第六章IIR滤波器的理论与设计课件

§6.1IIR数字滤波器的设计概述一、设计步骤

1、按照实际任务确定滤波器的性能要求；

2、用一个因果稳定的系统函数去逼近这一要求（IIR、FIR两类系统）；

3、利用有限精度算法来实现这个系统函数（选择运算结构，选择合适字长，选择有效的数字处理方法）；

4、实际的技术实现（软件、硬件或二者结合）。§6.1IIR数字滤波器的设计概述一、设计步骤二、设计方法H(z)的设计就是要确定零、极点ci、di，以使滤波器满足给定的性能要求。1、零极点位置累试法根据H(z)在单位圆内的极点处出现峰值，在零点处出现谷值的特点，通过多次改变零极点位置来达到性能要求；（只适用于简单的滤波器设计）2、用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器；3、用优化技术设计二、设计方法H(z)的设计就是要确定零、极点ci、di，以使利用模拟滤波器来设计数字滤波器要先根据给出的性能指标设计出相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)，然后由Ha(s)经变换得到所需的数字滤波器的系统函数H(z)。时域变换法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、匹配z变换法；频域变换法有：双线性变换法、微分映照法三、设计原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器要先根据给出的性能指标设计出相§6.2模拟滤波器的数字仿真数字仿真就是要设计出数字滤波器Ld，当其输入为模拟滤波器La输入x(t)取样时，输出也为La输出y(t)的取样。t0x(t)y(t)t0t0ha(t)取样取样Ldx(n)y(n)Lax(t)y(t)n0x(n)=x(nT)Tn0h(n)Ty(n)=y(nT)n0T§6.2模拟滤波器的数字仿真数字仿真就是要设计出数字滤y(t)为曲线与坐标轴间面积，当T足够小时，可近似计算w(t)0Tt

…下面从时域与频域两方面分析实现数字仿真的条件一、时域的数字仿真设有一模拟滤波器（线性非移变的因果系统），x(t)与y(t)关系为y(t)为曲线与坐标轴间面积，w(t)0Tt…下面从时域与结论：当数字滤波器Ld的冲激响应h(n)=T·ha(nT)时，如果输入为La的输入x(t)的取样x(nT)时，输出为La的输出y(t)的取样y(nT)，即Ld是此La的数字仿真。时域仿真条件：

h(n)=Tha(nT)，称为冲激(脉冲)响应不变准则。令h(k)=Tha(kT)

令x(n)=x(nT)即对输入取样又有当数字滤波器的输入为x(n)时，y(n)有y(n)=y(nT)现对输出y(t)抽样，令t=nT代入上式结论：当数字滤波器Ld的冲激响应h(n)=T·ha(nT)时二、频域的数字仿真取样信号的频谱X^a(W)是原模拟信号的频谱Xa(W)的周期延拓。Ws=2p/TX^a(W)是取样信号xa(nT)的频谱，也即是离散信号x(n)=xa(nT)的傅氏变换。二、频域的数字仿真取样信号的频谱X^a(W)是原模拟信号的令h(n)=Tha(nT)，并以H(ejω)

表示h(n)的频谱，则因此，数字滤波器Ld的频率H(ejω)是其所仿真的模拟滤波器La的频响Ha(W)的周期延拓。ha(t)也是一模拟信号，对其取样即有ΩWs/2－Ws/2ΩWs/2－Ws/2Ha(W)令h(n)=Tha(nT)，并以H(ejω)表示h(n)结论：频域数字仿真条件：当|W|>Ws/2=p/T时，Ha(W)=0ΩWs/2－Ws/2Ha(W)ΩWs/2－Ws/2如上图，如果Ha(W)在－Ws/2～Ws/2之外为零，则在此区间内H(ejω)与Ha(W)完全一致，否则H(ejω)将产生混叠失真。结论：频域数字仿真条件：当|W|>Ws/2=p/T时，H综上所述：若有一个脉冲响应为ha(t)，频率响应为Ha(W)的模拟滤波器，当|W|>Wm时，Ha(W)=0，则可得到一个与之仿真的数字滤波器；其脉冲响应为h(n)=Tha(nT)，抽样周期满足Ws=2p/T≥2Wm；频率响应为H(ejw)，是Ha(W)的周期延拓，且在－Ws/2～Ws/2区间内与Ha(W)完全一致。综上所述：若有一个脉冲响应为ha(t)，频率响应为Ha(W)§6.3脉冲响应不变法（时域变换）因式分解有了刚才的基础（数字仿真），如何在给定模拟滤波器系统函数Ha(s)的情况下，求出数字滤波器系统函数H(z)。Ha(s)是模拟滤波器冲激响应的拉氏变换一、设计方法模拟滤波器系统函数且一般M<N§6.3脉冲响应不变法（时域变换）因式分解有了刚才的基将两边取拉氏反变换对ha(t)取样，周期为T由冲激响应不变准则h(n)=Tha(nT)，得到上式两边取z变换，得到H(z)化为部分分式合形式将两边取拉氏反变换对ha(t)取样，周期为T由冲激响应不变（收敛条件，且|esiTz-1|<1，即|z|>|esiT|）（式6.1）可看到二者各部分分式系数相同，H(z)各极点esiT

