切线问题 练习题（解析版）

专题22切线问题一、单选题（2021•云南红河•高三月考（理））下列关于三次函数/（xXar'+bY+cx+dSwO）（xeK）叙述正确的是（）①函数/（幻的图象一定是中心对称图形；②函数/（x）可能只有一个极值点；时，，（x）在x=x。处的切线与函数y=/（x）的图象有且仅有两个交点；时，则过点（%，/（%））的切线可能有一条或者三条.A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】A【分析】根据对称中心的性质，导数与单调性，导数的几何意义求解后判断.【详解】, b ①/'（x）=3or+2hx+。的对称轴为X=-h的轴对称图形，所以/（X）=OT+6厂+ex+d必定是中心对称图3a形，且对称中心为,卷,所以①正确：（或者可用/[-捺+*]+/]-57）=2/1一1^]证明）②由于函数/（X）的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；③设切点为（%，/（%））,〃/）=*+版+/+",斜率k=/'（%）=3o^+2Z%+c,切线为y-/（x0）=/c（x-x0）,所以（渥+虑+cx+d）-（渥+bxl+cx0+d^=（x-%）（3ar：+2bxo+c）,化简得：^一七兴奴+孙+为=。，,x=x0或者x=-网产，所以当%=-注心时，即毛=一,时，切线与/（x）有唯一的交点，当与X-二时，切线与/（x）有两个不同的交a 5a 5a点，所以③正确；④过点（%,〃与））的切线的切点不一定是■，“％））,设切点为（不〃3）），则切线方程为y-/（xJ=r（xJ（x-X1）,因为（％,/（%））在切线上，所以/（X。）一= ，将/（天）=渥+4+5+d,/（xj=or：+如2+6]+d,f（X））= +2bx1+c代入/（%）-/（%）=/（%）（七一为）化简可得：（3-%）2（叫+2叫）+6）=0,.•.%=%或者占=-25+”,所以当人>=-初立也时，即与=-,时，切线只有一条，当及时，切线有两条，所以④错误；a 3a 3a故选：A【点睛】本题考查导数与函数的对称性的关系，考查导数与极值，考查导数的几何意义，解题中难度较大.特别是求切线方程，计算难度很大，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，本题属于困难题.(2019•江西•南昌二中高三月考(文))若函数/(x)=x2+l的图象与曲线C:g(x)=2a-e'+l(a>0)存在公共切线，则实数"的取值范围为A.(0,司 B.C.9收)D.住,+8)【答案】A【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a的范围，即可.【详解】设函数f(x)的切点为&，k+1)，该切线斜率％=2玉,，所以切线方程为V=2v-x02+1,g(x)的切点为(X，2ae"+1),所以切线方程为+1,由于该两切线方程为同一方程，利用待定系数法，可得2x0=2aeXl,-x02+1=-2aex'x]+2aex'+1,解得.v0=aeX},x0=2x1-2得到新方程为2x-2=ae'7 2构造函数Mx)=e1(x)=£(x-1)解得，=,(》-1),表示〃(*)与，")存在着共同的交点,而/(6过定点(1,0),得到人(力过(LO)的切线方程，设切点为卜2，淖),则y=e"(x-l),该切点在该直线上，代入，得到*=/仇-1),解得<=2,所以直线斜率为Z=e?,要使得〃(可与«x)存在着交点，则A=e2w2,结合々>0,所以a的取值范围为(0,4,故选A.【点睛】本道题考查了利用导数计算过曲线一点的切线方程，关键掌握好曲线上的点的切线方程计算方法，难度偏难.(2021•江西•高安中学高二期中(文))已知函数了=『的图象在点处的切线为/,若/也与函数y=lnx,xe(0,l)的图象相切，则方必满足A・O<Xo<g B.-<x0<1C.—<x0<s/2 D.叵<飞<有【答案】D【详解】函数y=』的导数为y'=2x,图像在点(%,与2)处的切线的斜率为&=2x°,切线方程为y-x02=2x0(x-x0),即y=2x0x-x：,设切线与y=lnx相切的切点为(/n,ln.),0</n<l,由y=Inx的导数为歹=」，切线方程.VTOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2为y_lnm=—(x-m),即y=—x-\+\nm,/.2x0=—,x0=l-\nm.m tn m1 匕 7由可得毛>5,且与.>1,解得%>1,消去加，可得与-ln(2xo)-l=O,令/(x)=x2-ln(2x)-l,x>l,f\x)=2x-->0,x〃x)在(I,+00)上单调递增，且/(&)=2-ln2应-l<0,/(>/3)=3-ln2>/3-l>0,所以有x。?-ln(2x0)-l=0的根不€(&,/),故选D.(2021•江苏如皋•高三月考)已知。为坐标原点，过曲线C：y=lnx(0<x<l)上一点尸作C的切线，交x轴于点A,贝LAOP面积取最大值时，点尸的纵坐标为( )A. B.苔型C.-JLtlD.-e2 2 2【答案】C【分析】先将aAOP的面积用P点坐标表示出来，再利用导数求出aAOP面积为最大值时P的坐标，进而得出答案.【详解】解：设点P的坐标为(毛,In%)y'=一，当x=x。时，<=—X 玉).1,、•.切线方程为yTn/=：(x-Xo),令y=。，得入0•・•点户的坐标为(%-%ln%,0)v0<x<l,aInx0<0\40P=|x|Inxo|x(Ao--xolnAo)=-1,nxo(Ai)-^)lnxo)=-1roln^o+1-ro(In-ro)2令g(x)=一；%In/+ix0(ln^j)2g'(x)=-J%•:—Jin%+:(111%)2 -2x0-21nx0=i(lnx0)2+^lnx0-i/>人f)4 4 4 J J J令f=ln%,(r<0),%)=y+；"；=0解得，尸斗叵>0(舍去)，，2=士"z 2.・•/⑴在|—,士|好)单调递增，在［二空，o］上单调递减••.当ln%=色萨时，g(x)最大，即aAOP面积最大故点户的纵坐标为士正.2故选：C.【点睛】关键点睛：求复杂函数的最值时，通常利用导数求出函数的单调性以及单调区间，必要时，需要利用换元法进行处理，进而得出函数的极值或最值.(2021•全国•高二单元测试)若过点(。力)可以作曲线N=e、的两条切线，贝IJ()A.eh<a B.eb>a C.0<a<e* D.0<b<ea【答案】D【分析】结合已知条件，利用导数的几何意义将问题转化成函数的交点问题，然后通过构造新函数，并求出新函数的单调区间以及最值，利用数形结合的方法即可求解.【详解】设切点■，%),%>°,因为y=e、，即y'E,=e*,则切线方程为y-b=e'v(x-a),yn-h=ex° r, 、，得铲（lf+加"则由题意知，关于工的方程/，(1-%+〃)=6有两个不同的解.设/(x)=e"(l-x+a),贝ij尸(x)=e*(l-x+a)-e*=-e*(x-a),由f'(x)=O得x=%所以当x<a时，r(x)>0»/(x)在(—,a)上单调递增；当x>a时，r(x)<0,/(x)在3,伊)上单调递减，所以f(x)的最大值为f{a)=e"(1-a+a)=e">0,当x<a时，a-x>0,所以/(x)>0,当xf-8时，y(x)->0；当x->400时，/(x)fYO,故/(x)的图像如下图所示：0|~1-r-?故0<b<e".故选:D.(2021•广东荔湾•高三月考)已知函数f(x)=(k+Jlnx-x+g,%«4,y),曲线y=〃x)上总存在两点N(w，%),使得曲线在“，N两点处的切线互相平行，则占+》2的取值范围为( )A.(E,+sjB.(1，司 C.[*+8)D.[£，+(»)【答案】A【分析】4求得了(幻的导数八幻，由题意可得广储)=/'。2)(内，^>o,且“尸与)，化为(5+9)=/+7况占，因此k

