2022年新高考重难点汇编重难点汇总（解析版）

重难点01数列新高考中考查数列难度不大，但解答题中作为了必考内容，一般是解答题的前两题，会考察开放式的题型。知识点考查比较简单，也是新高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的。本专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手。满分技巧1、通项公式的求法1)累加法(叠加法)若数歹IJ｛%｝满足%+1-册=/(〃)(〃6N*),则称数列｛%｝为“变差数列"，求变差数列｛%｝的通项时，利用恒等式=q+Q-%)+(%-g)+…+(。“-a„_|)=a1+/⑴+/(2)+/(3)+…+/(〃-)(〃N2)求通项公式的方法称为累加法。2)累乘法(叠乘法)：若数列｛册｝满足为•=/(")(〃eN*),则称数列｛册｝为“变比数列"，求变比数列｛册｝的通项时，利用%an=a\ -=«1•/(I),/(2)-/(3)•••f(n-1)(n>2)求通项公式的方法称为累乘法。a2% «„-13)由数列的前n项和S“与"的关系求通项公式若已知数列｛%｝的前n项和S”=/(〃)，则不论数列｛%｝是否为等差数列或等比数列，当〃22时，都有[S,,〃=1可利用公式凡=° ° 、。求通项。4)构造新数列对于an=Pan-i+<7的形式，主要是利用(%+加)=p｛anA+m)的形式进行转化:

对于a“=pajp"",主要采用会-矢=加的形式进行转化运算：11对于一般采用转化成 =P的形式进行转化运算。anan-\2、数列求和问题1、常见裂项求和公式：㈠尸4/2(2〃・1)(2〃+1)㈠尸4/2(2〃・1)(2〃+1)(a-l)a" 1 1(an-l)(a"+,-l)-^4-fln+'-l2、错位相减求和问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“SJ与"qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出uS,-qSnn的表达式.（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.3、分组求和问题，分为三种，一种是绝对值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题，还有一种是分奇偶项求和。热点解读热点1：由递推式求通项公式；热点2：数列求和；热点3：数列中的新定义与最值（范围）问题；限时检测A卷（建议用时90分钟）一、单选题（2021•四川・内江市教育科学研究所一模）记数列｛%｝的前〃项和为其，若S“=2%+1,则（ ）B.｛4｝是等差数列 C.｛%｝是等比数列D.54=-30【答案】C【分析】当〃=1时，4=-1,所以选项A错误；推理得到-^-=2(〃£汽*,〃22),所以选项B错误，选项Can-\正确；S4=-15,所以选项D错误.【详解】解：当〃=1时，&=2q+l,4=-1,所以选项A错误；因为S“=2a“+l("eM),S„.!=2an_]+l(neN',n>2),所以4=S“-Si=2%-2《1(”€”,"22),化为4=2%(〃gN',〃22).•.2=2(〃€%*,〃22)所以数列｛%｝是等比数列.所以选项B错误，选项C正确：an-\S4=T-2-4-8=-15,所以选项D错误.故选：C(2021•黑龙江•勃利县高级中学高三期中)“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是〃件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的三.若这堆货物总价是100-200^1万元，则〃的值为( )A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【分析】先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解.9【详解】由题意，得第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元,第三层货物总价为3x(\)2万元，♦♦♦,第"层货物总价为"X舄尸万元.

设这堆货物总价为y万元，则y=l+2xA+3x（2）2+―+〃x（\）i两式相减，得=1+得+（\）2+（台③+,，,+（得尸-〃X（V）"，9TOC\o"1-5"\h\z1 1一（历）“ 9 9 910- ,9 '10 10 10 109 9 9则y=100—100x（―f-10h（—）n=100-（100+10/7）x（―）M,9 9y=100-（100+10w）X（—）w=100-200X（—）w,得〃=10.故选：B.（2021•江西高安•模拟预测）已知等差数列｛4｝,其前〃项和为邑，S“有最小值，若包<T,则使S“<0成立的〃的最大值为（ ）A.17 B.16 C.15 D.14【答案】C【分析】依题意可得q<0，〃>0,再根据冬<7,即可得到4<0,%>0,目.4+%>0,再根据等差%数列前〃项和公式及卜标和性质计算可得；【详解】解：因为等差数列｛&｝的前〃项和为S,有最小值，所以q<0,d>0,所以。9>4,因为巴<-1,所以《<0,%>0,且由+&>0,所以品=（q+；）xl6=3+；）xl6>0,S”=m+；）xl5=[54<0,所以当14”V15时臬<0,所以使，<0成立的〃的最大值为15；故选：C（2021•全国全国•模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子'’的称号.设xeR,用[x]表示不超过x的最大整数，则/（x）=[x]称为高斯函数.已知数列｛4｝满足a?=2,且=2〃+1,若以=[lga』数列｛4｝的前”项和为7；,则刀o2i=（ ）A.4950 B.4953 C.4956 D.4959【答案】C【分析】由题利用累加法可得（=〃，进而可得a=[ig〃],分类讨论a的取值，即求.【详解】由5+1）。〃+1=2〃+1,4=2可得4=1,根据累加法可得nan= 一加一1)%_]+(〃-I)%-(〃-2)%_2+…+2%-q+q=I所以4=〃，

故“=[lgzi],当IW〃<9时，a=0；当104“499时，。=1：当1004〃4999时，bn=2■当10004”42021-b,数歹时（仍）"｝的前〃项和为北,时，4=3,因止匕4021=90+900x2+1022x3=4956.故选：-b,数歹时（仍）"｝的前〃项和为北,（2021•江苏徐州•高三期中）己知等比数列｛4｝的前〃项和邑=若数列｛1｝是等差数列，则非零实数〃的值是（ ）A.-3 B.- C.3 D.43【答案】C【分析】根据a“=S,,-S.T求出｛q｝通项公式，利用q=，可求出6=；,求出7；,根据等差数列的特点可得.【详解】因为等比数列【详解】因为等比数列｛4｝的前〃项和S.则当”22时，a“=S“-S._|=（；） +Z>=-|'X[5）,则4=*=/b=-|,解得6=；,TOC\o"1-5"\h\z则（"）"=（]：,即｛（"）"｝是以]为首项，:为公比的等比数列，则3[⑴]=§ ⑸，1 1 -3 3 3因为｛7,｝是等差数列，则通项公式不能出现〃+1次方项，所以1=1,解得a=3.故选：C.a,+冷N，（2021・辽宁实验中学高三期中）数列｛%｝中，％=1,a„+1= 3 ,使凡42021对任意的〃4%〃IkT*