与Ha(s)各极点si对应。因此，只要将模拟滤波器的系统函数Ha(s)分解成部分分式和形式，就能立即写出相应的数字滤波器的系统函数H(z)。交换求和顺序比较Ha(s)与H(z)（收敛条件，且|esiTz-1|<1，即|z|>|esiT|解：模拟滤波器极点s1=-1s2=-3；系数A1=1A2=-1数字滤波器极点z1=e-1Tz2=e-3T则有例6-3-1：设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器。（设T=1）特性图解：模拟滤波器极点s1=-1s2=-3；系数A1=Wp/T|Ha(jW)|2p/Twp|H(ejw)|2p由于Ha(jW)不是充分带限的，所以造成H(ejw)产生了混叠失真二、S平面与Z平面的映射关系在比较Ha(s)的极点与H(z)的极点时，可知二者对应关系为zi=esiT，将极点映射关系推广，可得到z=esT。即z平面与s平面映射关系。特性图Wp/T|Ha(jW)|2p/Twp|H(ejw)|2p由于1、g与s关系g=esT⑴s=0（s的虚轴）对应于g=1（单位圆上）⑵s<0（s的左半平面）对应于g<1（单位圆内部）⑶s>0（s的右半平面）对应于g>1（单位圆外部）Im(z)z平面Re(z)01jΩσs平面0令z=gejw（极坐标）s=s+jW（复坐标），代入式z=esT故有g=esT

w=WT；即可知z平面的模和幅角与s平面实部与虚部的关系。1、g与s关系g=esTIm(z)z平面p/T-p/Tp/2T-p/2TjWss平面0Im(z)z平面Re(z)0p/2当W由p/T和-p/T

分别向外扩展时，每一宽度为2p/T的区域重复地映射到z平面上。（多值映射造成混叠的原因）2、w与W的关系w=WT⑴W=0（s平面实轴）对应于w=0（z平面正实轴）⑵W=W0

（常数）（s平行于实轴的直线）对应于w=W0T(z平面始于原点轴角为w的射线)例如当W=p/2T时，w=p/2，射线与纵轴重合p/T-p/Tp/2T-p/2TjWss平面0Im(z)z平Im(z)z平面Re(z)01jΩσs平面0π/T-π/Tπ/2T-π/2T模拟滤波器系统函数Ha(s)的极点都在s平面左半侧时，系统稳定正好映射为相应的数字滤波器系统函数H(z)的极点在单位圆内，与稳定条件相吻合。将二者关系合并Im(z)z平面Re(z)01jΩσs平面0π/T-π/Tπ三、特点⑴优点：由于是根据h(n)=Tha(nT)进行设计，保持了模拟滤波器的时域瞬态特性；⑵数字滤波器频率w与模拟滤波器频率W之间呈线性关系，w=WT，不会发生线性失真；⑶缺点：如果Ha(W)不是在-p/T～p/T严格带限，则会产生混叠失真。实际上，任何一个模拟滤波器其频响不可能是真正限带的，但只要在p/T以上锐减，保证其混叠失真足够小，仍能满足工程实际需要；⑷此法不能设计高通和带阻滤波器。三、特点⑴优点：由于是根据h(n)=Tha(nT)进行设计，§6.4双线性变换法（频域变换）它是为克服混叠失真即多值映射这一缺点而提出的一、变换原理首先把整个s平面压缩到某一中介平面（s1平面的）一条横带里（宽度为2π/T，从-π/T～π/T）再由标准变换关系z=es1T，将此横带变换到整个z平面上，这样使s平面与z平面是一一对应关系，可消除混叠失真。§6.4双线性变换法（频域变换）它是为克服混叠失真即多值c为待定常数这样Ω=±∞变到Ω1=±π/T，Ω=0变到Ω1=0，如图jΩss平面0π/T-π/T首先将s平面上jΩ轴压缩到s1上jΩ1轴一段[-π/T～π/T]

压缩关系为jΩ1

s1s1平面0c为待定常数这样Ω=±∞变到Ω1=±π/T，利用欧拉公式展开扩展到整个s平面，令s=jΩ，

s1=jΩ1将s1按标准关系映射到z平面上z=es1TjΩ1

s1s1平面0π/T-π/TIm(z)z平面Re(z)01利用欧拉公式展开扩展到整个s平面，令s=jΩ，s1=jΩ从而得到或这种变换称为双线性变换。以此，给定模拟滤波器系统函数Ha(s)，将上式代入，可得到相应的数字滤波器系统函数H(z)。将z=es1T代入从而得到或这种变换称为双线性变换。将z=es1T代入在低频处，为使Ω≈Ω1（使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较好的确切的对应关系）即当Ω1较小时，有此时模拟滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性二、s平面与z平面映射关系用s=s+jΩ，z=gejω代入系数c的确定于是则在低频处，为使Ω≈Ω1（使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较s>0右半平面g>1单位圆外s<0左半平面g<1单位圆内s=0虚轴g=1单位圆上jΩσs平面0当W由-∞～∞变化时，w由-p～p

变化（单位圆一周）。即W与w一一对应，不存在混叠失真。且有或可求得Im(z)z平面Re(z)01s>0右半平面g>1单位圆外jΩσT=1，则有例6-4-1：已知模拟滤波器Ha(W)=1/(1+s)，利用双线性变换法将其转换成数字滤波器H(z)。（设T=1）解：特性图T=1，则有例6-4-1：已知模拟滤波器Ha(W)=1/(1由图知，Ha(jΩ)不是带限的，有长拖尾，但由于采用双线性变换法，数字滤波器频率特性H(ejw)没有混叠现象。|Ha(jΩ)|Ωπ/T2π/Tωπ|H(ejω)|2πHa(jΩ)与H(ejw)幅频特性如图由图知，Ha(jΩ)不是带限的，有长拖尾，但由于采用双线性变