X+X,X+X,> 1urA八3对"14,功都成立，令g⑹…口*”+%利用导数研究其最值即可得出.解:函数/（力=1+£|Inx—解:函数/（力=1+£|Inx—41 1,导数八刈=伏+丑 7-1.kxx"由题意可得/'（占）=广（与）（为，七＞o,且演*三）.4 4c1rtkT—〔 kt—«即有—L_±_1=_,2 2\x,x2Xj4化为a+电）=伏+7）%乂,k而小与＜（1匹）2,a+%）＜伏+t）（~2 ，4化为不+毛〉三对％e[4,y）都成立，I令g（«）=k+。,在34,内）单调递增，k4.•.^+-＞5,当且仅当％=4取得等号，4 4二声§，k"+七＞[,即占+占的取值范围是]1,+8故选：A.（2021•山东胶州•高二期中）若函数y=f（x）的图象上存在两个不同的点A8,使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，称函数y=/a）为“自重合”函数.下列函数中是“自重合”函数的为（）B.y=e"B.y=e"+1D.y=x-cosx【答案】D【分析】切线在两点处切线重合，先保证在不同点处导数相同，则A,B错误，导数相同的情况下，确定切线相同,故C错误；D选项中，能够找到导数相同，且切线相同的两个点，所以正确【详解】若曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，首先要保证两点处导数相同;A选项中，y=』+1;B选项中，y=e*;X导数为单调函数，切点不同时，导数值不同，所以切线不可能重合，所以A8错误；C选项中，y=3/,若斜率相同，则切点为和（一与,一与3）,代入解得切线方程分别为：y=和y=3xo2x+2x；,若切线重合，则%=0,此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；D选项中,y'=l+sinx，令d=l+sinx=l得：*=%肛（左w2）,则有点（0,-1）,（2^,2万一1）,切线分别为y=x-\和N=xT,存在不同的两点使得切线重合，故D正确故选：D【点睛】题目是新定义的题型，本质是求不同两点处的切线，保证切线相同，所以可以先保证斜率相同，在斜率相同的情况下，求出切线所过的点，写出切线方程，保证方程相同（2021•四川•射洪中学高二月考（文））已知函数〃"=尸+加+1的图象在x=l处的切线与直线x+3y-l=0垂直，若对任意的xeR,不等式/（力-右20恒成立，则实数&的最大值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】由题意得了'⑴=3,可求得”=1,从而可得/（1）=01+/+1,则对任意的xeR,不等式〃x）-hN0恒成立，分x=0,x>0,x<0三种情况通过分离变量转化为最值问题分别求得k的范围，最后取交集得上的范围，进而可得k的最大值.【详解】由/（》）=61+加+1,得r（x）=ei+2or,因为函数/（力=尸+加+1的图象在》=］处的切线与直线x+3y-l=0垂直，所以/'⑴=3,则。=1,所以〃x）=e，T+x2+l,对VxeR,/（x）-H>0gpet-1+x2+l>fcv,①当x=0时，显然keR.TOC\o"1-5"\h\zx-1 2 ।②当x>。时，+'+1恒成立.X人〃\ +1 (x-l)(er-1+x+l)令/?(x)= ,贝心，⑺二—— L.X Xx>0时，e*T+x+l>0恒成立.所以当x>l时，"(x)>0,〃(x)单调递增；当0<x<l时，〃'(x)<0,〃(x)单调递减，所以〃(x)在(0,也)内的最小值为久1)=3,故氏43.et-14-r24-1③当x<0时，出2二二恒成立.x当x<0时，显然人("=士子出<0,由②知，因为x-l<0,所以由"(x)=0得ei+x+l=0.令zn(x)=e*T+x+l,显然巩x)在(-oo,0)单调递增，又皿-2)=e--1<0,/n(-l)=e2>0,所以存在/e(-2,-1)使得加(x°)=0,即b+xo+l=O.当x<x()时，m(x)<0,h'(x)>0,Mx)单调递增；当Xo<x<O时，m(x)>0,h'(x)<0,4(x)单调递减，所以Mx)在(-oo,0)内的最大值为一~+A|1+，=~A|)+A"-=x0-1e(-3,-2),故.综合①②③可知为-14%43,故实数k的最大值为3.故选：C【点睛】方法点睛：在处理有关恒成立问题时，经常通过分离变量转化为最值问题.9.(2021•江西•模拟预测(理))已知函数〃x)=lnM—nr+l(m>l),/(力是其导函数，若曲线)，=/(x)的一条切线为直线/：2x-y+l=0,且Va«0,l),be[\,2],不等式”>1114+/(6)恒成立，则实数，"的取值范围为()A.(2,4<») B.[2,+oo) C.(e,+o>) D.[e,+oo)【答案】C【分析】通过切线方程求出切点横坐标玉=5,令g(x)=m-lnx并讨论它的单调性得出8(力.而=1+血〃；讨论/'(X)单调性并得尸(x)a=3-，<l+lns,令/7(〃?)=：+ln机-2并讨论其单调性得出/z(m)>0,解出”的取值范围.【详解】设切点为优,%),故%=2xo+l,而/(x)=2-〃，尸(毛)==-〃，故/(%)==-〃=2,故与=」，X % xo 〃+2e fji故叫)=1-2%，因为In叫-叫)+1=2与+1,故In出>=1,故叫=e,故.％=一,故一=〃+2；令m eg(x)=mr-lnx,故对任意Va«O,l),be[l,2],ma>\na+f'(b),只需[g(x)L>[/(初皿，而g'(x)=/n-L史」，令g(x)=O,解得x=_L,故当xe(0」)时,g[x)<0,当xe化|时，g'(x)>0,故g(x)Ng(《J=l+ln/n,即gGj刖T+lnm；因为1(x)=1-〃在[1,2]上为减函数，故/'(x)max=f。)=1一"=3-：，贝l]l+1ns>3-：，即：+ln/n-2>()；^h(m)=^+\nm-2,易知"(m)在(L+oo)上单调递增，所以〃(e)=0,所以〃(〃?)>0,故实数”的取值范围为(e,+oo),故选：C.【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若/(x)2。或g(x)4a恒成立，只需满足/(初加2。或g(x)a4a即可，利用导数方法求出fM的最小值或g(x)的最大值，从而解决问题；⑵把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.(2021•全国•高二专题练习)函数/(x)=or+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数"的取值范围是()A.{0,1} B.{0} C.[0,1) D.