线性代数第6章二次型讨论性质与化

6次型讨论二次型的性质与标准化常常需要讨论含有n个变量(字母本章我们讨论二次型的性质与标准化问题,采用的方法主要是矩阵的方法,61节二次型及其矩阵表定义6.1二次型的概念标准形只含平方项在数域P上含有n个变量(或称文字)的二次齐次多项式f(x,x ,x)=ax22axx 2ax

11 121 1n122 2n2ax2 22 2n2

nnax2nn称为n元二次若f零多项式,则称f为零二次型,若P实数域,则称f实二次型；若P是复数域,则称f为复二次型,f1(x,y)x2xy2y2;f2(x)2x2; f3(x1x2x3123都是二次型 其中f2和f3是标准形二、二次型的矩阵表 f的A绝对对在(1)式中令aijf(x,x ,x)=ax2axx 11 121 13122 232a21x2x1ax222 232

xnnnan1xnx1an2xnx2an3xnx3 ax2nn,xn)a11x1a12x2,xn)xax ax=(x1,x2

21 22 2nnaxax axn1 n2 nnn=(x1,x2

a1nx1,xn),xn)a2n2 xannnxA称为对称矩 为二次型的矩f(x1x2 xnXAX(3)称为矩阵表达式说明,对非对称矩阵A=(ajf(x1,x2 ,xn)=Xn=ax2(aa)x

ii

1i

i2这时,二次型f的对称矩阵是AA,不是2二次型的矩阵绝对对称的在数域P上对称A 易见,任意给定数域P上n级对称矩阵就唯一确定数域P上一个二次型f(x1,x2 ,xn)=XAX.反之,数域P上任意一个二次型f(x1,也唯一确定一个数域P上的n级对称矩阵,即二次型f(x1,x2, ,xn)的矩阵,因此,数域P上全体二次型的集与数域P上n对称矩阵的集11的关系,写出二次型f(x,x ,x)=2x2x

x

x2的矩阵 20 20

1 2 1解A 2 1 写出对称矩阵A= 3所对应的二次型f(x,y,z) 1313 解f(x,y,z)x2+4xy+2xz2y26yz标准形标准形 对角矩 f的秩是A的λ2nf(x,x ,x)=λx2λ2n

1 2

x1 x=[x1,x2 ,xn] x

2 =X

nn 可见标准形的矩阵是对角矩阵定义6.2二次型f=XAX矩阵A秩称为二次型的秩二次型的标准节二次型的标准形化一般为标准形本节我们研究化一般二次型为标准二次型的问题定义6.3线性替换设P为一个数域,x1,x2 ,xn与y1,y2 ,yn为两组变量(字母x1c11y1c12y2 c1nynxcycy cy我们称关系式

21 22 2n

(其中cijPi,j1,2,nxncn1y1cn2y2 为由x1,x2, ,xn到y1,y2, x1

c1ny1x

y2=

2n2 x

yn nX=其中X=(x1,x2 ,xn),Y=(y1,y2 若行列式|cij|≠0则称(4)为非 又若P为实数域R,C为正交矩阵,则称XCY一个正交线性替换设二次型f(XXAX矩阵为经过线性替换XCY得到新二次型g(Yf(X)新二次型的矩阵是C当C可逆，X 引理 f经过X=CY后A变为CAC秩不设二次型f(X)XAX的矩阵为则经过 线性替换X化成的新二次型g(Y)=f(X)Y(CAC)Y的矩阵是C引理的前一部分已证明我们只要证明rCAC)=这可由第4章习题4.4的第10题结论得出 定义 如果B=CAC那么AB合同设A,B为数域P上n级矩阵,如果存在P上n可逆CB=C则称矩阵A与B合同(或相合合同的性质 称传如果存在可逆P,Q那么B等价如果存在可逆,=C1C那么AB相似它也满足：自反性：任意n级矩阵A都与自身合同对称性：若A与B合同,则B也与A合同传递性：若AB同,BC同A与C合同,可以决定数域P上全体n级方阵集合Mn(P)上的一个分类利用矩阵合同的语言引理1合同改述f经过XCY后A与CAC同引理1经过 线性替所得到的新二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同先介绍化二次型为标准形的配方法 例1化二次型f(xx,x)=

x24xx2xx4x22x2标准 解f(x1x2x3

1 1 =[x22x(2xx)]4x2 =(x12x2x3)2(2x2x3)24x2 3=(x12x2x3)24x2x33=(x12x2x3)2(4x24xxx2) 2 2=(x12x2x3)2(2x2x3)22y1x12x2x3 x1y1y24y3y 2xx,解得x y y x