eN（%eN）恒成立的最大左值为（ ）A.1209 B.1211 C.1213 D.1215【答案】B【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是等于2021,即可得答案.【详解】由已知可得，数列{叫：1,6,11,6,11,16,11,16,21,…，可得规律为1,6,11：6,11,16；11,16,21；L此时将原数列分为三个等差数列：1,6,1 =与、2，"e{"|"=3m+l,"?eN}；…a,,= 〃e{"J"=3m+2,meN}：11,16,21,…=5〃；8e|n|n=3w+3)weN|.因为《209=2O21,a121o=2016,al2)|=2021,al2l2=2026>2021,所以满足。“42021对任意的“4人(我用)恒成立的最大上值为⑵1.故选：B.(2021•山东泰安•高三期中)若数列｛4｝满足q=2,a.M=4-l,则( )A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】C【分析】由题意得数列｛4｝是周期为3的数列，即可得解.【详解】由q=2,代入可,丹=见一1可得同理可得q=T.由。“+得”=。“-1,得从而有“"广区匚口二一七二二二二，即%+2=」7，an % 4Tq一1an_~1__1_从而有"""a»+1-la”T]a",所以数列｛”0｝的周期为3,所以。2022=%X674=。3=-1.故选：C.(2021•河北衡水中学模拟预测)数列｛对｝满足qeZ,an+l+a„=2n+3,且其前〃项和为S..若用=品，则正整数加=( )A.99 B.103 C.107 D.198【答案】B【分析】根据递推公式，构造新数列为等比数列，求出数列｛。“｝通项，再并项求和，将几用可表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由4+I+。“=2”+3得a“+1-(〃+l)-l=-(a“-"-l),二｛%-〃-1｝为等比数列，二4-〃-1=(7尸(4-2),.•.%=(-l)"T(q—2)+〃+l,%=(-1尸(《一2)+加+1,:.S*=4+(a2+%)+',•+(°p+Q13)="i+2x(2+4+,••+12)+3x6=q+102,①加为奇数时，q-2+m+1=q+102,加=103：②7n为偶数时，一(4-2)+6+1=q+102,m=2at+99,・・・《eZ,m=2q+99只能为奇数，J阳为偶数时，无解，综上所述，机=103.故选：B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.二、多选题（2021•河北邯郸•高三期末）Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3,第二项是读前一个数“1个3”，记作13,第三项是读前一个数”1个1,1个3”，记作1113,按此方法，第四项为3n3,第五项为132113,….若Look—and—say数列｛4｝第一项为11,依次取每一项的最右端两个数组成新数列也｝,则下列说法正确的是（ ）A.数列｛4｝的第四项为111221B,数列加“｝中每项个位上的数字不都是1C.数列｛a｝是等差数列 D.数列他,｝前10项的和为160【答案】AD【分析】A.列举前四项可得答案；B,根据数列｛q｝中最后读的数字是1可得答案；C.列举前四项可得答案；D.列举可得数列｛4｝中数的规律，进而可求和.【详解】4=11,%=21,a3=1211,4=111221,A正确；数列｛/｝中最后读的数字总是1,故数列｛%｝中每项个位上的数字都是1,B错误：数列｛a｝：H,21,11,21，…，不是等差数列，C错误；通过列举发现数列他,｝的第一，三，五，七，九项都为11,第二，四，六，A,十项为21,故前10项的和为11x5+21x5=160,D正确.故选：AD.（2021•山东•泰安一中模拟预测）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：”今有良马和弩马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里：鸳马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驾马，九日后二马相逢其大意为今有良马和鸳马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里：驾马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接驾马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（）A.长安与齐国两地相距1530里B.3天后，两马之间的距离为328.5里C.良马从第6天开始返回迎接驾马D.8天后，两马之间的距离为377.5里【答案】AB【分析】A.设良马第"天行走的路程里数为。"，弩马第”天行走的路程里数为4,求出良马和弩马各自走的路程即得A正确；B,计算得到3天后，两马之间的距离为328.5里，即可判断B正确;C,计算得到良马前6天共行走了1353里<1530里,故C不正确;D,计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.【详解】解：设良马第〃天行走的路程里数为%,驾马第〃大行走的路程里数为“，则a„=193+13（n-l）,h„=97-1（/7-l）（WeN\l^9）.良马这9天共行走了9x193+”宜=2205里路程，号出这9天共行走了。9x8x121 以路程，故长安与齐国两地相距迦罟=1530%A正确.9x97+ ——-=855 223天后，良马共行走了3x（193+13）=618电路程，鸳马共行走j'3x（97-；）=289.5电路程，故它们之间的距离为328.5里，B正确.Ax5x13良叫前6天共行走了6x193+2^==1353里<1530里，故良日行走6天还末到达齐国，C不正确.「口,j前7天共行走了7x193+；=1624>!!>1530里，则良马从第7天开始返回迎接弩马，故8天后，两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，山“9+69=193+13、8+97+（-；卜8=390,知8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.故选：AB（2021・辽宁•大连市第一中学高三期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》第二层有3个球，第三层有6个球，….设第"层有凡个中，后人称为第二层有3个球，第三层有6个球，….设第"层有凡个球，从上往下〃层球的总数为J,则（ ）巍D.LLL 11_200D.a,a-,% a100 101【答案】ACD【分析】根据已知条件求得/由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意可知4+i-%=〃+1,%+i +〃+1，B选项错误.4=1,。2=1+2=3,%=3+3=6,4=6+4=10,%=10+5=15,S$=1+3+6+10+15=35,A正确.&+i-%=〃+1，&-％=n(n>2)9

)+(fln-l)+(fln-l-an-2)+",+(a2—=2x,l+l+...+_L=2《00.D选项正确.故选：ACD12.（2021•江苏如皋•高三期中）观察如下数阵:第1行12第2行32第3行14352第4行15473857 2第〃行 1x\X2…X*2该数阵特点：在第“行每相邻两数之间都插入它们的和得到第〃+1行的数，〃eN*.设第〃行数的个数为第〃行的所有数之和为S.，则（ ）A.a„+1=2a„-lB.，产35,-3C.S”=31（〃-1）2+1]D.左=2"」【答案】ABD【分析】由条件可得4+勺-1=2。“-1,即可判断A,然后求出4可判断D,由，=3,其=6,S3=15,§4=42,$5=123可判断B、C.【详解】第〃行个数为可，第〃行个数为—=24-1,."-4-I,A对；E=3,S2=6,S3=15,54=42,S$=123,则B对C错：a”+i=2a.T,...a.+|-l=2a“-2=2（a“-l）, %：=2,an-l•••｛4-1｝是2为公比的等比数列，；.勺-1=21，.・.4=21+1,.・.上=21-1,D对，故选：ABD三、填空题（2021•江苏•海门中学高三期中）已知数列｛对｝满足。用+（-1）"。“=2〃+1,则％+%+%+•♦•+%»=【答案】50