[l,+oo)【答案】B【分析】求导，由导函数的几何意义和直线垂直的条件可得方程/+(cosx+cosx,)a+cos^cosj^+l=0一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项.【详解】因为/(x)=or+sinx,所以f(x)=a+cosx,因为函数/(x)=or+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，所以不妨设在x='和、=三处的切线互相垂直，则(a+cosx,>(a+cosw)=-l,即/+(cos%+cosw)a+cos芭cosj^+I=0①，因为a的值一定存在，即方程①一定有解，filrA=(cosx,+cosx2)2-4(coscosx2+1)>0,即(cos%—cosjc2y>4,解得cos±-cos/22或cosX|-cosx?<-2,又18sHs1,所以有COSX1=1,COSX2=-1或COSX|=-Lcosx2=1,A=o,所以方程①变为4=0,所以a=0,故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查导函数的几何意义，关键在于根据直线垂直的条件将问题转化为方程有解，再由根的判别式和余弦函数的值域得以解决.(2021•全国•高三专题练习)若曲线/(x)=alnx+(a+l)x2+l(aeR)在点(1J⑴)处的切线与直线7x+y-2=0平行，且对任意的再,々e(0,+oo),再二七，不等式/(大>由后-xj恒成立，则实数m的最大值为()A.6 B.2也 C.4月 D.5石【答案】C【分析】由函数解析式得/'")且定义域为(0，也)，结合已知有尸⑴=-7求a值，进而可知/(x)的单调性，根据已知不等式恒成立，令占>%>。易得/(%)+做2>/(菁)+〃6恒成立,若8(*)=/(司+/71">0即有8'(力40,结合基本不等式即可求m的最大值.【详解】f'(x)=-+2(a+\)x=2(^1U2—,定义域为(0，xo),又/'⑴=一7,2(^-1)—=-7,可得a=-3.A/(x)=-31nx-2x2+l,K/V)= ~3<0,故在(0,+?)内单减.不妨设%>%>。，则/(5)</优)，由|/(xJ-/(W)|>向为一百/(x2)-/(x1)>?n(xl-x2),即/(毛)+3>/(%)+，加1恒成立.令g(x)=/(x)+，nx,x>0,则g(x)在(0,+?)内单减，即g'(x)40..•.g'(x)=f'(x)+m=：-4x+，〃40(x>0),而^+4x24后当且仅当'=当时等号成立，m<4-73•故选：C.【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义及两线平行求参数a,进而判断函数的单调性，再根据不等式恒成立，将其变形并构造新函数且可知其单调性，利用导数的符号求参数m的最值.TOC\o"1-5"\h\z(2021•全国•高三专题练习)若直线y=^+6是曲线y=*2的切线，也是曲线丫=--1的切线，则k+b=( )A-ln2 l-ln2 Cln2-l ln2A. B. C. D.—2 2 2 2【答案】D【分析】设出两个切点坐标，求得两个曲线的导数，根据导数的几何意义可得切线方程，联立方程可分别求得答案得选项.【详解】设曲线y=e—上的点P(X|,y),y'=e"2,%=e-；曲线y=e*-l上的点Q(孙必),y=e\玲=泮;/1：y—cx'~x+~_xq*'-, 1,：y=e'"x+e”,_1_/e"|>一2=产，"x2=-ln2[ex'-2-x]e''-2=eX2-x2eX2-\一故选：D.【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数的几何意义，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点4(/，/(%))求斜率k,即求该点处的导数女=/'(不)；(2)己知斜率k求切点小%,〃%)),即解方程/'&)=%;(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点，设出切点A(玉))，利用女=咐二/㈤=)求解.x一小(2021•福建•泉州五中高二期中)若函数了=奴+〃为函数/(x)=1nx-‘图象的一条切线，则勿+匕X的最小值为()A.In2 B.In2-- C.1 D.22【答案】B【分析】求得了(x)的切线方程，由此求得2a+b的表达式，利用导数求得2a+8的最小值.【详解】设点(修，110-十)是函数“X)图象上任一点，其中%>0,/(x)=：+3，f(%)=}+[,所以过点I七,、/一■的切线方程为y-In^o=•+-t\x-jco)»\xoJ kJ\-^i)xoJ即'=|'+[xT +1叫，1/玉)J玉)I21故〃=—+-+111与%%与2a+b=—；—1+Inx0(x0>0),%构造函数g(x)=4-l+lnx(x>0),g，(x)=-3+'=七^X XXX(x+2)(x-2)=、•所以g(x)在区间(0,2)上g(x)<0,g(x)递减，在区间(2,XO)上g(x)>0,g(x)递增，所以g(x)在区间(0,十动上的极小值也即是最小值为8⑵二百一1+姑2=1。2-5，即为+b的最小值为ln2-；.故选：B【点睛】本小题解题关键是将“，人表示成％的形式，然后利用导数求得2〃+b的最小值.14.(2021•山西•灵丘县第一中学校高二月考(理))已知曲线G：f")=xe'在x=0处的切线与曲线G：g(x)=@^(aeR)在x=l处的切线平行，令〃(x)=/(x)g(x),则心)在(0,+8)上( )xA.有唯一零点 B.有两个零点 C,没有零点D,不确定【答案】A【分析】先对函数〃x)=x"和=求导，根据两曲线在x=l处的切线平行，由导数的几何意义求出“，得X到函数/?(x)=/(x)g(x)=e'lnx,对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在(。,+功上的最值，即可确定函数零点个数.【详解】=r.r(x)=(l+x)e*,又心)-色吧"s-'(x}-a~alnX由题设知，/'(0)=g'⑴，即(1+0)/=伫券,：.a=\,InV贝ij〃(x)=/(x)g(x)=xe'--^=e*lnx,・•・/(x)=e，lnx+〈=GEx+l)g,*>0,X X令zn(x)=xlnx+l,x>0,贝Ij〃z'(x)=lnx+l,当时，/n(x)<0,即函数m(x)=xlnx+l单调递减；当时，m(x)>0,即函数"(x)=xlnx+l单调递增；...在(0,+8)上加(X)的最小值为机(；)=1-：>0,.,ezn(x)>0,贝|J〃(X)>O,在(0,切)上单调递增,且M1)=o.〃(力在(0,+8)上有唯一零点，故选：A.【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.(有时也需要利用数形结合的方法进行判断)(2021•北京•临川学校高三期末)已知函数八x)=4(A+?)lnx+匕三，林[2,同，曲线y=〃x)上kx总存在两点N伍,%),使曲线y=/(x)在M,N两点处的切线互相平行，则为+%的取值范围为()TOC\o"1-5"\h\zA.(|,+8) B.(同 C.]|,+8) D/同【答案】B【分析】121 1 、 2由题设可知八此二一二+4伏+丁)・一一1且内(0,内)，令，=一即总存在g⑺=一/+4伏+7)/-1=根在(0,+00)kx x k1 1 2上有两个不同的解L=—=G=一,则％+，2=4(k+7),利用基本不等式求为+超的范围即可.芯 x? k【详解】| 21 1由题设，r(x)=--y+4伏+7)--1且xe(0,+oo),令/=一w(0,y),x kx x要使y=/(x)上总存在两点m(x，x),'伍,月)，使曲线y=〃x)在m，n两点处的切线互相平行，g(t)=f'(x)=-t2+4(k+\-l,tt=-*^2=—,k 为 ”22.,.在(0,y)上总存在g(r)=机有两个解分别为L、G,而g⑺的对称轴r=2伏+不)，k故…2=3F=4伏+，而中2<空立，Xj人1 K 4...2+a=4(2+])>——整理得、+】> 2,k«2,+00)上&+算[3收)，中2 k为+为 k+-L7k