x3

y22y3 这是一个 线性替换 f(x1,x2,x3)y2y2 C同标准形不z1x12x2x3 x1

1z1若令z x 得

= 0z

2

2z3 2x2x3

这也是一个 线性替换f(x,x,x)=z24z2 由此可见

二次型的标准形随所选择的 线性替换的变化可能会不同化二次型f(x1x2x32x1x26x2x32x1x3为标准形,为采用例1的思路,需要先造出平方项x1

0y1

x1y1y2解令

=

0

即

yy2

2

x3

y3则f(x1x2x3

=2(y1y2)(y1y2)6(y1y2)y32(y1y2=2y22y24yy8y l 2=(2y24yy2y2)2y2+8yy 1 2 2 =2(y1y3)2(2y28yy+8y2 2 3=2(y1y3)22(y22y3)23z1y1y3 z1

1y1令zy2y,即

=

2y

2

2z3y3 y1

1z1

1y3解得y= 2z2

2

且f(xxx)=2z22z2 其中所作的总的 线性替换x1

0 1z1

3z1x=

0 2

=

1z2

2

2

1 利用例1,例2提供的方法,不难证( 的读者可以用归纳法自行证明定理6.1 f经过X=CY 数域P上任意一个二次型都可以经过 线性替换化成标准形合同变换的定设Q为数域P上的一个初等矩阵变换QAQ相当于对A先作适当的初等列变换(得到再对AQ作相同的初等行变换(得到事实上,若Q则QAQ相当于交换A的第i列与第j列后再交换其第i行与第j行；若QE(i,j(k)),则QEj于是QAQ相当于把A的第i列的k倍加到第j列上去后,再把所得到的矩阵的第i行的k倍加到第j行;若QE(iccP则QAQ相当于用c乘A的第i列后,再用c乘所得到的矩阵的第i行,为证明定理6.,只要说明A可经过一系列合同变换化成对角形矩阵即可,利用矩阵的语言定理61以改述定理6.1f经过X A合同对角矩数域P上任意一个n级对称矩阵A都合同于一个对角形矩(称为A在P的合同标准形).下面我们证明定理6.1,证对A的级数n作归纳当n1A身就是对角形矩阵,定理6.1显然成立,下设n假设定理6.1一个对n-1级对称矩阵成立我们考虑数域P上任意一个n级对称矩阵A=(aj分下列三种惰况可以把A的(i,j)元素变成0；再把所得到的矩阵的第1行的相同倍数加到第j行上,必然把j,1)元素也变成0,其中这是因为我们所作的初等变换是合同变而A为对称矩阵,对j=2,3,…,n依次进行上述合同变换A变成的矩阵 0必然是对称矩阵 从而B是数域P上的n-1级对称矩阵由归纳假设存在数域P上n-1级可逆矩阵1使CBC为对角形矩阵1令C= 0 C则C

10C=

为对角形矩阵

CBC a11=

1但存在某个a1j0j{2,3,…,n我们可以把A的第j加1上去,再把第j行加到第1行上去,利用这样的合同变换就把A变成了(1,1)位置元素不为且与A合同的矩阵,归为a1j=0,j=1,2,…,这时我们有aj10,j于是A本身就等于 0 1其中A1为n1对称矩阵设A为数域Pn对称矩阵,C为P上的n级可逆矩阵,且BCAC为对角形矩阵如何求出C,B？A成对角由A得B,由E得由于可逆矩阵C是一系列初等矩阵的乘积即C 这里Q1,Q2

Qs,Qs为初等矩阵所以

E我们构造2nxn矩阵AE 对A作一系列合同变但每次都只对E作与A的合同变换相对应的初等列变换,如果把A化成对角形矩阵B,同时也就把E化成了所求的矩阵这时,必然有CAC 设A= 0 210 210 求二次型f(X)XAX的标准形 A=

E E

②①(2) 2②①(2) 2③①(1) 1③①(1) 1②③(2) 1②③(2)

令X=CY,C= f(XX =Y 0 =y24y2 求二次型f(X)=X 3X的标准形 11

EAE

① ① 0①②

1

②①()

②①(1)

③①

③① 0212 02122 2

012 012

11112 11112

2 2

②③(1) ②③(1) 1111 11112 2

2 2 令C=,X 则f(X)=Y

0 =2y23y2 2 在实数域R上实f阵A对特别对于P为实数域R时实二次型f(X)XAX的矩阵A为实对称矩阵存在正交矩阵T发生TATT1ATB为对角形矩阵,于是令X=TY代人f(X)=XAX,得f(XY(TAT)YYBY为标准形定理 实f都可经过正交替换化为λ标准任意一个实二次型f(XXAX都可以经过正交替换X=TY化为标准形

