如果l和n是异面直线，那么和l,n都垂直的直线条数为（)A．0 B．1C．2 D．无数D[l和n是异面直线，则和l,n都垂直相交的直线有一条m,与m平行的直线和l，n都垂直．]4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是（）A．平行四边形 B．矩形C．梯形 D．正方形B［易证四边形EFGH为平行四边形，又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°.∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．]5．如图，三棱柱ABC.A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AEC．AE，B1C1D．AE与B1C1所成的角为60C［CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故A、B错;AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故二、填空题6．如图，A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6,则BD＝________．18[连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F,则E，F分别为BC,CD的中点，连结EF。由题意知,eq\f(AM，AE）＝eq\f(MN,EF)＝eq\f（2，3)，∴EF＝eq\f（3，2)×6＝9，∴BD＝2EF＝18。]7．如图，四棱柱ABCD。A1B1C1D1中,底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB∠D1DC，∠D1C1C,∠A1B1B［因四棱柱ABCD­A1B1C1D1中AA1∥DD1。又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，8．如图，过正方体ABCD.A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l4[连结AC1(图略），则AC1与棱AB,AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB,AD,AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．]三、解答题9．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B［证明］如图，设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1B1C1，∴EQB1C1(平行公理），∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q.又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QDC1F,∴四边形DQC1F为平行四边形,∴C1QDF。又∵B1EC1Q，∴B1EDF,∴四边形B1EDF10．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解]因为D，E分别是VB,VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.［等级过关练]1．一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.A．①③ B．②④C．②③ D．③④A[把正方体平面展开图还原为原来的正方体,如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM,MN⊥CD，只有①③正确．]2．如图，在正方体ABCD。A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1,CC1的中点，A．直线DM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线B[B中AM和BN是异面直线．］3．如图,正方体ABCD.A1B1C1D1中,E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D60°［如图，连结BC1，A1B。∵BC1∥EF,A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C所成的角为60°.4．一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是________．相交或异面［如图，在长方体ABCD。A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B,DD1与BC5．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq\f(OA，OA′)＝eq\f(OB，OB′）＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(2,3）。（1）求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC,B′C′∥BC；（2）求eq\f（S△ABC，S△A′B′C′)的值．［解](1）证明：∵AA′∩BB′＝O，且eq\f（AO，A′O)＝eq\f(BO，B′O)＝eq\f（2，3），∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′。(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且边AB和A′B′，AC和A′C′方向都相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC