投资组合优化课件

第十二章投资组合优化

第十二章投资组合优化1Outline矩阵求导简介优化知识允许卖空情况下的投资组合优化不允许卖空情况下的投资组合优化Outline矩阵求导简介2矩阵求导的有关知识矩阵求导的有关知识3数对向量求一阶导假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值为标量定义n阶向量的一阶导数如下：其中Remark：scalar-valuedfunctionofavector，又称梯度数对向量求一阶导假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为4数对向量求二阶导假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值为标量定义n阶向量的二阶导数如下：其中Remark：scalar-valuedfunctionofavector，又称海赛矩阵，n*n方阵数对向量求二阶导假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为5例子假如例子假如6Matlab实现Symsx1x2X=[x1x2]F=2*x1+3*x1*x2Dfdx=[diff(F,x1);diff(F,x2)]g1=jacobian(Dfdx,X)Matlab实现Symsx1x27向量对向量求一阶导数假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量f(X)的一阶导数如下：向量对向量求一阶导数假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变8Matlab实现SymsstV=[s;t]f=[t^2*log(s);s^3*log(2+t)]dfdx=jacobian(f,V)Matlab实现Symsst9例子假如例子假如10向量对向量求一阶导数假设X为列向量，A为方阵如果A为对称阵则向量对向量求一阶导数假设X为列向量，A为方阵11优化与投资组合理论优化与投资组合理论12总结数对列向量求导仍为列向量列向量对列向量求导为矩阵总结数对列向量求导仍为列向量13主要内容问题1：给定预期收益，最小化风险问题2：给定风险，最大化预期收益问题3：不考虑预期收益，最小化风险问题4：不考虑风险，最大化预期收益主要内容问题1：给定预期收益，最小化风险14问题1给定预期收益时，最小化风险目标函数为二次型约束为线性约束当不允许卖空时，当限制了某个资产投资份额，给定投资权重的上下界问题1给定预期收益时，最小化风险15问题2给定风险时，最大化收益目标函数为线性约束为非线性约束和线性约束问题2给定风险时，最大化收益16问题3不考虑预期收益，最小化风险目标函数为二次型约束为线性约束问题3不考虑预期收益，最小化风险17问题4不考虑风险，最大化收益目标函数为线性约束为线性约束问题4不考虑风险，最大化收益18允许卖空时投资组合优化允许卖空时投资组合优化19投资组合优化的数学表述给定收益情况下风险最小化风险采用方差来衡量目标函数约束条件1约束条件2投资组合优化的数学表述给定收益情况下风险最小化20投资组合优化其中，w为N支股票权重的列向量，e表示N支股票的N维期望收益率向量，I为N维单位向量，V为投资组合的方差协方差矩阵,以三维为例投资组合优化其中，w为N支股票权重的列向量，e表示N支股票21投资组合优化目标函数约束条件1约束条件2投资组合优化目标函数22投资组合优化的数学表述第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数第二步，求解一阶条件Remark：第一个等式实际上可以展开n个投资组合优化的数学表述第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数23投资组合优化的数学表述其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵，因此上述一阶条件也是全局优化的充分必要条件。由上述方程可得投资组合优化的数学表述其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵24投资组合优化的数学表述由上述方程可得，拉格朗日乘子投资组合优化的数学表述由上述方程可得，拉格朗日乘子25投资组合优化的数学表述由上述方程可求投资组合权重对应的方差投资组合优化的数学表述由上述方程可求投资组合权重26允许卖空情况下的权重求解function[wp,varp]=meanvar(e,V,rp)%.求解投资组合权重%输入：e每个资产的预期收益率组成的收益率列向量%输入：V收益率的方差协方差矩阵%输入：rp为投资组合的预期回报率%输出:wp为投资组合权重，列向量%输出:varp为投资组合的方差允许卖空情况下的权重求解function[wp,varp]27允许卖空情况下的权重求解M=length(e);I=ones(M,1);A=I'*inv(V)*e;B=e'*inv(V)*e;C=I'*inv(V)*I;D=B*C-A^2;g=(B*(inv(V)*I)-A*(inv(V)*e))/D;h=(C*(inv(V)*e)-A*(inv(V)*I))/D;wp=g+h*rp;varp=wp'*V*wp;允许卖空情况下的权重求解M=length(e);28投资组合有效前沿functionout=graphmeanvar(price)%purpose:给定N个资产价格矩阵，根据Mean-variance模型确定投资权重，参考教材《金融经济学基础》黄奇辅%输入:N种资产,M个观测值的价格矩阵,N*M矩阵%输出：每支资产的权重组成的列向量wp[N,M]=size(price);logprice=100*log(price);投资组合有效前沿functionout=graphmean29投资组合有效前沿%2.将原始价格数据转化为对数数据，并进一步转化为收益率数据logreturn=zeros(N-1,M);forj=1:M;logreturn(:,j)=logprice(2:end,j)-logprice(1:end-1,j);end%3.求解收益率数据的均值向量与方差协方差矩阵e=mean(logreturn,1)';%对应41页中公式(3.8.1)eV=cov(logreturn);%对应41页中公式(3.8.1)Vrp=linspace(min(e),max(e),101)';varp=zeros(101,1);wp=zeros(M,101);投资组合有效前沿%2.将原始价格数据转化为对数数据，并进30投资组合有效前沿fori=1:101;[wp(:,i),varp(i)]=meanvar(e,V,rp(i));endsigmap=varp.^(0.5);plot(sigmap,rp,'co');out.rp=rp;out.varp=varp;out.wp=wp;out.total=[rp';varp';wp];投资组合有效前沿fori=1:101;31投资组合有效前沿xlabel('标准差');%x轴注解ylabel('收益率');%y轴注解title(‘允许卖空条件下的投资组合前沿');%图形标题投资组合有效前沿xlabel('标准差');%x轴注解32允许卖空时投资组合的有效前沿>>loadma_port.mat;>>out=graphmeanvar([SHGHZS])允许卖空时投资组合的有效前沿>>loadma_port.m33允许卖空时投资组合权重图允许卖空时投资组合权重图34不允许卖空时投资组合优化不允许卖空时投资组合优化35投资组合优化的数学表述给定收益情况下风险最小化风险采用方差来衡量目标函数约束条件1约束条件2约束条件3采用数值算法求解投资组合优化的数学表述给定收益情况下风险最小化36二次规划的一般形式Matlab的函数形式>>x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq)二次规划的一般形式37投资组合优化如何用Matlab二次优化函数Matlab的函数形式x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq)以三个资产为例H=V;f=zeros(M,1)=(000)’，x=w投资组合优化如何用Matlab二次优化函数Matlab的函数38投资组合优化如何用表示成二次优化函数

