32立体几何中向量方法第5课时教案

3.2立体几何中的向量方法第5课时精选教学设计3.2立体几何中的向量方法第5课时精选教学设计3.2立体几何中的向量方法第5课时精选教学设计立体几何中的向量方法【课题】：综合问题【授课目的】：

解：建立空直角坐系A-xyz如所示,1）知识与技术：进一步领悟空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；连续谈论怎样利用已知条件合适建立空间直角坐标系，显现向量方法与坐标方法相结合的优越性；对峙体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行解析与小结．2）过程与方法：在解决问题中，经过数形结合与问题转变的思想方法，加深对相关内容的理解。3）感神态度与价值观：领悟把立方体几何几何转变成向量问题优势，培养研究精神。【授课重点】：坐标法与向量法结合.【授课难点】：合适地建立空间直角坐标系及增加辅助线．【课前准备】：Powerpoint课件【授课过程设计】：授课环节授课活动设计妄图一、复习引教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生必然有助于加强学生对入时间，使其经过思虑能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简短解题通法的整体认地表达出来，为对本节后续内容的整体掌握作准备坐标法。识．立体几何中的向量方法能够归纳为三步：(l）把几何问题转变成向量问题；(2）进行向量运算；〔3）由向量运算讲解几何问题。二、问题与一、问题研究经过阅读题目，使学生研究问题1：阅读课本上的例4，请你找出其中的已知条件和求解问明确题中所给出的条题．这些求解问题能用向量方法解决吗？件和求解的问题，从需学生独立阅读并解析题意，教师引导学生认识到本题拥有必然的综合要完成的任务理出本性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都能够利题能够用向最解决的用向量解决．大体思路．问题2：从例4的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向初步建立已知条件与量化？若是建立坐标系，应怎样建立？求解内容两者间的联教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且相互相等”这系，使学买卖识到经过一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正把向量坐标化解决问方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是合适本题的坐题，培养他们结合题中标化方法．教师要修业生写出点P,A，Ｂ，Ｃ,D,E的坐标．并进一条件建立合适坐标系的能力．步写出PA,PB等的坐标．问题3：考虑例4(1)，要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应怎样下手？教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启示学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生经过谈论发现PA与ＥＧ有平行关系，进而自然地想到写出的坐标，并由＝k证出ＰＡ∥ＥＧ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ。问题4：考虑例4(2)，要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应怎样人手？教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启示学生考虑直线与平而垂直的判断条件，让学生谈论：应证明PB与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？

找出这条直线的过程能够锻炼直察觉看能力；证明两线平行能够牢固对直线的方向向量、共线向量等看法的理解．找出这两条直线的过程能够锻炼解析已知条件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程能够牢固对两在谈论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）·＝０，⊥，ＰＢ⊥ＤＥＰＢ⊥平面ＥＦＤ

非零向量的“数量积为0”的几何意义的认识。问题5：考虑例4(3)，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应怎样人手？教师从“计算二面角C一PB一D的大小”出发，启示学生怎样找出相应的平面角，让学生谈论：哪个角是二面角C一PB一D的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？教师引导学生考虑：点F的坐标对计算可否垂要？怎样利用题中条件确定点F的坐标？让学生经过谈论写出确定点F坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos∠EFD＝计算∠EFＤ的过程问题6：考虑例4后的思虑题．学生结合刚谈论过的例题，对思虑题进行思虑和讨沦，教师合适点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法．二、问题解答解：如课本图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG依题意得A(1,0,0),P(0,0,1),11E(0,,)22因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为(1,1，0)221)所以PA且PA(1,0,1),EG(1,0,2EG，即PA//EG22而EG平面EDB,且PA平面EDB所以，PA//平面EDB（2）证明：依题意得B(1,1,0),PB(1,1,1)又DE(0,1,1),故PBDE0110所以PB2222DE由已知EFPB,且EFDEE,所以PB平面EFD

计算二面角的大小，第一要找出其平面角，转而计算平面角的大小．计算角的大小时，向量是特别有力的工具．解决这个问题能够牢固对运用向量方法求角度的掌握．思虑题1能够使学生进一步领悟向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思虑题2能够加强不同样方法之间的联系．三、拓展与提高