ωΩ-ππ0三、特点1、优点：模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的混叠失真。因而对Ha(Ω)无限带要求，且能直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型滤波器2、缺点：由于映射关系为w=2arctan(WT/2)，当W很小时，近似呈线性关系，当W增加，变换关系就是非线性的了。会产生相频特性失真。对于临界频率的影响比较大。对于临界频率的变化，可通过频率预畸变来加以校正。临界频率：介质频率、过渡带边缘频率、起伏峰点、谷点频率等ωΩ-ππ0三、特点1、优点：模拟滤波器经过双线性变换后，根据此截止频率来设计模拟滤波器最后再转换，得到的数字滤波器的截止频率正好被映射到所需位置上(wc)。怎样预畸变？书例6.1(P124)用双线性变换法设计一个三阶Butterworth数字低通滤波器，采样频率为fs=1.2KHZ，截止频率为fc=400HZ；数字滤波器截止频率wc=WcT=2pfc/fs=2p×400/1200=2p/3用双线性变换法，则相应的模拟滤波器截止频率为对数字滤波器相位要求严格时，不宜用此方法。根据此截止频率来设计模拟滤波器最后再转换，得到的数怎样预畸变说明：各种频率间关系1、在考虑数字滤波器的频率特性时，频率变量可用数字角频率w，也可用模拟角频率W来表示，W=2pf（实际情况下通常以f形式给出，单位为Hz，具有真正物理意义的频率变量）w=WT，w以2p为周期，W以2p/T为周期。（上述关系与设计方法无关）2、脉冲响应不变法中，变换关系w=WT与数字域角频率关系w=WT一致，即数字模拟角频率正好与模拟滤波器的角频率相等。 双线性变换法中，变换关系w=2arctan(WT/2)，W指模拟滤波器的角频率，并不是数字滤波器的模拟角频率，在数字域则仍有数字角频率w=W`T。说明：各种频率间关系1、在考虑数字滤波器的频率特性时，频率变§6.5模拟滤波器特性的逼近前面讨论给定模拟滤波器系统函数Ha(W)，求出数字滤波器系统函数H(z)的方法。本节讨论如何根据数字滤波器的性能指标设计模拟滤波器系统函数Ha(W)，使其逼近所需滤波器的性能要求。典型理想滤波器特性0Ω0Ω0Ω0Ω低通高通带通带阻§6.5模拟滤波器特性的逼近前面讨论给定模拟滤波器系统函0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0.707简绍几种典型的低通滤波器逼近方法一、巴特沃思（Butterworth）低通滤波器的逼近方法幅频特性如图，在通带与阻带内的幅频响应始终随频率的增大单调下降，且在通带内W→0与阻带内W→∞附近具有最平坦特性。随滤波器的阶次N的增大，幅频响应越接近理想。简称B型滤波器或BW型滤波器0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0.707简绍几种典型的低通滤波器3dB带宽：B型滤波器的系统函数（全极点滤波器）即在此处平方幅度（功率）下降一半（3dB），称为3dB带宽；或半功率点的截至频率。或而当W=Wc时，3dB带宽：B型滤波器的系统函数（全极点滤波器）即在此处平方CⅠ型滤波器幅频特性如图，在通带内幅频响应是等波纹的，在阻带内单调变化；波纹振动幅度由e决定。CⅡ型滤波器在阻带内幅频响应是等波纹的，在通带内单调变化。0Ω1|Ha(jΩ)|ΩcCⅠ型滤波器的系统函数（全极点滤波器）二、切比雪夫（Chebyshev）低通滤波器的逼近方法简称C型滤波器或CB型滤波器CⅠ型滤波器幅频特性如图，在通带内幅频响应是等波纹的，在阻带0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc三、考尔（Cauer）低通滤波器的逼近方法又称椭圆型滤波器椭圆型滤波器幅频特性如图，在通带和阻带内幅频响应是等波纹的。1、振幅频率特性B型在整个频带内都是单调下降的；C型在通带内等波纹振动，在过渡带和阻带单调下降；椭圆型除过渡带外，在通带和阻带都等波纹振动。四、三种滤波器的比较0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0Ω1|例如B型滤波器归一化为(当增益为1时d0=1)2、过渡带陡度椭圆型滤波器最陡，B型滤波器最差。因此，对于相同要求的过渡带特性，所需的滤波器阶次N，椭圆型为最低，B型为最高。3、设计的复杂性以及滤波器特性对参数变化的灵敏度。B型滤波器最好，C型次之，椭圆型最差。五、归一化原型滤波器设计数据由于模拟滤波器理论很成熟，一般都有现成的数据表格可查。归一化原型滤波器是指Wc已经归一化成Wc`=1的低通滤波器。例如B型滤波器归一化为(当增益为1时d0=1)2、过渡带陡度查表6.1得用s/Wc代入s系数值见书P136表，求出Han(s)后，用s/Wc代入s，即得Ha(s)书例6.1用双线性变换法设计一个三阶Butterworth数字低通滤波器，采样频率为fs=1.2KHz；截止频率为fc=400Hz查表6.1得用s/Wc代入s系数值见书P136表，求出H§6.6数字滤波器的变换上节介绍的几种模拟滤波器特性的逼近，都是针对低通滤波器而言。实际上，有各种类型滤波器（低通、高通、带通、带阻等），这些滤波器都可以用低通原型滤波器导出。§6.6数字滤波器的变换上节介绍的几种模拟滤波器特性的逼模拟低通原型模拟/模拟频率变换模拟高通带通带阻数字高通带通带阻模拟/数字变换如采用脉冲响应不变法设计，则不能用于高通与带阻滤波器⑴模拟低通原型模拟/数字变换