对应于如下两个约束条件投资组合优化如何用表示成二次优化函数39不允许卖空时投资组合优化functionout=shortmeanvar(price)%purpose:给定N个资产价格矩阵，根据Mean-variance模型确定投资权重%输入:N种资产,M个观测值的价格矩阵,N*M矩阵%输出：每支资产的权重组成的列向量wp[N,M]=size(price);logprice=100*log(price);%2.将原始价格数据转化为对数数据，并进一步转化为收益率数据logreturn=diff(logprice);不允许卖空时投资组合优化functionout=short40不允许卖空时投资组合优化%3.求解收益率数据的均值向量与方差协方差矩阵e=mean(logreturn,1)';%对应41页中公式(3.8.1)e,此时e为列向量V=cov(logreturn);%对应41页中公式(3.8.1)Vrp=linspace(min(e),max(e),101)';fori=1:101;

[wp(:,i),fval(i)]=quadprog(V,zeros(M,1),-eye(M,M),zeros(M,1),[ones(1,M);e'],[1;rp(i)]);end不允许卖空时投资组合优化%3.求解收益率数据的均值向量与41不允许卖空时投资组合优化sigmap=sqrt(2*fval);plot(sigmap,rp,'co');out.rp=rp;out.wp=wp;xlabel('标准差');%x轴注解ylabel('收益率');%y轴注解title(‘不允许卖空条件下的投资组合前沿');%图形标题不允许卖空时投资组合优化sigmap=sqrt(2*fval42不允许卖空时投资组合的有效前沿>>loadma_port.mat;>>out=shortmeanvar([SHGHZS])不允许卖空时投资组合的有效前沿>>loadma_port.43不允许卖空时投资组合权重图不允许卖空时投资组合权重图44允许卖空时与不允许卖空时的比较允许卖空时与不允许卖空时的比较45总结采用矩阵形式会使表达式非常简洁，但在优化时会涉及到矩阵求导的知识矩阵求导主要包括数对向量求导，向量对向量求导数对向量求导为向量，向量对向量求导为矩阵允许卖空条件下的投资组合优化不允许卖空条件下的投资优化总结采用矩阵形式会使表达式非常简洁，但在优化时会涉及到矩阵求46谢谢！

END谢谢！47第十二章投资组合优化

第十二章投资组合优化48Outline矩阵求导简介优化知识允许卖空情况下的投资组合优化不允许卖空情况下的投资组合优化Outline矩阵求导简介49矩阵求导的有关知识矩阵求导的有关知识50数对向量求一阶导假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值为标量定义n阶向量的一阶导数如下：其中Remark：scalar-valuedfunctionofavector，又称梯度数对向量求一阶导假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为51数对向量求二阶导假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值为标量定义n阶向量的二阶导数如下：其中Remark：scalar-valuedfunctionofavector，又称海赛矩阵，n*n方阵数对向量求二阶导假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为52例子假如例子假如53Matlab实现Symsx1x2X=[x1x2]F=2*x1+3*x1*x2Dfdx=[diff(F,x1);diff(F,x2)]g1=jacobian(Dfdx,X)Matlab实现Symsx1x254向量对向量求一阶导数假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量f(X)的一阶导数如下：向量对向量求一阶导数假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变55Matlab实现SymsstV=[s;t]f=[t^2*log(s);s^3*log(2+t)]dfdx=jacobian(f,V)Matlab实现Symsst56例子假如例子假如57向量对向量求一阶导数假设X为列向量，A为方阵如果A为对称阵则向量对向量求一阶导数假设X为列向量，A为方阵58优化与投资组合理论优化与投资组合理论59总结数对列向量求导仍为列向量列向量对列向量求导为矩阵总结数对列向量求导仍为列向量60主要内容问题1：给定预期收益，最小化风险问题2：给定风险，最大化预期收益问题3：不考虑预期收益，最小化风险问题4：不考虑风险，最大化预期收益主要内容问题1：给定预期收益，最小化风险61问题1给定预期收益时，最小化风险目标函数为二次型约束为线性约束当不允许卖空时，当限制了某个资产投资份额，给定投资权重的上下界问题1给定预期收益时，最小化风险62问题2给定风险时，最大化收益目标函数为线性约束为非线性约束和线性约束问题2给定风险时，最大化收益63问题3不考虑预期收益，最小化风险目标函数为二次型约束为线性约束问题3不考虑预期收益，最小化风险64问题4不考虑风险，最大化收益目标函数为线性约束为线性约束问题4不考虑风险，最大化收益65允许卖空时投资组合优化允许卖空时投资组合优化66投资组合优化的数学表述给定收益情况下风险最小化风险采用方差来衡量目标函数约束条件1约束条件2投资组合优化的数学表述给定收益情况下风险最小化67投资组合优化其中，w为N支股票权重的列向量，e表示N支股票的N维期望收益率向量，I为N维单位向量，V为投资组合的方差协方差矩阵,以三维为例投资组合优化其中，w为N支股票权重的列向量，e表示N支股票68投资组合优化目标函数约束条件1约束条件2投资组合优化目标函数69投资组合优化的数学表述第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数第二步，求解一阶条件Remark：第一个等式实际上可以展开n个投资组合优化的数学表述第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数70投资组合优化的数学表述其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵，因此上述一阶条件也是全局优化的充分必要条件。由上述方程可得投资组合优化的数学表述其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵71投资组合优化的数学表述由上述方程可得，拉格朗日乘子投资组合优化的数学表述由上述方程可得，拉格朗日乘子72投资组合优化的数学表述由上述方程可求投资组合权重对应的方差投资组合优化的数学表述由上述方程可求投资组合权重73允许卖空情况下的权重求解function[wp,varp]=meanvar(e,V,rp)%.