xy+x2>q即可.故选：B【点睛】TOC\o"1-5"\h\z1 c ?关键点点睛：由题设求/(x)及定义域，令/=一€(0，+8)有8«)=-/+4(*+7)/-1,结合已知条件：总存在x kc 1I 2gQ)=加在(0,xo)上有两个不同的解。=一j=一,即乙+。=4伏+：),应用基本不等式求为+七范围.(2021•全国•高三专题练习)已知函数+ 曲线y=/(x)在点(3,/(8))处与点(七，/(七))处的切线均平行于*轴，则为+W+X毛+〃占)+/优)的取值范围是( )A. oo,———2In2^ B. —21n2,——21n2^jC.11-21n2,+8) D.(-：-21n2,+oo)【答案】A【分析】本题首先可根据函数/(x)解析式得出尸(x)=ax-a+1=柜二"然后根据题意得出演、々是方程取?-以+i=o的两个不相等的正根，即可得出占+工2=1、占以及。>4,再然后令ah(a)=x}+x2+x]x2+f(x})+f(x2),通过转化得出〃(a)=-；a-lna+[,最后根据函数〃(a)=-ga-lna+：的单调性即可求出取值范围.【详解】因为函数f(x)因为函数f(x)=-ar2-ar+lnx2所以定义域为(0,+8),f'(X)=ax~a+-=ax2~aX+lX X因为曲线y=〃x)在点a，/a))处与点(々j(w)处的切线均平行于*轴,所以为、X?是方程ax2-ar+l=0的两个不相等的正根，xt+x2=l,xtx2=-,a-4ci>0则,解得。>4,->o令〃(4)=与+吃+占%+〃％)+/(9),贝l]/?(a)=14 F—tW1~—ciXy+In%)4--ux^—ux,+Int1 f115g2 1, 1=1+—a+ln-+—a摄—=a・lna+—,aa2粉〃 2a易知〃(a)=-ga-Ina+2在(4,*o)上是减函数，2a故网a)<-1-21n2,%+七+%玉+/(%)+/(々)的取值范围是(Y,-t-Zlnz),故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查导函数性质的应用以及利用函数单调性求取值范围，能否将大+毛+石玉+/(占)+/(W)转化为-；a-lna+：是解决本题的关键，若切线与x轴平行，则切点处的导函数值为0,考查计算能力，是难题.TOC\o"1-5"\h\z(2021•全国•高二单元测试)已知函数f(x)=2x'+ax+a.过点M(T,0)引曲线C:y=/(x)的两条切线，这两条切线与y轴分别交于5,3两点，若则f(x)的极大值点为( )a 30 03加 0 瓜 n#A. D. L. D.4 4 3 3【答案】A【分析】设切点的横坐标为/,利用切点与点M连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率，利用导数建立有关f的方程，得出，的值，再由四得出两切线的斜率之和为零，于此得出"的值，再利用导数求出函数y=〃x)的极大值点.【详解】设切点坐标为(。，2?+。+勾,-/y'=6x2+a,.\6r+a=2' ~»即4户+6产=0,解得，=0或f=_g.；|A44|=IM，.••外皿+了匚广。，即2a+6x(_j=0,贝1]。=-?,尸(x)=6x2-?.当x<一逑或x>逑时，r(x)>。；当-逑<*<迈时，r(x)<。.故4 4 4 4 4 4“X)的极大值点为一季.4【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题.(2021•安徽•阜阳市颍东区衡水实验中学高二月考(文))已知曲线y=£在x=为处的切线为1，e曲线y=lnx在处的切线为“，且/山2,则-马-王的取值范围是( )A.[g] B.(F-1)C.(-oo,0)D.[f]【答案】B【分析】求出两个函数的导数，可得用=上半，玲=,，根据可得X2-x=0-x-x,>l,构造函数e1x2 e1/z(x)=丁-X,X>1,通过求导数，判断函数的单调性，进而可得〃(力的取值范围为(yo,T),即可得出结果.【详解】令f(x)=5，g(x)=lnx,1—V* 1 1—.V则r(x)=1-,g'(x)=-,所以匕=—^,k2=—,€ X € ^2[一X] y_1因为/l，/：:,故不所以％=-41，x因为W>。，故玉>1.又£一X=:一一X，令/z(x)=J!-x,x>\,ex贝匹卜子1="衿，当xe(l,+oo)时，y=2-x-e*为减函数，故2-x-e、<2-l-e'<0,所以〃(x)<0在(L+oo)上恒成立，故人(同在(1,内)上为减函数，所以〃(x)<〃(l)=T,所以〃(x)的取值范围为(f,T),即*2-％=千1-占的取值范围为(yo,-1)故选：B.【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.二、多选题(2021•海南•海口中学高三月考)如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里/小时.上述问题转换成数学语言：f(x)是距离关于时间的函数，那么一定存在：八?二(叽八c), 就是c时刻的瞬时速度.前提条件是函数在［a,同上连续，/(x)在(46)内可导，且a<c<尻也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是竺必b-ar(c)是与割线平行的一条切线，与曲线相切于c点.已知对任意实数内,工2《a3),且为>马，不等式/(%)一/(工2)<%(%-工2)恒成立，若函数/(x)=2x2—-n为，则实数人的可能取值为()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】CD【分析】根据题意，问题转化为氏N/'(x)在xe(l,3)上恒成立，进而通过分参和构造函数得到答案.【详解】由已知/(%)-/(毛)<%&-毛)，%>%恒成立，可得在x«l,3)上恒成立.因为『(x/Zr2-Alnx,L L Ar2 4所以r(力=41-勺，所以4x—*«攵，即竺整理得4(x+l)+---8<*①.X X x+1 x+1因为xe(l,3),所以x+l«2,4).令r=x+l,则fe(2,4),①式化为4r+；-84%.记g")=4f+：-8,f«2,4),8()=4卜_讣4(，+?(—)>0,所以g(r)在(2,4)上单调递增，所以g(/)e(2,9),所以k29,故选：CD.【点睛】关键点睛：在证明恒成立问题时，构造函数利用导数求函数最值是解决问题的关键.