【分析】根据所给递推关系，可得生川+%“=4〃+1,。2“-%3=4〃-1,两式相减可得的向+。21=2.即相邻奇数项的和为2,即可求解.【详解】•••a.+i+(T)"。“=2〃+1,4I+%”=4"+L-出"t=4”-1•两式相减得+。2"-[=2.则%+%=2,%+%=2,…,即+。97=2,.•.《+/+%+…+。99=25x2=50,故答案为：50(2021・福建・泉州鲤城北大培文学校高三期中)已知数列｛4｝的前〃项和为5.，若《=2,且=2S.+1,则数列｛/｝的通项公式为q=.[2,71=1【答案】|3x2n-2,H>2【分析】项和转换可得。川=2%(〃22),可得数列｛4｝从第二项开始是以3为首项，2为公比的等比数列,结合等比数列的通项公式，分段表示即得解【详解】由题意，S.“=2S”+^S“=2S“t+1两式相减可得：a„+1=2fl„(«>2),在S,+i=2S,+1中,令〃=1,可得4+%=2%+1,即生=3因此数列｛4｝从第：项开始是以3为首项，2为公比的等比数列[2,n=l [2,«=1"""-|3x2»2,"22故答案为：[3x2"-2,n>2(2021•河北•衡水市冀州区第一中学高三期中)在正项数列｛4｝中，4a2a3=8,且噬2+bgi4=；,2L令，=k>g°.JLlog%,V2,则数列｛4｝的前2020项和$202。=.【答案】【分析】【答案】【分析】【详解】整理得：2021利用关系式的变换求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法的应用求出数列的和.正项数列｛4｝中，logz4+i+logi%=彳，i2log2an+i-log,an=log,41，则噫乎=噫&.即 .数列｛4｝是以&为公比的等比数列.由于吗=8,则aj=8,即。2=2,«&厂=（何，二"=1叭不k,0=高=~右,11+ +...+2317+i11+ +...+2317+i1一左，则无2。=1一焉20202021.故答案为:2020202116.（202116.（2021•湖北•华中师大一附中高三期中）乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展”创业技术培训I”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金’'构成一个等差数列｛4｝（单位：万元），每年开展“创业技术培训I”投入的资金为第一年创业资金4（万元）的3倍，已知+ =50.则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为 万元）【答案】100【分析】根据题意，得到五年累计总投入资金的表达式，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意知，五年累计总投入资金为4+4+。3+4+。5+5*31=5%+154=5（。3+34）=10（4+。2）10依+的）2=10也；+G+2°『<1帅侬+吩=100,当且仅当q=出时等号成江，所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.（2021•辽宁•育明高中高三期中）已知递增数列｛%｝的前〃项和为工，且满足+S.m=2/+〃（〃eN，），则首项4的取值范围为.【答案】H4）【分析】根据前〃项和的公式得到递推公式4+。向=4〃-1（〃22）,进而化简整理得到a1=4（〃23）,从而得列｛%｝是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从火起奇数项也是以4为公差的等差数列，从而知需满足4<%<%<4,然后将外,%，4用q表示后，解不等式组即可求出结果.【详解】因为£+$的=2〃2+”,所以2s“+-=2〃2+〃，当〃=1时，2a,+a2=3,当"22时，25„,,+^=2（«-1）2+（«-1）,则2（S“-S“T）+a“+i-a”=2n2+n-2（n-l）2-（n-1）,

即氏+。向=4〃-l（〃N2）,又。小+%=4〃-5（”N3）,故a,+|-a,_]=4（〃23）,所以数列｛%｝是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从内起奇数项也是以4为公差的等差数列，若数列｛。“｝单调递增，所以需满足q<。2<。3<4，又。2=3-2卬吗=7-%=4+2q,%=1=7-2q,所以4<3-2%<4+2叫<7-2《，解得-：<%<1,故％的取值范围为（二4）.4 4 144，四、解答题（2021•江苏・南京市中华中学高三期中）设S,是等比数列｛叫的前〃项的和，g=上，且，、S3、S?成等差数列.（1）求｛%｝的通项公式；（2）设，为实数，$2.为｛%｝的前2"项的和，1为数列｛。：｝的前〃项的和，旦s*=凡,求，的值.【答案】⑴4m（2）【分析】（1）求出等比数列｛%｝的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列｛%｝的通项公式：（2）利用等比数列的求和公式求出$2“、乙，进而可求得，的值.（I）解：设等比数列｛4｝的公比为g,则g#0,由已知可得2s3=E+S2,EP2tz,+2a2+2a3=2a1+a2,即2%+a2=。，则4夕（2。+1）=°,解得夕=一;，因此，4=/（-；）=（一3）.।1-HF2rr.Yi（2）解：由⑴可知q=i,则$2.=―< =；1七），1+2

（2021•辽宁•高三期中）已知等差数列｛飙｝满足：$6=21,St=28,其中4是数列｛a.｝的前〃项和.,,r\r一 ■ /.\n-\ 4〃 2〃+2⑴求数列｛叫的通项：⑵令加=(T)/a-l)(2a+1)，证明：b'+bl+'"b"-2n+\【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）将条件用首项，公差表示，计算即可.（2）利用裂项相消法求和即可.（1）数列｛4｝为等差数列，依题意S6=21,S7=28,所以（1）数列｛4｝为等差数列，依题意S6=21,S7=28,所以7q+2ld=28'所以所以q=〃⑵此5区一苗+（-1）———（T）"—5― ;―<i+—，72/7+1'72/7+1J ,）2/7+1 2〃+12/?+1（2021•江苏•南京师大附中高三期中）设，是等比数列｛斯｝的前〃项和，已知Sz=4,S2=344.（1）求。〃和S〃；（2）设儿=黑一,求数列｛儿｝的前〃项和W+1【答案】（1）。"=3"\ （2）7“=1一产工【分析】（1）根据等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可:（2）由（I）写出“，利用裂项相消法求和即可.（1）设｛斯｝的公比为分则。；=。2。4，而。；=3。4,TOC\o"1-5"\h\z所以解得勺=3,而4+%=4,所以4=1，9=3,，勺=31,则S“= ),=3",,an+, ；— 4・3" -1 1(2)bn=ss=3"-13--1=TT；=2(——-― ~~-)>fS)+i ---•—-— (3—1)(3—1) 3—1 3—1.「1 1 1 11 1 1 1 、— 2= +- )=2(--^1-y)=1-(2021•江苏海安•高三期中)已知数列｛叫满足m=l,斯+尸］(1)从下面两个条件中［勺+3,〃为偶数选一个，写出仇，岳，并求数列也｝的通项公式；①儿=O2〃-i+3；®bn=a2n+\—a2n-\.(2)求数列｛4｝的前n项和为Sn.