1 2 nλy2λy2 1 2 n其中λ1,λ2, ,λn恰为A的n个实特征值, 求正交替换X使实二次型f(X)=2x22xx2xx+2x 为标准形 1 1 12x22x2x3 32x2 344 解矩阵A= 重复第五章33步骤 1 2

1 2

正交矩阵T=

3 1TAT= 2 1 1 令X

2则f(X

=y2y2y2 二次型的规范节二次型的规范从6.2例2可以看出数域P上一个二次型f(x1,x2 其标准形一般不是唯一的但标准形中非零的平方项系数的个数是由标准形的矩阵决下面我们分别在复数域C和实数域R上先在复数域C上讨论设f(x1,x2, ,xn)为秩r的复二次型, f可化为f(x,x ,x)=dy2dy2 d 1 2 rdi0i12r其中di为复数 1 y1 z1y z再作 线性替换

2= 2

y zn

r f(x ,x)=z2z2 z2对应矩阵为 定义如果复二次型f(x1 ,xn)的秩为则f(x ,x)=z2z2 称为复数域C上二次型f(x1 ,xn)的规范形显然,复数域C上二次型的规范形且规范形对应的矩阵为 定理 复f性替换复规范 并且规范形由该二次型的秩唯一确用矩阵语言可改述定理6.3复对称A合同于对角 0,r为A的 任意一个复对称矩阵都在复数域上合同于一个形如 0的对角形矩阵 其中r为A的秩不难得出两个n级复对称矩阵合同当且仅当它们的秩相等,n复对称矩阵的集合,在合同的意义下可分成n11求复二次型f(xxx=-2x24x

2x

2x2的规范形

1 1 解f(x,x,x)的系数矩阵A=2

行列式|A| 故r(A

因此复二次型f(xxx)的规范形为z2z2 再研究实二次型的情况设f(x1,x2 ,xn)是秩为r的实二次型经过实数域上适当的 线性X=CY替换可设f的标准形为fdy2dy2 dy2

dy21 2 p P1 r其中p为非负整数,prdi为正实数,i=1,2,…, 1 y1 z1y z再令

2= 2

y yn

z nz z2 z2 r 定义f(x,x ,x)=z2z2 z2 称为实二次型f(x1,x2 ,xn)的一个规范形显然,实二次型f的规范由正平方项系数的个数p与二次型的秩r完全确定,下面的定理6.4(通常称为惯性定理) 定理 实f性替换 规范形且f决定p和定理 证明定理6.4的前一部分已证明我们只证明规范形可由原二次型f唯一确定即只要证明规范形中的p由实二次型唯一确定即可,设实二次型f(x1,x2, ,xn)的秩为r先让f经过实数域上 线性替换X=CY化成规范f(x,x ,x)=y2y2 y2 y2 再让f经过实数域上 线性替换X=BZ化为规范f(x,x ,x)=z2z2 z2 z2 所y2 y2

=z2 z2 z2. 由XCY与XBZ得zij令G=B1C=(g).则实矩阵Gij在实数域上 线性替换Z把规范形z2 z2 化成规范形y2 y2 如果pg11y1g12y2 g1nyngygy gy21 22

2n我 齐次线性方程组gygy gys1 s2 sn yp1它的方程个数为(n-p)+s<n,所以它有非零解,令(k1,k2, ,kp,kp1, ,kn)为它的一个非零解,则kp1 kn0从而k1 ,kp不全为再由Z=GY知相应的z1 zs 这样,(*)式的左端=k2 k2

yn而右端= z2 ,从而同理可证sp,故p定理6.4可用矩阵语言改述为定理6.4实对称A合同于对角

且A决定p和 任意n级实对称矩阵A都在实数域上合同于对角矩阵

其中rr(Aqrp且p,r都由A一确定0pr称p实二次型f(XXAX或A正惯性指数,称q实二次型f(XXAX或A负惯性指数,称p-q为实二次型f(XXAX或A的符号差两个实对称矩阵在实数域上合n级实对称矩阵的集合在合同的意义下可以分成(r1)(n1)(n2) 用 线性替把实二次型f(xxx)=x22x22xx3x2化为规范形 1 正惯性指数、负惯性指数和符号差 解f(x,x,x)的矩阵为A=