求解投资组合权重%输入：e每个资产的预期收益率组成的收益率列向量%输入：V收益率的方差协方差矩阵%输入：rp为投资组合的预期回报率%输出:wp为投资组合权重，列向量%输出:varp为投资组合的方差允许卖空情况下的权重求解function[wp,varp]74允许卖空情况下的权重求解M=length(e);I=ones(M,1);A=I'*inv(V)*e;B=e'*inv(V)*e;C=I'*inv(V)*I;D=B*C-A^2;g=(B*(inv(V)*I)-A*(inv(V)*e))/D;h=(C*(inv(V)*e)-A*(inv(V)*I))/D;wp=g+h*rp;varp=wp'*V*wp;允许卖空情况下的权重求解M=length(e);75投资组合有效前沿functionout=graphmeanvar(price)%purpose:给定N个资产价格矩阵，根据Mean-variance模型确定投资权重，参考教材《金融经济学基础》黄奇辅%输入:N种资产,M个观测值的价格矩阵,N*M矩阵%输出：每支资产的权重组成的列向量wp[N,M]=size(price);logprice=100*log(price);投资组合有效前沿functionout=graphmean76投资组合有效前沿%2.将原始价格数据转化为对数数据，并进一步转化为收益率数据logreturn=zeros(N-1,M);forj=1:M;logreturn(:,j)=logprice(2:end,j)-logprice(1:end-1,j);end%3.求解收益率数据的均值向量与方差协方差矩阵e=mean(logreturn,1)';%对应41页中公式(3.8.1)eV=cov(logreturn);%对应41页中公式(3.8.1)Vrp=linspace(min(e),max(e),101)';varp=zeros(101,1);wp=zeros(M,101);投资组合有效前沿%2.将原始价格数据转化为对数数据，并进77投资组合有效前沿fori=1:101;[wp(:,i),varp(i)]=meanvar(e,V,rp(i));endsigmap=varp.^(0.5);plot(sigmap,rp,'co');out.rp=rp;out.varp=varp;out.wp=wp;out.total=[rp';varp';wp];投资组合有效前沿fori=1:101;78投资组合有效前沿xlabel('标准差');%x轴注解ylabel('收益率');%y轴注解title(‘允许卖空条件下的投资组合前沿');%图形标题投资组合有效前沿xlabel('标准差');%x轴注解79允许卖空时投资组合的有效前沿>>loadma_port.mat;>>out=graphmeanvar([SHGHZS])允许卖空时投资组合的有效前沿>>loadma_port.m80允许卖空时投资组合权重图允许卖空时投资组合权重图81不允许卖空时投资组合优化不允许卖空时投资组合优化82投资组合优化的数学表述给定收益情况下风险最小化风险采用方差来衡量目标函数约束条件1约束条件2约束条件3采用数值算法求解投资组合优化的数学表述给定收益情况下风险最小化83二次规划的一般形式Matlab的函数形式>>x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq)二次规划的一般形式84投资组合优化如何用Matlab二次优化函数Matlab的函数形式x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq)以三个资产为例H=V;f=zeros(M,1)=(000)’，x=w投资组合优化如何用Matlab二次优化函数Matlab的函数85投资组合优化如何用表示成二次优化函数

对应于如下两个约束条件投资组合优化如何用表示成二次优化函数86不允许卖空时投资组合优化functionout=shortmeanvar(price)%purpose:给定N个资产价格矩阵，根据Mean-variance模型确定投资权重%输入:N种资产,M个观测值的价格矩阵,N*M矩阵%输出：每支资产的权重组成的列向量wp[N,M]=size(price);logp