也977 2122-弓一§,〃为奇数【答案】（1）所选条件见解析，4=4也=8；4=2”“：（2）s„=小二22三+2〒-也-12,〃为偶数

2【分析】（1）分〃为奇数和〃为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.（2）分〃为奇数和〃为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果.（1）当〃为奇数时，%+2=。»1+3=2。“+3,则（+2+3=2（%+3）,且％+3=4,M+1 ”+3则%+3=42亍，即可=2〒-3，当”为偶数时，4+2=2。“+]=2（。”+3）=2%+6,则。“+2+6=2（q+6）,且%=2。|=2,a,+6=8,则n+l ”+4a„+6=8-21"，即4=2〒-6，2〃-1+3若选①，则a=q,“]+3=22_3+3=2"L则A=4也=8；（2）当〃为偶数时，S“=q+出+…+。〃=（《+%（2）当〃为偶数时，S“=q+出+…+。〃=（《+%+…+%_]）+（。2+4+…+。”）n+2n+4=|2?-3+23-3+…+2亍-3L23-6+24-6+---+2^~-6221-25231-21 --3-—+1-2 2）,n 6,一1-2 2=22+22----122当“为奇数时，\=a,+勺+…当“为奇数时，\=a,+勺+…+。“=（q+%+…+%）+（生+包N+3n+3=|2?-3+2L3+…+2〒-3|+|23-6+24-6+---+2v-6〃+1 F2231-2^——2-6.^!1-2 2=2等一如一包=2等一如一包S.=,2 222一型一幺，〃为奇数2 2山小Qn22+22-券-12,〃为偶数求数列2/7+1的前〃项和。；（3）若wN*,Tn>10^1--^--2,求2的最小值.22.（2021•陕西安康•高三期中）已知数列｛4｝的前〃项和为，，且邑求数列2/7+1的前〃项和。；（3）若wN*,Tn>10^1--^--2,求2的最小值.【答案】⑴。"=2"一（〃？”）（2）萼=10-（2〃+5）｛£| （3）|【分析】（1）当〃22时，可得S“T=2a“T-l，两式相减求得得到数列｛见｝为等比数列，进而求得数列｛a“｝的通项公式；（2）由a”=2"一，得到?1=（2〃+1）（；）,结合乘公比错位相减法，即可对数列｛三斗的前〃项和,⑶由一,）-4，得到42号二，令”=等口，结合"的单调性，求得4的最大值，即可求解.（1）解：由题意，数列｛%｝的前"项和为5"，且S”=2a”-1当〃22时，可得5-=2%-1,两式相减得S.-S1T=a“=2。”-2。1，即所以&=2("N2,"WN+),q1T令〃=1,可得S1=q=2q-1,解得q=l,所以数列｛凡｝是首项为1.公比为2的等比数列,所以数列｛。“｝的通项公式为4=2"T（〃？N+）.（2）解：由%=2小，可得生1=（2〃+1〉则北=3・则北=3・(£|+5.出+7.出+两式相减得;7；=3+1+（；2n+l两式相减得;7；=3+1+（；2n+l=5-(2"+5A,所以7；=10-（2〃+5〉即数列的前〃项和7；=10-（2"+5〉⑶解：由12101-1-彳，即於10一果T0+翳=,,令〃,=亍T，则=3 返「=下「，当14"43时，b4>b3>b2>bt,当〃24时，bn+l-bn<0,即即有">々>">一,3 3 3所以当〃=4时，2取得最大值，最大值为4=5,所以故4的最小值为，8 8 8B卷（建议用时90分钟）一、单选题（2021•陕西临渭一模）已知数列｛4｝的前〃项和为，，若3s“=2a”-3〃，则％侬=（ ）（1A20207 （1^202010A.22om-1 B.3刈°-6 C.目-gD.用-y【答案】A【分析】当〃=1时，求出必=-3,当〃22时，利用a“=S,,-S,i可得｛4+1｝是等比数列，求出其通项公式即可求出结果.TOC\o"1-5"\h\z【详解】当〃=1时，因为q=E，所以| .当〃22时，3s“=2°"-3〃，3s=2a“_1-3(〃-1),所以。“=-2a,i-3,即g+1= +1),所以数列｛%+1｝是以-2为首项，-2为公比的等比数列,所以凡+l=(-2)x(-2严=(一2)",则120=22侬-1.故选:A（2021•上海虹口•一模）设等差数列｛%｝的前〃项和为S,，如果-q<%<-的，贝I（ ）A.S9>O5.51o>OB.Sg>0且S|o<OC.S<,<0且£<,>（）D.S,<0J.Sl0<0【答案】B【分析】由-q<%<-%可得卬+。9>o,々+%>。，结合前〃项和公式，判断£，，。的符合可得正确选项.【详解】***一。]<。9<一。2，《+。9>0，%+出〉。，•.•数列｛叫为等差数列，...s产的善）9,S,o=（-'-^10, 59>0,SIO<0,故选：B.（2021•江苏盐城•高三期中）己知数列｛。“｝满足4=2,。向=。3则4的值为（ ）A.220 B.224 C.21024 D.24006【答案】C【分析】变换得到lna“”=41na“，得到｛lna“｝是首项为厄2,公比为4的等比数列，lna„=4"~'-ln2,计算得到答案.【详解】见+1=。34=2,易知。“>0,故出4+|=41na“，故｛山4｝是首项为ln2,公比为4的等比数列，Ina“=4"-L[n2,lna6=45ln2=ln2'024,故4=Z?。".故选：C.（2021•四川•高三期中）数列｛。“｝满足%+“=%+”“对任意m,〃eN*恒成立，且4为常数，若,是｛叫的前〃项和，且S|o=4,Sg-S9n=30,则£(„=( )A.150 B.160 C.170 D.180【答案】C4【分析】根据已知条件得到Wo=5a”=4,Sl0O-S9O=a,I+a92+ + a,oo=5a19l=30,从而得到。”=不，。⑼=6,再根据Si®=50《0]=25%)2=25(。“+491)求解即可.【详解】数列｛。“｝满足玛+“=%+。”对任意加，〃eN,恒成立，一 4所以Si。=q+4+ +q()=5a”=4,即a”=1，，00-S90=%+。92+ +々00=5卬91=30,解得691=6.所以S[qq=%+4+ +〃ioo=50tZ|0|=25%o2=25(41+。⑼)=170.故选：C5.(2021•山东•枣庄市第三中学高三期中)构造数组，规则如下：第一组是两个1,即(U),第二组是(1,2,1),第三组是(1,3,2,3,1)，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和得到下一组.设第〃组中有％个数，且这％个数的和为S“(〃wN").则52以=( )A.32020+2 B.3202,+2 C.3202,+1 D.32020+1【答案】D【分析】观察S.和5用的数组中的数的差异，它们之间的联系，得出｛,｝的递推关系式，构造出等比数列求得通项公式，从而易得$202。.【详解】设S“中数组是俗也,…也)，即邑=4+&+-+4,则鼠的数组是俗在+4也也+4,…,如，如+4也)，s向比，的数组中多了这些数：4+&也+“,“・也_2+如,如+4，这些数相加.除4也只出现1次外,$…也均出现2次，而-=4=1,所以"S"+2S,-2=3S"-2,因此邑+「1=3(5,-1),又$=2,$-1=1*0,所以｛S.-1｝是等比数列，公比为3,S"-1=3"t,所以S“=3"T+1.从而邑必=3.0+1,故选:D.(2021•山东烟台•高三期中)我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被3除余2的自然数从小到大组成数列｛%｝,所有被5除余2的自然数从小到大组成数列帆｝,把｛%｝和｛4｝的公共项从小到大得到数列｛生｝,则( )A.a3+b5=c｝B.%=% C.asb2>c8 D.c9-b9=a26【答案】B【分析】根据题意数列｛4｝、｛4｝都是等差数列，从而得到数列匕｝是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.【详解】根据题意数列｛%｝是首项为2,公差为3的等差数列，a“=2+3(〃-l)=3〃-l,数列｛4｝是首项为2,公差为5的等差数列，2=2+5(〃-1)=5〃-3,数列｛4｝与｛〃｝的公共项从小到大得到数列｛cj,故数列｛q｝是首项为2,公差为15的等差数列，=2+15(n-l)=15n-13.对于A,a｝+b5=(3x3-l)+(5x5-3)=30,c3=15x3-13=32,a3+bs*c3,错误对于B,48=5x28-3=137,cl0=15x10-13=137,b2i=cl0,正确.对于C,a5=3x5-1=14,4=5x2-3=7,c8=15x8-13=107,a562=14x7=98<107=cg,错误.对于D,c9=15x9-13=122,4=5x9-3=42,a26=3x26-1=77,c,122-42=80*77=a26,错误.故选：B.(2021•黑龙江•哈尔滨三中高三阶段练习)已知数列｛%｝是公比为q的等比数列，S“是其前〃和，若去〉;恒成立，则实数9的取值范围是( )A.^-<»,-1^u(0,+oo)B.(-w,-|)3L+00)C.(-oo,-l)50,+«0D.(-l,0)o[l,-k»)【答案】A【分析】根据g=i,gxi分类讨论确定S”的表达式，再根据恒成立问题的解法即可求出.S1【详解】当g=l时，—=n>~,符合题意：当gxl时，S„ \-q \-q" 1恒成立，«„ %尸 产(i-q)3当夕>1时，不等式变形得，2g"+gi-3>0,因为<>1国"->1,此时符合题意：当0<”1时，不等式变形得，2g"+gi-3<0,因为0<q" <1,此时符合题意;当4<0时，若〃为偶数，则不等式变形得，2g”+/-3>0,即/(2g+l)>3,若该不等式恒成立，则为+1<0,即”-；，所以设〃〃)=2/+小，/(〃+2)="2”1),/(〃+2)-/(〃)=尸⑶+1)(41),所以当时，/(〃+2)</(〃)，此时忖i|<l,T<2g+l<0,此时该不等式不可能恒成立；当q4-l时，/(»+2)>/(n),若该不等式恒成立，只需g(2g+l)>3,A— 3 3解得夕>1(舍去)或综上，□若〃为奇数，不等式变形得，尸的+1)<3,满足题意；综上所述，实数9的取值范围是(f,-|)u(0,+8).故选：A.(2021•浙江省杭州第二中学高三期中)己知数列m｝满足a,田=丁一+1(„eN-,e为自然对数的底数),且对任意的〃>0都存在〃eN,使得旧-2卜"成立，则数列｛4｝的首项《须满足( )A.a,<l B.l<a,<2 C.a,<2 D.a]>2【答案】C【分析】先判断数列｛4｝的单调性，再根据选项作取舍.【详解】设〃x)=e*-x-l,令/'(x)=e'-l=0,得到x=0.当xe(-8,O)时，f'(X)<0,/(x)单调递减;当xw(0,+8)时，f'(x)>0,/(x)单调递增.故〃幻2/(0)=0,即e'2x+l(当且仅当时x=0取等号).故ae=e%-2+12a“-2+l+l(当且仅当时q=2取等号).即a用>a”.要使对任意的M>0都存在〃eN*,使得旧-2|<M成立，显然％=2时，q=2,一定能满足题意；当q>2时，如图此时不满足题意；当q<2时，a,<2,如图此时满足题意：综上，q42.故选：C