(2021•全国•高二课时练习)已知函数f(x)=/,g(x)=ln5+；的图象与直线V=加分别交于A、8两点，贝IJ( )A.|A却的最小值为2+ln2B.热?使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在8处的切线c.函数/(x)-g(x)+机至少存在一个零点D.加使得曲线外力在点A处的切线也是曲线g(x)的切线【答案】ABD【分析】求出A、8两点的坐标，得出|AB|关于加的函数表达式，利用导数求出的最小值，即可判断出A选项的正误；解方程r(ln/n)=g'(2e'"B，可判断出B选项的正误；利用导数判断函数尸“力一8⑺+机的单调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线y=g(x)相切于点C(〃,g(〃))，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误.进而得出结论.【详解】令/(x)=e，=zn,得x=lnm,令g(x)=ln：+；=/n,得x=2e"4,则点A(ln孙吟、B\2em由图象可知，|A8|=2emw_inm，其中机>。，令由图象可知，|A8|=2emw_inm，其中机>。，令〃(m)=2emT-inm，则〃'(m)= 一方，则函数y="(m)单调递增，且〃(£)=0,当。</n<g时,当〃时，机)>0.所以，函数Mm)=2jT_in,〃在上单调递减，在［；，+8)上单调递增，所以，MB1n=〃(；)=2-ln；=2+ln2,A选项正确；

•：f(x)=e',g(x)=%+；,则r(x)=e[g[x)=B，曲线y=/(x)在点A处的切线斜率为/'(lnm)=机,曲线y=曲线y=g(x)在点5处的切线斜率为g'm—2e21rm—2e2令r(ln/n)=g(2J21令r(ln/n)=g(2J2，即桁=不，即2%叮=1，2e2则m=g满足方程2〃/吗=1，所以，前使得曲线y=A、)在A处的切线平行于曲线y=g(x)在B处的切线,B选项正确；Y I

构造函数尸(x)=〃x)-g(x)+/"=e*_l叱+%,可得尸数卜三一1,当0<x<s时，G'（x）>0,当x>s时，G（x）<0.函数9(切=/-：在(0,用)上为增函数，由于尸4e-2<0,r(l)=e-l>0,则存在re1，1,使得F'(r)=e'-；=O,函数9(切=/-：在(0,用)上为增函数，由于尸4e-2<0,r(l)=e-l>0,则存在re1，1,使得F'(r)=e'-；=O,可得，=—lnr,当0<x<f时，尸'(x)<0；当x>f时，Ff(x)>0./.F(x),=F(r)=ez-In-4-zn--=ez-Inr+/n4-ln2--=-4-f+/??4-ln2--\/min、， 2 2 2t 2l-i i 3>2J，•一+〃z+In2——=—+In2+机>0,V/ 22所以，函数尸(x)=f(力-g(x)+m没有零点，C选项错误;设曲线y=〃x)在点a处的切线与曲线y=g(x)相切于点c(〃,g(〃)),则曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-m=eln,"(x-lnni),gpy=mr+m(l-lnni),,、 1n1同理可得曲线y=g(x)在点c处的切线方程为.丫=-*+1咤-彳，n22所以，"2=一»7 1,消去〃得m—(m—l)lnm+ln2+—=0,、 7 22令G(x)=x-(x-l)lnx+ln2+g,贝l]Gz(x)=l---lnx=--lnx,函数y=G'(x)在(0,也)上为减函数，•.•G'(l)=l>。，G'(2)=g-ln2<0,则存在se(l,2),使得G'(s)=g-lns=O,且5=).5 17所以，函数y=G（x）在（2,田）上为减函数，•.•G（2）=5>0,G（8）=y-201n2<0,由零点存在定理知，函数y=G（x）在（2,内）上有零点，即方程加一（加一1）心力+1112+1=。有解.所以，协使得曲线y=/（x）在点a处的切线也是曲线y=g（x）的切线.故选：ABD.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.（2021•全国•高三期中）已知函数/（x）=e*,g（x）=ln]+g下列说法正确的是（ ）A.对于切《€/?,〃（力=/（力一8（1：）+m都存在零点B.若匕>"（0¥）-0¥2》-8（2》）+：恒成立，则正实数a的最小值为1c.若〃x）,g（x）图像与直线y=m分别交于4B两点，贝1]|他|的最小值为2+1112D.存在直线丫="与/（x）,g（x）的图像分别交于B两点，使得“X）在工处的切线与g（x）在3处的切线平行【答案】BCD【分析】利用导数求出函数的单调性即可得到函数的最小值，从而判断A;对于B利用同构的思想将不等式转化为or>Inx,参变分离得心Tmor>Inx,参变分离得心Tm,再构造函数求出参数的取值范围；依题意可得A（ln〃?,〃?），B\2e则lABbaeMT-lnm，再构造函数利用导数求出函数的最小值，即可判断C;根据导数的几何意义得到方程，解得m,即可判断D;【详解】解：对于因为Mx）=e*-lW-：+〃7,所以人'（x）=e*-L,令〃'（x）=e*-4=。，存在％使得人=7，故心）在（0,与）单调递减，在区间小,3）单调递增，心）的最小值为Mx°）=eJ吟-；+m,当机Aln5+g-*时，人(x)不存在零点，故？1错误.对于⑸不等式化为= y=ex-x9则y=e，-l,所以y=e*-x在(。，内)上递增，故同构可得：orNlnx,即“2叱的最大值，令""=皿，贝l]r'(x)=l^,所以xe(O,e)时«x)>0,X X X当xw(e,«»)时/(x)<0,所以r(x)g=r(e)=：,所以成立，故3正确.(吁：I 1 12e，mJ，|A8|=2e'"E-ln/n，令9(x)=2e*W-Inx“(》)=2/：」在(0,+<»)上递增，且“;1=0,当xw(0,g}d(x)<0,当xe(g,+oo)Mx)>0,所以，夕(可“=°(；)=2+ln2,故C正确.对于。，假设存在、=加满足题意，可知A(ln/n,m),B12eT,，”)j'(x)=e\g'(x)=g.(⑷11f'(lnm)=enm=m,g'\2e2=—y,因为在〃幻在/处与g(x)在B处的切线平行所以有，m= ,〈 ,2e2 Ie2即2me"1=l，得m=J，故存在功符合题意，故。正确•故选：BCD(2021•福建师大附中高三月考)如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里/小时.上述问题转换成数学语言：f(x)是距离关于时间的函数，那么一定存在：/("(“)=/，(c),/'(c)就是。时刻的瞬时速度.前提条件是函数/(x)在[。，耳上连续，在(。⑼内可导，且a<c<b.也就是在曲线的两点间作一条割线，割线的斜率就是"牛"0,7'(c)是与割线平行的一条切线,与曲线相切于C点.已知对任意实数占，毛e(l,3),且%>々，b-a不等式/a)—/(Z)<Mx-毛)恒成立，若函数/(力="--门，则实数工的可能取值为()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】BCD【分析】根据题意，问题转化为42/'(x)在xe(l,3)上恒成立，进而通过分参和构造函数得到答案.