数字低通原型数字高通带通带阻数字/数字频率变换⑵有两种方法：模拟低模拟/模拟模拟高通数字高通模拟/数字如采用脉冲响应不变一、模拟域的频率变换将第⑴种方法中的模拟/数字变换采用双线性变换法，与频率变换合并讨论。（一）模拟低通原型→数字高通0Ω模拟低通Ωc0模拟高通0ω数字高通ωc一、模拟域的频率变换将第⑴种方法中的模拟/数字变换采用双线性s为模拟低通原型拉氏变量为与Ωc相对应的高通截止频率若已知模拟低通系统函数可得到模拟高通系统函数⑴由模拟低通→模拟高通的变换变换关系Wc为模拟低通截止频率p为模拟高通原型拉氏变量s为模拟低通原型拉氏变量为与Ωc相对应的高通截止频率若已知模代入令⑵由模拟高通→数字高通采用双线性变换，将此式即为从模拟低通原型滤波器变换成数字高通滤波器的变换关系表达式。则有代入令⑵由模拟高通→数字高通采用双线性变换，将此式即为从可导出模拟低通与数字高通频率之间的关系：则可知代入

总结：由模拟低通原型→数字高通滤波器因为双线性变换，模拟高通与数字高通频率之间关系频率变换式参量表达式可导出模拟低通与数字高通频率之间的关系：则可知代入

总结：由0ωfωcfc

-3-140ωstfst解：⑴求对应的各类数字频率例6-6-1：设计一个巴特沃斯高通滤波器，其通带截止频率（-3dB点处）为fc=3kHz，阻带上限截止频率fst=2kHz，通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于14dB，抽样频率fs=10kHz，幅频特性如图。0ωωc-3-140ωst解：⑴求对应的各类数字频率例6-⑶求低通原型阻带截止频率Wst

（预畸变）⑷求阶数N，按阻带衰减要求巴特沃斯幅度平方函数三种形式的图如下⑵求C1，采用归一化低通原型滤波器，Wc=1⑶求低通原型阻带截止频率Wst（预畸变）⑷求阶数N，按阻带0-3-140ΩstΩcΩ求得取N=3阻带衰减不小于14dB11/20ΩstΩcΩα2

0Ω1|H(jΩ)|Ωc0.707Ωstα0-3-140ΩstΩcΩ求得取N=3阻带衰减不小于14dB⑹求数字高通滤波器HHP(z)可得⑸查表得，（书P136表6.1)归一化三阶巴特沃斯低通原型HLP(s)⑹求数字高通滤波器HHP(z)可得⑸查表得，（书P136表ω0为数字带通中心频率，ω1、ω2为边带截止频率0Ω模拟低通ΩcΩst0w数字带通w1w2w0wst1wst2（二）模拟低通原型→数字带通频率变换式参量表达式ω0为数字带通中心频率，ω1、ω2为边带截止频率0Ω模拟低ω0为数字带阻中心频率，ω1、ω2为边带截止频率0Ω模拟低通ΩcΩst0w数字带阻w1w2w0wst1wst2（三）模拟低通原型→数字带阻频率变换式参量表达式ω0为数字带阻中心频率，ω1、ω2为边带截止频率0Ω模拟低第⑵种方法中，由模拟低通原型→数字低通原型已讲过，讨论数字低通原型→低通、高通、带通、带阻等各类型。模拟低通原型模拟/数字变换数字低通原型数字高通带通带阻数字/数字频率变换⑵以上为由模拟低通原型滤波器到各种数字滤波器的变换方法，对于任何形式（直接型、级联、并联等）的模拟滤波器都适用。二、数字域的频率变换第⑵种方法中，由模拟低通原型→数字低通原型已讲过，讨论数对变换函数G(Z-1)的要求：HL(z)为因果稳定有理系统函数，变换成Hd(Z)必须也是因果稳定的有理系统函数。假设给定数字滤波器的低通原型系统函数为HL(z)，所求的数字滤波器系统函数为Hd(Z)，为了找到变换关系，设z-1=G(Z-1)，变换函数G(Z-1)即为HL(z)的z平面映射到Hd(Z)的Z平面的关系，即有对变换函数G(Z-1)的要求：假设给定数字滤波器的低通原型系设q与w分别为z平面与Z平面的数字频率变量即有z=ejq

，Z=ejwz平面Re(z)01Im(z)q

Z平面Re(Z)01Im(Z)w因此：①频率响应要满足一定要求，频率轴应能对应起来，即z平面的单位圆必须映射到Z平面单位圆上。②从因果稳定性上看，z平面单位圆内部必须映射到Z平面单位圆内部。③G(Z-1)必须是Z-1的有理函数。设q与w分别为z平面与Z平面的数字频率变量即有z=ejq，比较幅值与幅角，故有①②①式表明函数G(Z-1)在Z平面单位圆上的幅度必须恒等于1，这样的函数为全通函数；已有证明，满足上述全部要求的全通函数G(Z-1)为将z=ejθ，Z=ejω代入z-1=G(Z-1)则映射关系为比较幅值与幅角，故有①②①式表明函数G(Z-1)在Z平面单位N为全通函数阶数，可证明当ω由0到π时，全通相角arg[G(e-jω)]的变化量为Nπ，λ为整数，αk为G(Z-1)极点，要求|αk|<1，选择合适的N与αk，就可得到各类变换关系。（一）数字低通→数字低通此时HL(ejθ)与Hd(ejω)都是低通系统函数，只不过截止频率不同θp与ωp；因而θ从0变到π，相应ω也应从0变到π；按全通相角变化量为Nπ，可确定N=1。N为全通函数阶数，可证明当ω由0到π时，全通相角arg[G(z平面A点z=1，映射到Z平面C点Z=1，代入上式z平面Re(z)01Im(z)θpABθ=πZ平面Re(Z)0Im(Z)CDωp1ω=π则z平面A点z=1，映射到Z平面C点Z=1，代入上式z平面Rez平面B点z=ejθp映射到Z平面D点Z=ejωp