(2021・福建•三明一中高三期中)已知数列加“｝的前”项和为邑，下列说法正确的是( )A.若点(〃,4)在函数y=h+b/,6为常数)的图象上，则｛4｝为等差数列B.若应｝为等差数列，贝43"”｝为等比数列C.若｛4｝为等差数列，4＞。，瓯=0,则当"=10时，S.最大D.若S.=2"+3,则｛%｝为等比数列【答案】AB【分析】结合等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A,依题意%=也+6,所以｛4｝为等差数列，A正确.B,依题意a“=q+(〃-l)d=d〃+q-d,3°"=3""+"「"=3"i•(3。"，所以｛3“｝为等比数列，B正确.SN=-xll=0,a,4-Uh=0,2a6=0,a6=0,所以”=5或〃=6, 最大，C错误.q=E=5,/=7-5=2,%=11-7=4,所以｛q.｝不是等比数列.故选：AB(2021•福建省泉州第一中学高三期中)已知数列｛为｝满足2q+22%+…+2"4="(〃e〃)，4=1 1 ,5"为数列｛4｝的前"项和.若对任意实数入，都有邑＜义成立，则实数九的可能取值为log,aM-log,an+11【答案】ABCD21【答案】ABCD234【分析】由和与通项的关系先求出2%.，进而求出知,",再用裂项相消求出S.即可获解.【详解】设数列｛2%“｝的前〃项和为由题意得，当，=1时，2%=2q=7；=1,即当〃22时，2"%=。-1)=1所以,当〃=1时，生=；,也满足，所以。“二£b_ ] 1 1 _ 1__1_故"log,a„log2an+l唯(l；.[og(!『 〃(〃+l)nn+\故s〃=1-：+；-!+…+，—二=1—1 ，所以实数人的取值范围为[1,+8)故选：ABCD.(2021・湖北•高三期中)已知数列｛4｝的前〃项和为，，下列说法正确的是( )A.若S”=/+1,则a“=2”-12B.若a,,=-2"+ll,则数列业』｝的前10项和为49C.若4=-2〃+11,则S”的最大值为25D.若数列｛q｝为等差数列，且4。“<0,。”+/2>0,则当2<0时，"的最大值为2021【答案】CD【分析】由％与S,的关系求出为,可判断A：由题意求出数列｛|a』｝的前10项可判断B；由等差数列的和结合二次函数的性质可判断C；由等差数列的性质与求和公式可判断D【详解】对于A：当”=1时，a,=S,=l2-llxl+l=-9,当〃22时，an=5„-S„,1=(n2-lln+l)-[(n-l)2-ll(n-l)+l]-2n-12,[-9,n—1检验〃=1时2xl-12=-10x4,所以。“=、S、、，故A错误：2〃-12,〃22,।(1l-2w,w<6对于B：因为+则%[2/J-11,^>6所以数列｛时|｝的前10项和为9+7+5+3+1+1+3+5+7+9=50,故B错误；对于C：由。”=-2〃+11可知数列｛%｝是等差数列，则S“=(9_2；+ll)”=_/+]0”,易知〃=5时，S”的最大值为25,故C正确；对于D：由数列｛%｝为等差数列，且4。“<0，4。“+。皿2>°，所以当S“<0时，〃的最大值为2021,故D正确；故选：CD所以S加所以S加=®+~?x2°21=2021aHm<0,S2O22_(《+。2。22)x2022_(al0U《012)'2°22>02(2021•辽宁丹东•高三期中)参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为厂，每年还款数为X万元，则( )A.X=([+,严二] B.小郭第3年还款的现值为[二干万元C.小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D.小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”【答案】BD【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法“，所以利用等比数列前〃项和公式求出X,再设小郭第3年还款的现值为y,根据复利规则求出y.【详解】解：；小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，・・・小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故d正确，c错误，设每年应还X元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为刈1+(1+/)+(1+/)2+...+(1+厂力，银行贷款A元10年后的本利和为《+r)m..-.X[l+(l+r)+(l+r)2+...+(l+r),]=^(l+r)10,X• =4(1+r)1。,即X= 故A错误.-(1+r) (1+r)-1X设小郭第三年还款的现值为y,则广(l+r)3=X,所以^=077了，故B正确；故选：BD三、填空题(2021•黑龙江・勃利县高级中学高三期中)各项均为正数且公比g>l的等比数列{a”}的前〃项和为&,若0105=4,02+04=5,则(一十万)的最小值为.2&【答案】8【分析】先根据等比数列的性质求出首项、公比，然后将结论表示出来，最后利用换元法结合基本不等式求最小值，注意取最小值时等号要成立.【详解】解：由题意：。[。5=。2。4=4,又由"2+。4=5,又公比q>l,：.a2=\,。4=4,故g2=£=4,故g=2,q=g.a“=2"-2,5=z。")=1....⑸+万)=(2"T+2)2,令r=2"iG{l,2,22,23 },2("2"t则原式=9兴=，+：+422，三+4=8,当且仅当，=2"T=2,即〃=2时取等号.故答案为：8.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式和前〃项和公式，考查用基本不等式求最值,求最值时要注意等号成立的条件.（2020海南•三模）已知数列｛对｝满足6=-5,〃（1-。”）=4+〃（"+1）（〃€“），若对于任意的不等式凡..2"-17恒成立，则实数f的取值范围为.【答案】［-2,2］【分析】由"（--。”）=。“+"（"+1乂"€叱），得今•-2=1,所以勺=〃（〃-6）=5-3）2-9…-9,通过解不等式-9.・2/-17,即可得到本题答案.【详解】由〃（%+|-a“）=a“+”（〃+D（〃eN*）,整理得"。向+,等式两边同时除以〃（〃+1）得也;-5=1，所以［殳］为等差数列，且首项为-5,公差为I,所以"=〃-6,所以4=〃（〃-6）=（〃-3）2-夕..一9,所以一9..2/-17,解得-2都2,则实数，的取值范围［-2,2］.故答案为：-2,2］【点睛】本题主要考查数列与不等式恒成立问题的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，体现了转化和化归的数学思想.（2021•湖北省团风中学模拟预测）将〃2个数排成〃行〃列的一个数阵，如图：4 % ai3 ain••••••% 旬 a33 4"anl anl an3 Om该数阵第一列的〃个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的〃个数从左到右构成以机为公比的等比数列（其中加＞0）.已知卬=2,al3=a6l+l,记这个数的和为S.给出下列结论：①/n=3；②47=17x3，；③%=（3i-l）x3'-'；@S=-n（3n+l）（3"-1）.其中结论正确的是.（填写所有正确答案的序号）【答案】①©④【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出。中。61，列式即可求出，从而求出通项%,进而可得47，再按照分组求和法，每一行求和可得S,由此可以判断各命题的真假.【详解】Van=2>%=4|+1，2zn2=2+5m+l,解得，"=3或m=（舍去），①正确；二%=%• =[2+（i-1）x •3y-,=（3/-l）-3y,,③正确；当i=6,/=7时，a67=（3x6-l）x37-'=17x36,②不正确；%=（3/-1）-3'1,S=（《|+42+…+。|“）+（421+。22+…+生"）+…+（。"1+。"2+…+%”）「u（T）+%（T）+……+^12£）」（3“_1）,（2+3〃-1）〃」〃（3〃+D（3“_l）,④正确；1-3 1-3 1-32V' 2 4故答案为:®®@.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于｛〃"4｝型数列，其中｛%｝是等差数列，｛"｝是等比数列，利用错位相减法求和：（3）对于｛氏+£｝型数列，利用分组求和法；（4）对于｛三一｝型数列，其中｛4｝是公差为d（dxO）的等差数列，利用裂项相消法求和.（2021•广东顺德•高三阶段练习）已知数列｛4｝,4=1,%=2,且。,+2=。,+2x（-1）",则数列｛4｝的前100项的和为.【答案】150【分析】由题目条件可以得到。2“+2=，”+2,。2"+|=七”-1-2,进而得到。2”+2+出"1=。2"+。2”1，由此得出｛4+4+J是常数数列，最后求出答案.【详解】根据题意，a2”.2=a2“+2,a2,“=。2”「2（〃€?4*）所以。2“+2+%“+1=%”+咏1（〃6N*）,即｛%+1｝是常数数列，而q+%=3,所以｛凡｝的前100项的和为：3x5=150.故答案为：150.（2021•广东肇庆•模拟预测）已知数列｛。,,｝的前〃项和为，，且满足S.=2a“-1,那么£言一=1=1W+1127【答案】砺【分析】利用a,JjS“美系可证得数列｛4｝为等比数列，由等比数列通项和求和公式可求得a”,S“，由此可得,采用裂项相消法可求得结果.【详解】当〃=1时，E=2q-1,解得：4=1；当2时，&=S“-S“_|=2。“-1-2（_1+1=2&-2%,二。“=21；••・数列｛凡｝是以1为首项，2为公比的等比数列，."-21GWN*）,5"=咨=2"一1,1-2..4 2- 1 ''S„S„+1（2n-l）（2n+,-l）2U"-12n+,-lJ）；+；£+…+患__74=；1-74=糕,故答案为:果，1=1W+］幺1J3 ' '13 2—12~1/ 2\ 2-17255 255（2021•湖南•长郡中学模拟预测）如果数列｛%｝满足巧=2,勺=1,且也乜=—（〃22）,则这个an-\an%-数列的第2021项等于.【分析】由也二4=&工a（〃22）,化简得Z=_L+-L（〃22）,贝为等差数列，结合已知条件得“2021•a„.-a„氏一。、〜、一2 1 1【详解】由*―-=-~~3522）,化简得一=—十—（〃N2）,且4=2,%=1，an-\an %an-\。”+1得"〈，所以是以;为首项，以;为公基的等差数列，所以」-=,+2020"=1+2020x（；］=与，即出闻=焉故答案为：焉a202lat 2 \2J 2 20212021 2021【点睛】本题关键在于利用已知递推关系构造等差数列，进而求出通项公式.四、解答题（2021•福建•模拟预测）已知正项数列｛&｝的前〃项和为S“，满足S,,=；（（+，］.（1）求数列｛4｝的前〃项和s〃；（2）记9=［+［-+!+…证明：J〃+l-J】d203 3” 2【答案】（l）s.=6（2）证明见解析【分析】（1）根据4=S「Si，整理后S：-S3=l,根据等差数列的性质可知,；｝是首项为1,公差为1