【详解】由已知/(%)-/(々)<女(再一毛)，恒成立，可得々Nf'(x)在xe(l,3)上恒成立.因为〃x)=2x2-Alnx,k kAy? 4所以尸(x)=4x--,所以4x——VA,BP—<Jt,整理得4(x+l)+---8<*①.X X x+l x+1因为xe(l,3),所以x+l«2,4).令，=x+l,则小(2,4),①式化为4r+；-84%.记g(r)=4f+；-8,f«2,4),8'。)=4(1-白=业芈心>0,所以g”)在(2,4)上单调递增，所以g(/)e(2,9),所以k29,故选：BCD.(2021•江苏•无锡市青山高级中学高二期中)已知函数.丫=*+,，过凡1,0)作切线交函数图像于点XM和点N,记|MN|=g(r),则下列说法中正确的有( )r」时，PM1PN4g(r)在定义域内单调递增r=g时，M,7V和(0,1)共线g(l)=6【答案】AC【分析】fxM+xN=It先判断出 ，和%w=2,再对四个选项一一验证：[XMXN=-t对于A：直接计算即可判断pa/_lpn.I对于C:用同一法证明：假设MN和(Q,1)共线，得到直线方程X224.将其与y=x+2联立，利用韦x达定理计算，发现其与山，心所满足的韦达定理相同，即可判断；求出g(r)=2>/^>/厂+1,对于B:判断出g(，)=2石"77定义域为(yo,T]U[0，E)的单调性，即可判断；.对于D:直接求出g(l),即可判断.【详解】

对于y=x+1,该函数上任一点x处的切线方程为y=r(%)(x-%)+/(%),那么过卬,0)的切线方程就满足o=r(%)(1一天)+/(%),即o=(i-亦即过y=x+1上的点的两个切线方程均经过RL。),此点即题目所给的此儿故由韦达定理，有＜XM+XN=-21XMX故由韦达定理，有＜XM+XN=-21XMXN=一'那么g_yM-yN।t,所以&的=2为定值.二1 XM~XNXMXN再依次验证四个选项:对于A：因为XM+一XMXN+一XNXMXNPM^PNPM^PNXMXN-1 1-（XM-Xn）+XMXN所以当5时，⑥―,所以改CM故A正确;对于C：XM+XN=T..__1，又有3N=2为定值，那么若MN和(Q,1)共线,则直线必为片2X+1.将其与XMXN=_/、「丫:2联立，有*+2元-1=0.利用韦达定理计算，发现其与山，4所满足的韦达定理相同.故和(Q,y-—X1)共线.故c正确;由= 有8（/）=国（如+X〃）2-4。仃"=26/产+\,对于B：g(r)=2石炉工定义域为(Yo,-l]U[0,y),由复合函数单调性可得g(f)在上单调递减,在[0,内)是单调递增.故B错误.对于D:g⑺=2石右二，所以g(f)=2石5=2加.故D错误;故选：AC【点睛】用导数求切线方程常见类型:（1）在P（x。,%）出的切线:%），%）为切点,直接写出切线方程：y-%=r（%Xx-%）；(2)过P(x。,％)出的切线：P(x。,%)不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标(大,%),再写出切线方程：y-x=ra)(x-xj.(2021•福建宁德•高二期中)若以函数y=f(x)的图象上任意一点尸(xJ(xJ)为切点作切线Jy=/(x)图象上总存在异于尸点的点Q(&J(电))，使得以。为切点的切线〃与4平行，则称函数/(X)为“和谐函数”，下面函数中是“和谐函数”的有( )A.y=x3-3x B.y=3x+—xC.y=sinx D.y=(x-2)2+lnx【答案】BC【分析】求出导函数/'(x),判断对函数定义域内任意为，是否都存在使得/")=/&).【详解】y=X3-3x,/=3x2-3,当西=0时，丫'=-3是最小值，不存在当满足题意；/(x)=3x+L定义域是｛xIxwO),/'(x)=3-4,它是偶函数，因此对任意的为#0,取七=一a都有X X-f'(xl)=f'(x2),满足题意，f(x)=sinx,r(x)=cosx,它是周期函数，最小值正周期是2%，因此对任意占6*,取马=占+2万，都有r(4)=/a),满足题意，/(x)=(x-2)2+lnx,定义域是(0,也)，r(x)=2(x-2)+-,X। 1or2_1令g(x)=f\x)=2(x-2)+-(x>0),sf(x)=2-4=三三二,X xX当0<x<立时，g'(x)<0,g(x)递减，当x>也时，g'(x)>0,g(x)递增,2 2g(《)=2夜-4是极小值也是最小值，取士=4，则不存在士力士使得八为)=/也)，不满足题意.故选：BC.【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，并利用新定义进行转化.本题解题实质就是求出导函数/'(X),然后确定对函数定义域内任意的为，是否存在々片占，使得/'(卬=/'区)，由此可确定导函数「(X)的奇偶性与单调性、最值，从而得出结论.(2021•辽宁大连•高二期末)设函数/(x)=e2，_l〃，+10x,若曲线y=〃力在点P(%J(x。))处的切线与该曲线恰有一个公共点尸，则满足条件的％可以是()A.In8 B.In6 C.In4 D.In3【答案】ABD【分析】利用导数求出切线方程，转化为/(力=/'(%)(兀-%)+/(毛)有且只有一个根局.令晨力=/(耳-/'优)&-与)-〃与),则函数有唯一零点私对函数g(x)求导，讨论，确定单调区间，根据有一个零点求出事的范围，对照四个选项即可得到答案.【详解】因为/(x)=e2'-12e'+10x,所以尸(力=2^-1"+10,则在点尸处的切线方程为y=/'(%)(x-$)+/(%).若在点尸处的切线与该曲线恰有一个公共点A则方程组;二:((:)(.*)+〃丫)有且只有一组解,即方程〃x)=r(%)(*-％)+/(玉))有且只有一个根为令8(*)=/(力-/伉)(万一下)一/(为),则函数■角有唯一零点9而g'(x)=/'(x)_/'(与)=2elx-\2ex-(2^-I2e*)=2(e*—e* +e*-6).当e*N6时，即吃Nln6,e'+e*-6>0恒成立，令g'(x)=0,得x=x().当x<x()时，有g'(x)<0；当x>x0时，有g'(x)>0;所以g(x)在(fo,%)上单减，在伍,收)上单增，所以当x=x,时，g(x)取得最小值，又g($)=0,所以y=g(x)由唯一零点，故/2In6满足题意.当*=3时，即/=m3,有短(力=2伫一1)々。恒成立，所以g(x)在R上单增，又g(%)=0,所以此时函数有唯一零点.故当％=In3时满足题意.当e”<6且ee=3,即x<ln6且*iEn3时，方程e*+e"-6=0有且只有一个根，设为均,则的*司，令g'(x)=O,得X=X。或X=X|,若芭>飞,则当器两或A>Xi时，g'(X)>0,当X0<X<X|时，g'(x)<0,所以g(x)在S，%），(%,«»)上单增，在(如Xj)上单减，又g(Ao)=O,所以g(x)<o,又当Xfy时,g(x)f+00，所以由零点存在定理可得，存在aea，+oo),使得g(a)=0,所以函数g(x)有两个零点两和a,不符合题意；若冬〈飞，则当x"或x>x0时，g'(x)>0,当不<x<x°时，g'(x)<0,所以函数g(x)在(T»,X1),(Xo，+oO)上单调递增，在(公与)上单调递减，又g(%)=0,所以g(W)>0,又当xfy时,g(x)->fo，所以由零点存在定理可得，存在£e(-8，xj,使得g(0=。,所以函数g(x)有两个零点飞和尸,不符合题意.