代入上式

z平面Re(z)01Im(z)θpABθ=πZ平面Re(Z)0Im(Z)CDωp1ω=π利用三角公式与欧拉公式，可求得z平面B点z=ejθp映射到Z平面D点Z=ejωp代设计公式变换公式因此，若已知数字低通原型滤波器的截止频率为θp，系统函数为HL(z)，可导出截止频率为ωp，系统函数为Hd(Z)的数字低通滤波器。设计公式变换公式因此，若已知数字低通原型滤波器的截止频率为θ设计公式变换公式类似可推出到各种滤波器的变换公式和设计公式（二）数字低通→数字高通设计公式变换公式类似可推出到各种滤波器的变换公式和设计公式（设计公式ω0为数字带通中心频率，ω1、ω2为边带截止频率（三）数字低通→数字带通变换公式设计公式ω0为数字带通中心频率，ω1、ω2为边带截止频率（三设计公式ω0为数字带阻中心频率，ω1、ω2为边带截止频率（四）数字低通→数字带阻变换公式书P139有误设计公式ω0为数字带阻中心频率，ω1、ω2为边带截止频率（四解：⑴求对应的各类数字频率0ω

数字带通ω1f1

ω2f2

ω0例6-6-2：用双线性变换法设计一个三阶巴特沃斯数字带通滤波器，抽样频率fs=720Hz，上、下边带截止频率分别为f1=60Hz，f2=300Hz。幅频特性如图解：⑴求对应的各类数字频率0ω数字带通ω1f1ω2f⑷求α，k⑶求数字低通滤波器HLP(z)⑵查表得，（书P136表6.1)归一化三阶巴特沃斯模拟低通原型HLP(s)⑷求α，k⑶求数字低通滤波器HLP(z)⑵查表得，（书P1归一化Wc=1⑸求数字带通滤波器Hd(Z)（结果略）§6.7计算机辅助设计方法（略）归一化Wc=1⑸求数字带通滤波器Hd(Z)（结果略）§6.7上式在概念上很清晰，但实际应用时计算可能比较麻烦设模拟系统函数为经双线性变换后的数字系统函数为双线性变换设计表格化上式在概念上很清晰，但实际应用时计算可能比较麻烦设模拟系统函一阶N=1二阶N=2A0A1B1R(d0+

d1c)/R(d0-

d1c)/R(e0-

e1c)/R(e0+e1c)A0A1A2B1B2R(d0+

d1c+d2c2)/R(2d0-2d2c2)/R(d0-

d1c+d2c2)/R(2e0-

e2c2)/R(e0-e1c-e2c2)/R(e0+e1c+e2c2)二者系数关系列表如下一阶N=1二阶N=2A0(d0+d1c)/RA0(§6.1IIR数字滤波器的设计概述一、设计步骤

1、按照实际任务确定滤波器的性能要求；

2、用一个因果稳定的系统函数去逼近这一要求（IIR、FIR两类系统）；

3、利用有限精度算法来实现这个系统函数（选择运算结构，选择合适字长，选择有效的数字处理方法）；

4、实际的技术实现（软件、硬件或二者结合）。§6.1IIR数字滤波器的设计概述一、设计步骤二、设计方法H(z)的设计就是要确定零、极点ci、di，以使滤波器满足给定的性能要求。1、零极点位置累试法根据H(z)在单位圆内的极点处出现峰值，在零点处出现谷值的特点，通过多次改变零极点位置来达到性能要求；（只适用于简单的滤波器设计）2、用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器；3、用优化技术设计二、设计方法H(z)的设计就是要确定零、极点ci、di，以使利用模拟滤波器来设计数字滤波器要先根据给出的性能指标设计出相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)，然后由Ha(s)经变换得到所需的数字滤波器的系统函数H(z)。时域变换法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、匹配z变换法；频域变换法有：双线性变换法、微分映照法三、设计原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器要先根据给出的性能指标设计出相§6.2模拟滤波器的数字仿真数字仿真就是要设计出数字滤波器Ld，当其输入为模拟滤波器La输入x(t)取样时，输出也为La输出y(t)的取样。t0x(t)y(t)t0t0ha(t)取样取样Ldx(n)y(n)Lax(t)y(t)n0x(n)=x(nT)Tn0h(n)Ty(n)=y(nT)n0T§6.2模拟滤波器的数字仿真数字仿真就是要设计出数字滤y(t)为曲线与坐标轴间面积，当T足够小时，可近似计算w(t)0Tt

…下面从时域与频域两方面分析实现数字仿真的条件一、时域的数字仿真设有一模拟滤波器（线性非移变的因果系统），x(t)与y(t)关系为y(t)为曲线与坐标轴间面积，w(t)0Tt…下面从时域与结论：当数字滤波器Ld的冲激响应h(n)=T·ha(nT)时，如果输入为La的输入x(t)的取样x(nT)时，输出为La的输出y(t)的取样y(nT)，即Ld是此La的数字仿真。时域仿真条件：

h(n)=Tha(nT)，称为冲激(脉冲)响应不变准则。令h(k)=Tha(kT)

令x(n)=x(nT)即对输入取样又有当数字滤波器的输入为x(n)时，y(n)有y(n)=y(nT)现对输出y(t)抽样，令t=nT代入上式结论：当数字滤波器Ld的冲激响应h(n)=T·ha(nT)时二、频域的数字仿真取样信号的频谱X^a(W)是原模拟信号的频谱Xa(W)的周期延拓。Ws=2p/TX^a(W)是取样信号xa(nT)的频谱，也即是离散信号x(n)=xa(nT)的傅氏变换。二、频域的数字仿真取样信号的频谱X^a(W)是原模拟信号的令h(n)=Tha(nT)，并以H(ejω)