A= 3

E

令XCYC

②

2 2 ③

②

2

(

2③

2 22

2

2 2 0 0 令X=CY,其中C= 2可逆, 2 0 2 02 02 则f(xxxy2y2 所以正惯性指数p负惯性指数q符号差为以及工程数学上都有很广泛的应用，定义6.7正定半正定负定半负定不设f(XXAX实二次型其中A为二次型f(X)的矩阵X(x1x2, xn)为实n维列向量.若对任意XRn,X≠0,都有f(X)>0,则称实二次型f(X)是一个正定二次型，这时称为正定矩阵，又称A是正定的若对任意XRn,都有f(X)≥0,且存在X≠0,使则称实二次型f(X)是一个半正定二次型，这时称矩阵A半正定矩阵，又称A是半正定的若对任意XR,X≠0,都有则称实二次型f(X)为一个负定二次型，这时，称A负定矩阵，又称A是负定的若对任意XR,都有f(x)≤0,且存在X≠0使则称实二次型f(X)是一个半负定二次型，这时，称A半负定矩阵，又称A是半负定的若存在两个向量X1X2Rn,使f(X1)>0,f(X2则称二次型f(X)是不定二次型，这时，称A不定矩阵，又称A不定的，充要条件与性显然实对称矩阵A是个负定矩阵的充要条件是-A是个正定矩阵，实对称矩阵A是半负定矩阵的充要条件是-A是半正定矩阵若实对称矩阵A是正定的，则A的主对角线上元素都大于0；为什么若实对称矩阵A是负定的，则A的主对角线上元素都小于0.若实对称矩阵A是半正定的，则A的主对角线上元素都大于或等于0；若实对称矩阵A是半负定的，则A的主对角线上元素都小于或等于01 2 n设di1 2 n,xn),xn)

dx2dx2 dx2是正定二次型我们主要研究正定二次型定理 f正定 p为n元实二次型f(x1,x2 ,xn)正定的充要条件是它的正惯性指数为我们先给出两个引引理 f正定

ff(x,x ,x)=dx2dx2n1 2dx2是负定二次nf(x,x ,x)=dx2dx2n1 2dx2(r<n)是半正定二次rf(x,x ,x)=dx2dx2n1 2dx2r<n)是半负定二次rf(x,x ,x)=dx2dx2n1 2dx2n>1)是不定二次n实二次型f(x,x ,x)=dx2dx2 dx2正定的充要条 1 2 n是di,i=1,2,…,n,均为正数，引理1可由定义直接得出引理 AB合 A正定 B正设A,B为n级实对称矩阵，且A,B在实数域上合同，则A正定的充要条件是B正定换言之，合同变换不改变实对称阵的正定性证充分性B定,会发生,A由假设条件知存在实可逆矩阵C,使B=如果B定，则对任意非零列向量XRnXBX>0即(CX)A(CX注意C为实可逆矩因此，随着X遍取Rn中的非零列向量,CX也可遍取Rn中所有非零列向量,f(CX)=(CX)A(CX>0i(CX2系数为正所以A正定的，i同理可证，若A正定，则B也正定类似可证明变前矩阵与变后矩阵同时为正定或负定或半正定或半负定或不定的定理6.5的证实二次型f(X)=XAX(A实对称) 线性替换X=CY化成实二次型BC

(CY)A(CYYCACYYBY(B实对称我们可以假设B为对角形矩阵由引理1,B正定的充要条件是B的正惯性指数为注意实对称矩阵的正惯性指数在合同变换下不变所以由引理2知A正定当且仅当A的正惯性指数为利用引理1,引理2及定理5.6,不难证定理 A正定 A的λ全实对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全为正数，由定理6.5,n元二次型正定的充要条件n 是其规范形为y2n 定理 A正定 A与E合实矩阵A正定的充要条件是A与单位矩阵合同，即存在实可逆矩C使ACECCC推论A定正定行列式>0负定行列式未必正定矩阵的行列式大于例如,A=(aj)nn为n级矩阵，

则行列式DaD

a12…D

分别称为A的1,2，…，n级顺序主子式，定理6.8实对称A正定要 定理6.8利用顺序主子式判断一个实对称矩阵是否正n级实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式全都大于证明必要性设A定，即n二次型f(X)=X'AX定，所以对一切XRn,X0,有XAX>0.设Aaj)nn,xk ,0)X,xk ,0)其中x1 ,xk为任意不全为0的实数

x1

1n 则XAX=[x ,x ,0]

a2nxk 0

ann 0 x1

a

ax 0a0 ,x ,0],