综上可知,只有当天21n6或毛=ln3时符合题意,由选项ABD符合.故选:ABD.【点睛】利用导数研究零点问题：(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g(x)的方法，把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题；(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究，(2021•全国•高二单元测试)已知曲线/(x)=ae"2(a>0)与曲线g(x)=f-加(加>0)有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同(e是自然对数的底数)，则当m变化时，实数a取以下哪些值能满足以上要求()A.1 B.e C.2e D.e1【答案】AB【分析】两个函数有公切线，则在切点处函数值相同，导数值相同，可以得到参数a,m与切点的关系，从而可以构造函数，把问题转化为函数交点问题，求参数取值范围，然后观察选项是否在区间内即可.【详解】设公切点为(X。，%),(%>。)，则yo=ae3=x：-/n,求导得，f'(x)=aei,g'(x)=2x,由切线相同知，r（4）=g'（%）,即四贝I]x„—m=2x0=>w=Xq—2x0>0=>x0>2,a=,令"x)=W，(》>2),2-2xhf(x)=--r9在x>2时，h\x)<0,〃(外单调递减，h(x)</z(2)=4；e故函数〃*）的值域为（。，4）,即只需〃w（0,4）均可满足条件.易知，a=l或e时均满足，a=2e或『时不满足;故选：AB.【点睛】方法点睛：将变量与切点的关系，构造函数，通过导数来研究参数的取值范围.（2021•全国•高二专题练习）若直线丫=双与曲线〃x）=e'相交于不同两点4（菁,凶），8（私月）,曲线/（x）=，在48点处切线交于点M（Xo，%）,则（ ）A.a>e B.x,+x2-x0=1C.kAM+kBM>2kAU D.存在。，使得ZAMB=135°【答案】ABC【分析】对于A:求出过原点的切线的斜率为e,根据直线丫=以与曲线/（x）=e*有两个不同的交点，可得出。和范围；对于B:由已知得由=e*\ax2=ex-,不妨设占（x2,则0<芭<1<%，分别求出/（x）=e"在点/,点B处的切线方程，由两切线方程求得交点的横坐标，可得结论；对于C:要证心“+即”>2号”即证炉+*>2。，即证叫+%>2a,因为a>e,所以需证占+々>2.构造函数g（x）=W，G（x）=g（x）-g（2-x）（0<x<l）,求导，分析导函数的正负，得出所构造的函数的单调性和X最值，可得结论；对于D：设直线Z"交x轴于C,直线EW交x轴于点。，作ME_Lx轴于点E.若ZAMB=135。，贝ljZAMD=45,即NM£>E-NMC£>=45,根据正切函数的差角公式和切线的斜率得e--ex'=l+ex,x*=1+e*”?,【详解】对于A:当aVO时，直线了=◎与曲线，(x)=e'没有两个不同交点，所以。＞0,如图1所示,当直线广公与曲线/*)=e'相切时，设切点为尸(rj(r)),则/(x)=e、,所以切线方程为：y-e'=e'(x-t),代入点(0,0)解得f=l,此时"=e,所以直线"Q与曲线f(x)=e'相切，所以当a>e时直线y=or与曲线/a)=，有两个不同的交点，当0<a<e时，直线.v=Q与曲线/(x)=e'没有交点，故A正确；对于B:由已知得叫=d，ax2=eXz,不妨设耳</，贝lJ0<x1Vl〈天，又/(x)=e、在点力处的切线方程为：y=A(x-xJ+e",在点B处的切线方程为y=*(、一工2)+升，两式相减得(e*' )(x+l)-中、+标*2=0,将叼=e*1,ax2=泊代入得(时一%)(1+1)-％・(叫)+%2(ar2)=0,因为4(%一9)工0,所以x+w-1=1,即玉+大2-工0=1,故B正确;对于C:要证心”+&词>238,即证e』+*>2a,即证时+0^>2〃，因为。>e,所以需证石+々>2.令ar=e1则。="，令g(x)=巳，则点43是丫=。与y=J的两个交点，令X X XG(x)=g(x)-g(2-x)(0<x<l),所以G(x)=(x-1)所以G(x)=(x-1)%-(2-x)2,令〃(x)=》(x>0),则"(x)=e?)所以当xe(0,2)时，"(x)<0,〃(x)单调递减,M0<x<l,0<x<l<2-x<2,所以h(x)>h(2-x),所以0<x<l时，G(x)<0,所以G(x)单调递减,所以G(x)>G⑴=0,即g&)-g(2-%)>0,又g&)=g(X2)=a,所以g(w)>g(2f),而g《)=空更，所以当x>l时，g(x)>0,g(x)单调递增，又赴>1,2-±>1,所以£>2-办，即为+x?>2,故C正确；对于D:设直线交x轴于C,直线交x轴于点。，作ME_Lx轴于点E.若ZAM8=135。，则ZAMD=45,化简得距m=1+Kmx&bm,即e*2=l+e"x*=1+炉”2,所以公2-公i=1+公1，即即NMDE-NMCD即NMDE-NMCD=45,所以tan(Z.MDE-ZMCD)=tan4MDE—tanNMC£>1+tanZ.MDExtanZ.MCDkfiM-1+L乂1^令m=/一% 工2,则加=王一%一XW=—（大一1）（巧+1）+1,又0＜王＜1＜彳2,所以m=x2-xy-xix2=一(司-1)(/+1)+1>1,而a＞e,所以方程。（毛一%-为毛）=1无解，所以不存在“，使得NAM8=135。，故D不正确,方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.（2021•河北•石家庄二中高二月考）已知函数f（x）=：or2-or+lnx的图象在点处与点（七，/（七））处的切线均平行于8轴，则（）/（x）在（1,+?）上单调递增%1+x2=2%+毛+卬//（占）+/（々）的取值范围是（F,£-21n2）D.若。若，则只有一个零点【答案】ACD【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到。的取值范围；对于A,利用导数即可得到/（x）在（1,«）

上的单调性；对于B,利用根与系数的关系可得占+々=1；对于C,化简内+%+%玉+/&）+〃9）,构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D,将。=三代入了'（X）,令尸（力=0,可得〃x）的单调性，进而求得/（力的极大值小于0,再利用零点存在定理可得解.【详解】由题意可知，函数/（X）的定义域为（0,+8）,且尸（回=如-4+'=竺!二竺±1,X X△=6-4a>0则占，士是方程依2-如+1=0的两个不等正根，贝M 1八，解得〃>4,XjX2=—>0、a当xw（l,+co）时，函数.丫=公2-"+1>0,此时/'（x）>0,所以〃x）在。,+8）上单调递增，故A正确；因为为，々是方程cd-5+1=0的两个不等正根，所以为+%=1,故B错误;7ax^—ax217ax^—ax2因为X1+X1+A?]/+/(%)+f(“2)= blflX]+—61X]—6L¥|+If)X?+~易知函数〃（4）=-；4-1114+5在（4,+00）上是减函数,7则当a>4时，〃（a）<〃（4）=-121n2,所以为+%2+为%2+/（%）+/（々）的取值范围是［-<»,-1-21112）,故C正确；当a当时，r（x）=/x弋+L令/'（x）=0,得x=；或］3 3SX 4 4则/（X）在（o,"）上单调递增，在15q）上单调递减，在（（，+8］上单调递增,所以“X）在X=：取得极大值，且/（；）<。，〃2）=ln2>0,所以〃x）只有一个零点，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点:①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；