的等差数列（2）先对十进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.（1）解：由题意得：卜21an）2号Sn-5„.,整理得S；-E"=l,由£=等式两边同乘2(S“-Sr),得2S；-2S“•S.m=S；+SA-2S「整理得S；-E"=l,由£=行S；=1,即｛S：｝是首项为1,公差为|的等差数列S；=",S"=痴：TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2 2 2Sny/n2y/n'y[n+yjn+12>[ny/n+ -1,_1 1 1 1 2 2 2 2京4京乐+…+G+G=2（发-1+6_0+4_百+…+ ）=2（V^m_l）・・.7；,>2（Vw+I-l）,/111 1 2 2 2 21= 1 1 H 1 <—d--7= 1--产 -H 1--j= .StS2S｝Sn1V2+1V3+V28+4^=2^1+>/2—1+5/3--72H 1->[n—■Jn—l'j=2>/n,Tn<2y/n,综上可证：-Jn+l—1<—<a/h.2（2021•上海嘉定•一模）某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，/（〃）为第1年至此后第年的累计利润（注：含第〃年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当/（〃）为正值时，认为新产品赢利.（1）试求/（〃）的表达式；（2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.【答案】（1）/（〃）=2《）-n-5（neN*）（2）该新产品将从2029年开始并持续赢利，理由见解析【分析】（1）由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求和公式求解出累计收入，从而表示出/（〃）；⑵由（1）可得+ = -1,根据/（”+1）-/（〃）的正负判断出/（〃）从第4项开始单调递增，再判断/⑴,/（8）,/（9）的正负,从而判断出该新产品将从第9年开始并持续赢利.（1）由题意知，第1年至此后第"（〃eN"）年的累计投入为4+（〃-1）=〃+3（千万心.