（3）解：已知PBEF,由（2）可知PBDF,故EFD是二面角CPBD的平面角。设点F的坐标为(x,y,z),则PF(x,y,z1)因为PFkPB所以(x,y,z1)k(1,1,1)(k,k,k)即xk,yk,z1k因为PBDF0所以(1,1,1)(k,k,1k)kk1k3k10所以k1311211点F的坐标为(3，，)又点E的坐标为(0,,)所以FE(1,1,33221)366因为cosFEFDEFDFEFD(1,1,1)(1,1,2)1136633366612633D的大小为60.所以EFD60,即二面角CPB加深对不同样方法（综合三、小结立体几何中的不同样方法．法、向量法、坐标法）教师引导学生进行归纳，认识各种方法的特点及联系，认识到应依照的特点和联系的认识．问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套．1，练习题3。学生进行提高训练应用.（解略）2，如图，周围体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，ACACBCDBD2ABAD2DO（I）求证：AO平面BCD；BEC（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（III）求点E到平面ACD的距离。z解：（I）略

A（II）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则DOxBECyB(1,0,0),D(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),E(1,3,0),BA(1,0,1),CD(1,3,0).22cosBA,CD2,BACD4异面直线AB与CD所成角的余弦值为24（III）设平面ACD的法向量为n(x,y,z),则(x,y,z).(1,0,1)0,(x,y,z).(0,3,1)0,xz0,3yz0.令y1,得n(3,1,3)是平面ACD的一个法向量，又EC(1,3,0),22h321n7.点E到平面ACD的距离7四、小结解决立体几何问题的三种方法：反思归纳1，综合方法；2，向量方法；3，坐标方法。五、作业习题3.２A组9、10、12题；选作B组2,3题练习与测试：（基础题）1，过正方形ABCD的极点A，引PA⊥平面ABCD，若PAAB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（）A．30B．45C．60D．90答：B2，设P是60的二面角l内一点，PA平面,PB平面,AB为垂足，PA4,PB2,则AB的长为（）A．23B．25C．27D．42答：C3，以以下列图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x、y、z的值分别为A.x=,y=,z=B.x=,y=,z=C.x=,y=,z=D.x=,y=,z=解析：=－,=－,=(+)=+－,=－=+－,==－++,=+=++.答案：D4.在正方体—1111中，棱长为，、分别为1和上的点，1==a，ABCDABCDaMNABACAMAN则MN与平面BB1C1C的地址关系是A.订交B.平行C.垂直D.不能够确定解析：因为正方体的棱长为a,故面对角线A1B=AC=a.而A1M=AN=a，所以M、N分别是A1B和AC上的三均分点.在B1B、BC上各取点E、F，使得B1E=BF=a.则=++.但=－=－=(－)=，=－=－=(－)=，∴+=+=+=0，=，即MN∥EF，MN∥平面BB1C1C.答案：B（中等题）5，如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段EB=FB=1，.求直线EC1与FD1所成的余弦值.D1解：以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立坐标系，则E（3，3，0）、A1C1（0，4，2）、DD1（0，0，2）、F（2，4，0）.进而EC1＝（－3，1，2）、FD1＝A（－2，－4，2）所以直线EC1与FD1所成的余弦值为cosEC1,FD1＝EC1FD1＝21|EC1||FD1|146，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D,E分别是CC1，与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，（1）求A1B与平面ABD所成角的正弦值；（2）求点A1到

AB、BC上的点，且C1B1CFEB平面ABD的距离．解：建立如图的空间直角坐标系，设A1(a,0,0)，BzAxGCED则B1(0,a,0)，A(a,0,2)，B(0,a,2)，C(0,0,2)，∵D,E分别是CC1，与A1B的中点，∴D(0,0,1),E(a,a,1)，∵G是ABD的重心，22G(a,a,5)，∴EG(a,a,2)，AB(a,a,0)，333663AD(0,a,1)，∵EG平面ABD，EGAB,EGAD,得a2，且A1B与平面ABD所成角EBG，6|EG|，3BE1BA13，sinEBGEG22BE，3（2）E是A1B的中点，A1到平面ABD的距离等于E到平面ABD的距离的两倍，∵EG平面ABD，A1到平面ABD的距离等于2|EG|263．小结：依照线段A1B和平面ABD的关系，求点A1到平面ABD的距离可转变成求E到平面ABD的距离的两倍．（难题）7，如图,在棱长为1的正方体—中，、F分别是、的中点，在棱上，且=，11111H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决以下问题.求证：EF⊥B1C；求EF与C1G所成的角的余弦；求FH的长.解析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.解：如图建立空间直角坐标系O－xyz,D为坐标原点O，依照已知有E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)(1)证明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)，由·=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，得⊥，EF⊥B1C.(2)解：=(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||==，由(1)得||==，且·=×0+×(－)+(－)×(－1)=，∴cos〈,〉==.解：∵H是C1G的中点,∴(,,),即(0,,).H又F(，，0),∴FH=||==.8，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1,AB1,AA12,点E为CC1的中点，点F为BD1的中点，（1）证明:EF为异面直线BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到平面BDE的距