③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.三、双空题(2021•全国•高二单元测试)牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设，•是函数丁=/(力的一个零点，任意选取％作为「的初始近似值，过点(玉J(xJ)作曲线y=f(x)的切线乙，设4与x轴交点的横坐标为士，并称占为「的1次近似值；过点(和/&))作曲线y=/(x)的切线*设4与x轴交点的横坐标为称为『的2次近似值，过点(天,/(%)乂〃€^)作曲线y=〃x)的切线加，记心与x轴交点的横坐标为x,…并称x,m为r的〃+1次近似值，设/(x)=x3+2x-2(xN0)的零点为r,取毛=0,则厂的2次近似值为:设3/+«„=2>+2，，(ngN，)>数列｛4｝的前〃项积为若任意的〃eV,(<%恒成立，则整数2的最小值为4TOC\o"1-5"\h\z【答案】y 2【分析】利用导数求出直线配的方程，可得出兑“=%?，结合%=。可求出超的值，推导出可求得3x；+2 x〃+iTn=—,由已知条件可得出4f1e(l,2),由此可求得整数彳的最小值.%+1 r【详解】v/(x)=x3+2x-2,贝(x)=3x?+2,/”“)=34+2,所以，曲线y=/(x)在点(X"J(xJ(〃gN)处的切线方程为y-(W+2x“-2)=(3x；+2)(x-x3即y=(3x：+2)x-2x：-2,由题意可知点(3，0)在直线丫=(34+2卜-24-2上,所以，士+i=f?+?,•••x0=。，则占=所以，士+ix“（3x;+x“（3x;+2）_x“21；+1）J=-<q=五二巴♦•…旦=五=，X?x3x4xn+lxn+1X“M因为函数/(x)=V+2x-2(xN0)的零点近似值为r,且函数/(x)在［0,xo)上为增函数,因为= /（1）=1>°，由零点存在定理可知re由题意可知，V一->：w（l，2）,故整数之的最小值为2.Xn+\r4故答案为：y；2.【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于利用导数求出切线方程，得出数列｛xj的递推公式，利用数列的递推公式求解.四、填空题（2021•辽宁•渤海大学附属高级中学高三期中）已知函数/（x）=|lnx-l|,0<xt<e<x2<e2,函数op的图象在点收（与,/a））和点ng,/伍））的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于p,q两点,则点的取值范围是.【答案】（3,+8）【分析】OPOQ的范利用导数的几何意义可求得在M,N处的切线方程，并得到|04,|0@；根据切线互相垂直可得为刍=1,OPOQ的范此得到粤=1^等，令，=1眸，可得以/）=答，利用分离常数法可求得了（，）的范围，即为ogz—inx, z-t围.【详解】当0cx<e,时/（x）=l-Inx,/（力=一再），.*=一；,

x\••・在M处的切线方程为y-1+lnX] ，即y=_—彳+2_]呻,.\|OP|=2-\nXy；^e<x<e2,f（x）=lnx-l, =同理可求得：在N处的切线方程为：y=；x-2+lnx2,/.|OQ|=|lnx,-2|=2—InA^,•两条切线互相垂直，•二OP•两条切线互相垂直，•二OP_2-lnXj_2+InX?OQ2-lnx22-Inx2令f=lnx2,f«L2)、几\2+f-(2-/)+4 4 (,o\^/(r)=7_~='=VIZ，z-I Z-I z-I则/⑺在(1,2)上单调递增，”(f)e(3,y),即:普0收).故答案为：(3,+8).【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用导数的几何意义求得|。耳|。@,将图表示为关于变量f=ln±的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得结果.(2021•广东天河•高三月考)过定点P(Le)作曲线y=ae'(a>0)的切线，恰有2条，则实数〃的取值范围是.【答案】。，口)【分析】设切点为(天，“”)，利用导数几何意义求得切线方程为y=ae^(x-x0+}),由题意知。=工;^^;在/W2上有两个不同解，构造g(x)=":一、且XX2,利用导数研究单调性及值域，进而确定。的范围.【详解】由y'=ae*,若切点为(%,熊”)，则y=k=ae”>。，•••切线方程为丫=(x-x0+1),又P(1,e)在切线上，•••a*(2-x°)=e,即a= : 在/w2上有两个不同解，c e(x—1)令g(x)=-77；—7,即原问题转化为g。)与了=。有两个交点，而g")=',1、当x>2时，g'M>0,g(x)递增，且她g(x)->(T,2、当2>x>l时，g'(x)>0,g(x)递增；当x<l时，g'(x)<0,g(x)递减；g（x）Ng⑴=1,又!吧g（x）-x,l<x<2时g（x）>0且|i黑g（x）f+<»,•,要使°="总不在/*2上有两个不同解，即a«1,内）.故答案为：（1,收）（2021•黑龙江•大庆实验中学高二期末（文））已知函数f（x）=lnx-nr+lnm+l（加>1）,尸（x）是其导函数，若曲线y=/（x）的一条切线为直线/：2x-y+l=0,则机”的最小值为.【答案】-e【分析】设直线/与曲线相切的切点为（/，%）,借助导数的几何意义用为表示出m,A即可作答.【详解】设直线/与曲线相切的切点为a。,%）,而尸“）2-〃，则直线/的斜率/'（%）=’一",TOC\o"1-5"\h\zx xo于是得二〃=2,即"=——2,[y0=2x0+1 - e由｛ , , ，得111入0-5）+111%=2工0,而“+2%=1,于是得Inm+lnx。=1,即，”=一[y0=lnx0-7t^+lnm+l xQ因m>l,贝l]0<Xo<e, =—（--2）=4（-当且仅当为=1时取"="，所以小〃的最小值为-e.故答案为：r【点睛】结论点睛：函数片男兄是区间。上的可导函数，则曲线尸在点（/，/（/））（/6。）处的切线方程为：y-f（x0）=f（x0）（x-x0）.（2021•四川•三模（理））切x轴于点A、对称轴平行于）‘轴的抛物线和曲线y= 交于点8,并且两曲线在B点的切线相互垂直，A、8两点的横坐标分别为1、2,女和。是正的常数，则k的值为【答案】1【分析】

首先可设抛物线方程为(x-1)2=2py,即y=/(x)=9},然后根据8⑵:/⑵得出4^3=已，再然后根据两曲线在B点的切线相互垂直得出：？和金]=-1,最后联立两式，通过运算即可得出结果.【详解】因为A点的横坐标为1,2所以A(1,O),可设抛物线方程为(x-l『=2py,即丫=/(')=哥1y=g(x)=ky/c-x的定义域为(-?,q,因为抛物线和曲线y