表示h(n)的频谱，则因此，数字滤波器Ld的频率H(ejω)是其所仿真的模拟滤波器La的频响Ha(W)的周期延拓。ha(t)也是一模拟信号，对其取样即有ΩWs/2－Ws/2ΩWs/2－Ws/2Ha(W)令h(n)=Tha(nT)，并以H(ejω)表示h(n)结论：频域数字仿真条件：当|W|>Ws/2=p/T时，Ha(W)=0ΩWs/2－Ws/2Ha(W)ΩWs/2－Ws/2如上图，如果Ha(W)在－Ws/2～Ws/2之外为零，则在此区间内H(ejω)与Ha(W)完全一致，否则H(ejω)将产生混叠失真。结论：频域数字仿真条件：当|W|>Ws/2=p/T时，H综上所述：若有一个脉冲响应为ha(t)，频率响应为Ha(W)的模拟滤波器，当|W|>Wm时，Ha(W)=0，则可得到一个与之仿真的数字滤波器；其脉冲响应为h(n)=Tha(nT)，抽样周期满足Ws=2p/T≥2Wm；频率响应为H(ejw)，是Ha(W)的周期延拓，且在－Ws/2～Ws/2区间内与Ha(W)完全一致。综上所述：若有一个脉冲响应为ha(t)，频率响应为Ha(W)§6.3脉冲响应不变法（时域变换）因式分解有了刚才的基础（数字仿真），如何在给定模拟滤波器系统函数Ha(s)的情况下，求出数字滤波器系统函数H(z)。Ha(s)是模拟滤波器冲激响应的拉氏变换一、设计方法模拟滤波器系统函数且一般M<N§6.3脉冲响应不变法（时域变换）因式分解有了刚才的基将两边取拉氏反变换对ha(t)取样，周期为T由冲激响应不变准则h(n)=Tha(nT)，得到上式两边取z变换，得到H(z)化为部分分式合形式将两边取拉氏反变换对ha(t)取样，周期为T由冲激响应不变（收敛条件，且|esiTz-1|<1，即|z|>|esiT|）（式6.1）可看到二者各部分分式系数相同，H(z)各极点esiT

与Ha(s)各极点si对应。因此，只要将模拟滤波器的系统函数Ha(s)分解成部分分式和形式，就能立即写出相应的数字滤波器的系统函数H(z)。交换求和顺序比较Ha(s)与H(z)（收敛条件，且|esiTz-1|<1，即|z|>|esiT|解：模拟滤波器极点s1=-1s2=-3；系数A1=1A2=-1数字滤波器极点z1=e-1Tz2=e-3T则有例6-3-1：设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器。（设T=1）特性图解：模拟滤波器极点s1=-1s2=-3；系数A1=Wp/T|Ha(jW)|2p/Twp|H(ejw)|2p由于Ha(jW)不是充分带限的，所以造成H(ejw)产生了混叠失真二、S平面与Z平面的映射关系在比较Ha(s)的极点与H(z)的极点时，可知二者对应关系为zi=esiT，将极点映射关系推广，可得到z=esT。即z平面与s平面映射关系。特性图Wp/T|Ha(jW)|2p/Twp|H(ejw)|2p由于1、g与s关系g=esT⑴s=0（s的虚轴）对应于g=1（单位圆上）⑵s<0（s的左半平面）对应于g<1（单位圆内部）⑶s>0（s的右半平面）对应于g>1（单位圆外部）Im(z)z平面Re(z)01jΩσs平面0令z=gejw（极坐标）s=s+jW（复坐标），代入式z=esT故有g=esT

w=WT；即可知z平面的模和幅角与s平面实部与虚部的关系。1、g与s关系g=esTIm(z)z平面p/T-p/Tp/2T-p/2TjWss平面0Im(z)z平面Re(z)0p/2当W由p/T和-p/T

分别向外扩展时，每一宽度为2p/T的区域重复地映射到z平面上。（多值映射造成混叠的原因）2、w与W的关系w=WT⑴W=0（s平面实轴）对应于w=0（z平面正实轴）⑵W=W0

（常数）（s平行于实轴的直线）对应于w=W0T(z平面始于原点轴角为w的射线)例如当W=p/2T时，w=p/2，射线与纵轴重合p/T-p/Tp/2T-p/2TjWss平面0Im(z)z平Im(z)z平面Re(z)01jΩσs平面0π/T-π/Tπ/2T-π/2T模拟滤波器系统函数Ha(s)的极点都在s平面左半侧时，系统稳定正好映射为相应的数字滤波器系统函数H(z)的极点在单位圆内，与稳定条件相吻合。将二者关系合并Im(z)z平面Re(z)01jΩσs平面0π/T-π/Tπ三、特点⑴优点：由于是根据h(n)=Tha(nT)进行设计，保持了模拟滤波器的时域瞬态特性；⑵数字滤波器频率w与模拟滤波器频率W之间呈线性关系，w=WT，不会发生线性失真；⑶缺点：如果Ha(W)不是在-p/T～p/T严格带限，则会产生混叠失真。实际上，任何一个模拟滤波器其频响不可能是真正限带的，但只要在p/T以上锐减，保证其混叠失真足够小，仍能满足工程实际需要；⑷此法不能设计高通和带阻滤波器。三、特点⑴优点：由于是根据h(n)=Tha(nT)进行设计，§6.4双线性变换法（频域变换）它是为克服混叠失真即多值映射这一缺点而提出的一、变换原理首先把整个s平面压缩到某一中介平面（s1平面的）一条横带里（宽度为2π/T，从-π/T～π/T）再由标准变换关系z=es1T，将此横带变换到整个z平面上，这样使s平面与z平面是一一对应关系，可消除混叠失真。§6.4双线性变换法（频域变换）它是为克服混叠失真即多值c为待定常数这样Ω=±∞变到Ω1=±π/T，Ω=0变到Ω1=0，如图jΩss平面0π/T-π/T首先将s平面上jΩ轴压缩到s1上jΩ1轴一段[-π/T～π/T]