设第〃年的收入为4,前"年的累计收入为E,,由题意得q=g,。的=a.x(l+25%)=所以数列｛4｝是以：为首项、以;为公比的一个等比数列，则有a“=g(?)(千万元),(千万元),所以/(〃)=s“一(〃(千万元),所以/(〃)=s“一(〃+3)=2即/(〃)=2cw-5(/?gN*V55〃=《+。2+…+<=-s4〃一5(千万元).(2)因为+〃一5(千万元).(2)因为+ -1.所以当"43时,/("+1)-/(")<0,即/(〃)单调递减,当〃24时，/(n+l)-/(n)>0,即/(〃)单调递增,又= /(8)=2仁)-8-5<0,〃9)=2停1-9-5>0,所以该新产品将从第9年开始并持续扁利.所以该新产品将从2029年开始并持续赢利.【点睛】解答本题的关键是，能将实际问题转化为等比数列问题求解，求解第二问时，需要判断/(〃)的单调性，此时可通过判断/(〃+1)-/(〃)<。(或/(〃+1)-/(〃)>0)进行判断，从而降低利用导数判断其单调性的难度.(2021•江苏•无锡市教育科学研究院高三期中)已知正项数列｛凡｝的前项积为且满足%=言系〃wN)(1)求证：数列,一技为等比数列；(2)若4+g+・“+4>10,求〃的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)111【分析】(1)利用前n项枳为题「中的条件变形消去见,得到3&「1=4，再利用构造法得到一曲=得到数列｛5-g｝为等比数列：(2)结合第一问的结论，得到。”的通项公式，然后进行放缩%=1-白>1-1,2求出囚+。2+…+卬>10，再结合a”=1-久内<1，得到《+%+…+40<10，综上，求出〃的最小值.(1)因为a“二^7，所以qq…“«n=TZT-j-T^-j-…-^―.,即7^7，乂一1 “「I"2-1 ”“-1 J/,-137；-13Tn-1

TT.I司理得=37]-137TT.I司理得=37]-137；-lTOC\o"1-5"\h\z37；-13&「1尸…7； 3&「1'因为%＞0,所以空＞0,所以得3&「1=&则3（a=1）=7＞：,因为当〃=1时，《=£，得4=3,所以不恒等卜0,2 2 以一I 3 2T1所以二即［北-〈］是首项为［，公比为:的等比数列，t_AJ〔2J 6 3“2则北即旧6+；T5•《)"+5 3”+1 2 2 21_1_11 1 q3"+i所以4+%+…+凡>//_1_1_11 1 q3"+i所以4+%+…+凡>//_2(-+—+•••+)=n-2 -1-31+~＞所以当〃=11时，q+勺+…+《|＞】。+\?＞1。，当〃=10时，/+。2+…+%o=+ 3^+1)<1°，所以〃的最小值为11.【点睛】数列与不等式相结合的题目，要充分使用数列的通项公式，要进行适当的放缩，而放缩的方法通常可以利用分离常数法，放缩为等比数列，或放缩为裂项相消法等，朝着我们熟悉的方向或者求和好处理的思路来进行.（2021•江苏如皋•高三期中）已知各项均为正数的数列｛凡｝，也｝满足4=2,4=4,且％,2,成等差数列，“，。小，be成等比数列.（1）求证：数列｛五｝为等差数列；（2）c„=—+—,记｛%｝的前an。〃+1〃项和为s.，若&＞：，求正整数k的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）7【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质列式，然后结合等差中项的定义变形，从而完成证明：（2）由等差数列通项公式求出2,再得见,用裂项相消法求和然后解不等式可得.(1)由题意知2”"，她+1，。“=也也(〃22),[DnDn+\-fl»+l*,,J4-1a+也+i=2"=>J"_|+J%=2yfi^, ｛扬^｝为等差数列.(2)由(1)知｛痴｝为等差数列，且附=/=4=9,二｛痣J首项为2,公差为1,...历=2+(〃-1”=〃+1,.•.仇=(〃+1)2,

nn+21由一出1=5+34-..•正整数人的最小值为7.（2021•吉林•东北师大附中模拟预测（理））已知数列前〃项和为，，且2，=〃（〃+1）,记£=（T）"2。”+1.⑴求数列｛与｝£=（T）"2。”+1.⑴求数列｛与｝的通项公式；⑵设数列圾｝的前〃项和为7；,求心叱【答案】（1）%="（"wN.)(2)7^02120232022【分析】（1）2S“二〃（〃+1）,令〃=1,求出S1,再结合“N2时，利用an=S〃-S〃t结合求出an,【分析】（1）2S“二〃和〃22时，验证《是否满足；（2）把。“的通项公式带入，中，化简，然后分离成两项之间的和的关系，借助前面的（-1）”进行抵消求和.(m+1),当”=1时，5,=lxlx2=l；当"22,当"22,〃eN*时，S“_|=g〃("1)，an=S“_S“_]=g〃当〃=1时也符合,(2)bn=(-l)n2an+1=(一(2)bn=(-l)n2an+1=(一1)77+1)n2+n+...-2021+2022一一2+2+3~3-4…一1---1-=-1202120221 20232022 2022（2021•天津静海•高三阶段练习）设等差数列｛%｝的首项为％=1,它的前10项和为凡二55,数列出｝成等比数列4=%,%.⑴求数列｛4｝与也｝的通项公式：（2）设7；是数列偿的前〃项和，求证:k=\31 3【答案】(1)%=〃，或=3"：(2)证明见解析:(3)-( -)(3W-1).2n〃+1【分析】（1）由已知，结合等差数列前"项和公式、等比数列通项公式求基本量，进而写出｛a“｝与｛，｝的通