压缩关系为jΩ1

s1s1平面0c为待定常数这样Ω=±∞变到Ω1=±π/T，利用欧拉公式展开扩展到整个s平面，令s=jΩ，

s1=jΩ1将s1按标准关系映射到z平面上z=es1TjΩ1

s1s1平面0π/T-π/TIm(z)z平面Re(z)01利用欧拉公式展开扩展到整个s平面，令s=jΩ，s1=jΩ从而得到或这种变换称为双线性变换。以此，给定模拟滤波器系统函数Ha(s)，将上式代入，可得到相应的数字滤波器系统函数H(z)。将z=es1T代入从而得到或这种变换称为双线性变换。将z=es1T代入在低频处，为使Ω≈Ω1（使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较好的确切的对应关系）即当Ω1较小时，有此时模拟滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性二、s平面与z平面映射关系用s=s+jΩ，z=gejω代入系数c的确定于是则在低频处，为使Ω≈Ω1（使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较s>0右半平面g>1单位圆外s<0左半平面g<1单位圆内s=0虚轴g=1单位圆上jΩσs平面0当W由-∞～∞变化时，w由-p～p

变化（单位圆一周）。即W与w一一对应，不存在混叠失真。且有或可求得Im(z)z平面Re(z)01s>0右半平面g>1单位圆外jΩσT=1，则有例6-4-1：已知模拟滤波器Ha(W)=1/(1+s)，利用双线性变换法将其转换成数字滤波器H(z)。（设T=1）解：特性图T=1，则有例6-4-1：已知模拟滤波器Ha(W)=1/(1由图知，Ha(jΩ)不是带限的，有长拖尾，但由于采用双线性变换法，数字滤波器频率特性H(ejw)没有混叠现象。|Ha(jΩ)|Ωπ/T2π/Tωπ|H(ejω)|2πHa(jΩ)与H(ejw)幅频特性如图由图知，Ha(jΩ)不是带限的，有长拖尾，但由于采用双线性变

ωΩ-ππ0三、特点1、优点：模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的混叠失真。因而对Ha(Ω)无限带要求，且能直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型滤波器2、缺点：由于映射关系为w=2arctan(WT/2)，当W很小时，近似呈线性关系，当W增加，变换关系就是非线性的了。会产生相频特性失真。对于临界频率的影响比较大。对于临界频率的变化，可通过频率预畸变来加以校正。临界频率：介质频率、过渡带边缘频率、起伏峰点、谷点频率等ωΩ-ππ0三、特点1、优点：模拟滤波器经过双线性变换后，根据此截止频率来设计模拟滤波器最后再转换，得到的数字滤波器的截止频率正好被映射到所需位置上(wc)。怎样预畸变？书例6.1(P124)用双线性变换法设计一个三阶Butterworth数字低通滤波器，采样频率为fs=1.2KHZ，截止频率为fc=400HZ；数字滤波器截止频率wc=WcT=2pfc/fs=2p×400/1200=2p/3用双线性变换法，则相应的模拟滤波器截止频率为对数字滤波器相位要求严格时，不宜用此方法。根据此截止频率来设计模拟滤波器最后再转换，得到的数怎样预畸变说明：各种频率间关系1、在考虑数字滤波器的频率特性时，频率变量可用数字角频率w，也可用模拟角频率W来表示，W=2pf（实际情况下通常以f形式给出，单位为Hz，具有真正物理意义的频率变量）w=WT，w以2p为周期，W以2p/T为周期。（上述关系与设计方法无关）2、脉冲响应不变法中，变换关系w=WT与数字域角频率关系w=WT一致，即数字模拟角频率正好与模拟滤波器的角频率相等。 双线性变换法中，变换关系w=2arctan(WT/2)，W指模拟滤波器的角频率，并不是数字滤波器的模拟角频率，在数字域则仍有数字角频率w=W`T。说明：各种频率间关系1、在考虑数字滤波器的频率特性时，频率变§6.5模拟滤波器特性的逼近前面讨论给定模拟滤波器系统函数Ha(W)，求出数字滤波器系统函数H(z)的方法。本节讨论如何根据数字滤波器的性能指标设计模拟滤波器系统函数Ha(W)，使其逼近所需滤波器的性能要求。典型理想滤波器特性0Ω0Ω0Ω0Ω低通高通带通带阻§6.5模拟滤波器特性的逼近前面讨论给定模拟滤波器系统函0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0.707简绍几种典型的低通滤波器逼近方法一、巴特沃思（Butterworth）低通滤波器的逼近方法幅频特性如图，在通带与阻带内的幅频响应始终随频率的增大单调下降，且在通带内W→0与阻带内W→∞附近具有最平坦特性。随滤波器的阶次N的增大，幅频响应越接近理想。简称B型滤波器或BW型滤波器0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0.707简绍几种典型的低通滤波器3dB带宽：B型滤波器的系统函数（全极点滤波器）即在此处平方幅度（功率）下降一半（3dB），称为3dB带宽；或半功率点的截至频率。或而当W=Wc时，3dB带宽：B型滤波器的系统函数（全极点滤波器）即在此处平方CⅠ型滤波器幅频特性如图，在通带内幅频响应是等波纹的，在阻带内单调变化；波纹振动幅度由e决定。CⅡ型滤波器在阻带内幅频响应是等波纹的，在通带内单调变化。0Ω1|Ha(jΩ)|ΩcCⅠ型滤波器的系统函数（全极点滤波器）二、切比雪夫（Chebyshev）低通滤波器的逼近方法简称C型滤波器或CB型滤波器CⅠ型滤波器幅频特性如图，在通带内幅频响应是等波纹的，在阻带0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc三、考尔（Cauer）低通滤波器的逼近方法又称椭圆型滤波器椭圆型滤波器幅频特性如图，在通带和阻带内幅频响应是等波纹的。1、振幅频率特性B型在整个频带内都是单调下降的；C型在通带内等波纹振动，在过渡带和阻带单调下降；椭圆型除过渡带外，在通带和阻带都等波纹振动。四、三种滤波器的比较0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0Ω1|Ha(jΩ)|Ωc0Ω1|例如B型滤波器归一化为(当增益为1时d0=1)2、过渡带陡度椭圆型滤波器最陡，B型滤波器最差。因此，对于相同要求的过渡带特性，所需的滤波器阶次N，椭圆型为最低，B型为最高。3、设计的复杂性以及滤波器特性对参数变化的灵敏度。B型滤波器最好，C型次之，椭圆型最差。五、归一化原型滤波器设计数据由于模拟滤波器理论很成熟，一般都有现成的数据表格可查。归一化原型滤波器是指Wc已经归一化成Wc`=1的低通滤波器。例如B型滤波器归一化为(当增益为1时d0=1)2、过渡带陡度查表6.1得用s/Wc代入s系数值见书P136表，求出Han(s)后，用s/Wc代入s，即得Ha(s)书例6.1用双线性变换法设计一个三阶Butterworth数字低通滤波器，采样频率为fs=1.2KHz；截止频率为fc=400Hz查表6.1得用s/Wc代入s系数值见书P136表，求出H§6.6数字滤波器的变换上节介绍的几种模拟滤波器特性的逼近，都是针对低通滤波器而言。实际上，有各种类型滤波器（低通、高通、带通、带阻等），这些滤波器都可以用低通原型滤波器导出。§6.6数字滤波器的变换上节介绍的几种模拟滤波器特性的逼模拟低通原型模拟/模拟频率变换模拟高通带通带阻数字高通带通带阻模拟/数字变换如采用脉冲响应不变法设计，则不能用于高通与带阻滤波器⑴模拟低通原型模拟/数字变换

数字低通原型数字高通带通带阻数字/数字频率变换⑵有两种方法：模拟低模拟/模拟模拟高通数字高通模拟/数字如采用脉冲响应不变一、模拟域的频率变换将第⑴种方法中的模拟/数字变换采用双线性变换法，与频率变换合并讨论。（一）模拟低通原型→数字高通0Ω模拟低通Ωc0模拟高通0ω数字高通ωc一、模拟域的频率变换将第⑴种方法中的模拟/数字变换采用双线性s为模拟低通原型拉氏变量为与Ωc相对应的高通截止频率若已知模拟低通系统函数可得到模拟高通系统函数⑴由模拟低通→模拟高通的变换变换关系Wc为模拟低通截止频率p为模拟高通原型拉氏变量s为模拟低通原型拉氏变量为与Ωc相对应的高通截止频率若已知模代入令⑵由模拟高通→数字高通采用双线性变换，将此式即为从模拟低通原型滤波器变换成数字高通滤波器的变换关系表达式。则有代入令⑵由模拟高通→数字高通采用双线性变换，将此式即为从可导出模拟低通与数字高通频率之间的关系：则可知代入

总结：由模拟低通原型→数字高通滤波器因为双线性变换，模拟高通与数字高通频率之间关系频率变换式参量表达式可导出模拟低通与数字高通频率之间的关系：则可知代入

总结：由0ωfωcfc

-3-140ωstfst解：⑴求对应的各类数字频率例6-6-1：设计一个巴特沃斯高通滤波器，其通带截止频率（-3dB点处）为fc=3kHz，阻带上限截止频率fst=2kHz，通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于14dB，抽样频率fs=10kHz，幅频特性如图。0ωωc-3-140ωst解：⑴求对应的各类数字频率例6-⑶求低通原型阻带截止频率Wst

（预畸变）⑷求阶数N，按阻带衰减要求巴特沃斯幅度平方函数三种形式的图如下⑵求C1，采用归一化低通原型滤波器，Wc=1⑶求低通原型阻带截止频率Wst（预畸变）⑷求阶数N，按阻带0-3-140ΩstΩcΩ求得取N=3阻带衰减不小于14dB11/20ΩstΩcΩα2

0Ω1|H(jΩ)|Ωc0.707Ωstα0-3-140ΩstΩcΩ求得取N=3阻带衰减不小于14dB⑹求数字高通滤波器HHP(z)可得⑸查表得，（书P136表6.1)归一化三阶巴特沃斯低通原型HLP(s)⑹求数字高通滤波器HHP(z)可得⑸查表得，（书P136表ω0为数字带通中心频率，ω1、ω2为边带截止频率0Ω模拟低通ΩcΩst0w数字带通w1w2w0wst1wst2（二）模拟低通原型→数字带通频率变换式参量表达式ω0为数字带通中心频率，ω1、ω2为边带截止频率0Ω模拟低ω0为数字带阻中心频率，ω1、ω2为边带截止频率0Ω模拟低通ΩcΩst0w数字带阻w1w2w0wst1wst2（三）模拟低通原型→数字带阻频率变换式参量表达式ω0为数字带阻中心频率，ω1、ω2为边带截止频率0Ω模拟低第⑵种方法中，由模拟低通原型→数字低通原型已讲过，讨论数字低通原型→低通、高通、带通、带阻等各类型。模拟低通原型模拟/数字变换数字低通原型数字高通带通带阻数字/数字频率变换⑵以上为由模拟低通原型滤波器到各种数字滤波器的变换方法，对于任何形式（直接型、级联、并联等）的模拟滤波器都适用。二、数字域的频率变换第⑵种方法中，由模拟低通原型→数