项公式；⑵由（1）得q噜寸，应用错位相减法求q,即可证结论.-1 1 3（3）首先求得一2=-—-：,再结合等比数列前〃项和公式求Z4,即可得结果.⑴由题设，若｛4｝的公差为d,则$=10q+45d=55,而q=l,可得4=1,...%=〃，又4=%=3,b?=。9=9,若也｝的公比为0，则%=9,故g=3,.•"“=3".综上，%=",b"=3".TOC\o"1-5"\h\z小人，“一〃eit1 2 3n1_ 1 2 3 〃-1n(l)^cn=-=—,则7；=§+*+亨+...+诃，故］北二正+亨+？■+…+丁+产'.211 1n1 1n.=3+/+…+F-诃=5(1一踵)-诃，〃eN.fl2・3”3+2fl2・3” <一4・3” 4»=且=.一卫=2.d--L).(L-L)」—二,anan+ln(n+\)n(n+\)〃(〃+l)n〃+lnw+1n〃+l4=1重难点02三角函数与解三角形命题趋势新高考中，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。满分技巧1、三角函数的图象与性质1、已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律''同增异减"：②求形如尸Zsin(tox+0)或尸4cos(tox+0)(其中，(o>0)的单调区间时，要视“5+勿”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0<0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.2、求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为尸4sin(3x+°),尸4cos(cox+0)，尸4tan&x+w)的2兀 27T 兀形式，再分别应用公式T=V~\'4「求解.囱 \a)\ |创3、对于函数尸/sin(qx+夕)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线E0或点(xo,0)是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验/(xo)的值进行判断.jr4,若/(x)=4sin(<ox+0)为偶函数，则0=E+,*eZ),同时当x=0时，/(x)取得最大或最小值.若f(x)=Jsin(cox+p)为奇函数，则ip-ku(keZ),同时当x=0时，f(x)=0.2、利用正、余弦定理求边和角的方法(1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置.(2)选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.3、求三角形面积的方法：1）若三角形中已知一个角（角的大小，或该角的正、余弦值），结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解.2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.热点解读热点1、新题型的考查（1）以数学文化和实际为背景的题型：（2）多选题的题型：（3）多条件的解答题题型。热点2、与其它知识交汇的考查（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。A卷（建议用时90分钟）一、单选题（2021•上海虹口•一模）设函数/（x）=asinx+6cosx,其中h>0,若/（x）4对任意的xeR恒成立，则下列结论正确的是（ ）A. B./（x）的图像关于直线方，对称C./（X）在半号上单调递增 D.过点（a,6）的直线与函数/（X）的图像必有公共点【答案】D【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的4图象和性质判断答案.【详解】由题意，f（x）=asinx+bcosx=y/a2+b2sin（x+ »tan,而函数在x=?处取得最大值，所

以7+9=]+以7+9=]+2%乃(％wZ)=>9=?+2%;r(左eZ),所以/(x)=J/+从sin7TX+—tan(p=，=\na=b,则/(x)=0。sin(a>0).“Am.（兀3V2.C7T乃）1y/2V3V26+娓rm/吟/吟a.口对A,因为sin—+-=sm-1=—<sin—+—=-x—+—x—= ,即/—<--♦A错1天;^） 4 2 （64j22 2 2 4 \2J<6；对B,因为sin（今+?）=sin;r=O,所以B错误；对C,因为x+£w ,所以函数在f,当上单调递减，所以C错误；对D,因为/（X）的最大值为缶，而6=a<&a，所以过点（。力）的宜线与函数f（x）的图象必仃公共点,D正确.故选：D.（2021•广东•珠海市第二中学模拟预测）已知A为锐角”8C的内角，满足sin/-2cosZ+tan/=l,贝ijNeA.(0,》 B.(/1) C.G，y) D.6,y)6 6 4 4 3 3 2【答案】c【分析】设/(x)=sinx-2cosx+tanx-l,则/(4)=0,根据零点存在性定理判断零点所在区间：【详解】解：A为锐角的内角，满足sin/-2cos/+tan/=1,设/(x)=sinx-2cosx+tanx-1,即/(4)=sin/-2cos/+tanZ-1=0,xe(。,'),贝I」函数在(0,/)上为连续函数，又^=5皿、在上单调递增，y=tanx在(0,1)匕单调递增，V=cosx在(0,1)上单调递减，所以/(x)=sinx-2cosx+tanx-l在(°，、)上单调递增：TOC\o"1-5"\h\z在(0,g)中取x= 得/(—)=sin—-2cos—+tan—-1= ,2 4八4 4 4 4 2在(0,工)中取色，得/(二)=sin工-2cos三+tan工= /(0)=sin0-2cos0+tan0-1=-3,4 6 6 6 6 6 2r,式、 ,7c冗兀、3^3-4八.，不、，尸.A产刀\44r出万f(—)=sm 2cos—4-tan1= >0»・/(：)/(=)<0，.故选：C.八3 3 3 3 2 4 3 43(2021•江苏盐城•高三期中)若函数y=sin2x与y=sin(2x+g)在(0,；)上的图象没有交点，其中夕€（0,21），则租的取值范围是（乃2肛乃2肛4江2巴/\

C.H0D.【答案】A【分析】利用三角函数图象的平移即可求解.【详解】解：y=sin2x是周期为万的正弦函数,y-sin(2x+^?)=sin2,cpe（0,2万）是由y=siny-sin(2x+^?)=sin2①当0卷\①当0卷\时，如下图所示,此时函数N=sin2x与y=sin（2x+（p）在上有交点，不符合题意②当卜］时，如下图所示此时函数）=sin2xij），=sin（2x+g）在（0,力上无交点，符介题意③当I<六"，如下图所示此时函数V=sin2x与y=sin（2x+8）在„上无交点，符合题意综上所述，|<^<^,万40<2方故。的取值范围是［肛2%）故选：A.【点睛】本题的关键是通过对三角函数平移的过程利用数形结合找到相交的临界位置.（2021•广东佛山•模拟预测）sin400（tanl00-V3）=（ ）A.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】D【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.

【详解】sin40。•1an10。-6).…zsin10°爪=sin40°( 73)cos10°.“c。sinl0°->/3cosl0o=sin40 cos10°2(-sin10°——cos10°)=sin40°•—Z 2 cos10°_4002(cos60°-sin10°-sin60°•cost00)cos10°=sin4。。•空空空空cos10°-2sin50°cos10°称其为角a的余切.在锐角三角形48C中，角4氏C所对的边分别为称其为角a的余切.在锐角三角形48C中，角4氏C所对的边分别为b,c,若满足a+2acos8=c,A.r*2B.(1,2)则cotA-cotB的取值范围是【答案】C【分析】根据正弦定理结合三换化简得到3=24,根据角度的范围得到sin5e（»J）,化简得到cotZ-cot8=-1,得到答案.sinB【详解】因为a+2acos8=c,根据正弦定理得sin/f+2sin/cosB=sinC,由sinC=sin(4+8),sinJ+2sinAcosB=sinJcos5+cosAsinB.即sinJ=sin(8-N),三角形为锐角三角形，可得/=8-4,即8=2/,所以710<B<-20＜九一所以710<B<-20＜九一4一5＜一I 2,可得可得sinB£(―^/)，所以一-—e(1,

3 2 2 sin8e,ccosJcos8sinBcosA-cosBsinAsin(B-X)sinA1则cotJ-cot5=- ;——= : ； =:--= :-="——,sinAsinBsinJsinBsinJsinBsinJsinBsinB所以cotA—cotB 2f1.故选：C.(2021•四川•绵阳中学实验学校模拟预测)某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△尸的顶点尸在半径为20m的大。。上，点N在半径为10m的小。。上，点O,点尸在弦MTV的同侧.设NMON=2a(0<a<|o,当a