第六节-函数最值及其-在经济中的应用课件

第六节函数最值及其

在经济中的应用一.闭区间上函数的最值二.实际问题的最值三.函数最值在经济分析中的应用1第六节函数最值及其

在经济中的应用一.教学目标1.理解函数的极值与最值之间的联系与区别.2.能用函数的极值理论求闭区间上连续函数的最值.3.掌握实际问题,特别是经济中的实际问题的最值.2教学目标1.理解函数的极值与最值之间的联系与区别.2.能在许多经济理论与实际实际应用中,常常遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使:“产品成本最低”,“产品用料最省”,“效率最高”等问题.这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题.一.闭区间上函数的最值函数ƒ(x)的最值与极值是两个不同的概念,最值是对整个定义域而言的,是整体性的概念.最值不仅可以在[a,b]的内点3在许多经济理论与实际实际应用中,常常遇到这样一类由于闭区间上连续函数一定有最大与最小值.由此,求闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的最值时,只需分别计算f(x)在开区间(a,b)内的驻点、导数不存在的点以及端点a和b处的函数值.然后加以比较,其中最大者就是函数ƒ(x)在[a,b]上的最大值,最小者就是函数ƒ(x)在[a,b]上的最小值.取得,也可以在[a,b]的端点取得;极值只可能在(a,b)的内点取得.最值最多只有一个最大值与最小值.而一个函数可能有若干个极大值或极小值.4由于闭区间上连续函数一定有最大与最小值.由此,求(1)求出函数ƒ(x)在区间(a,b)内所有可能的极值点(驻点和一阶导数不存在的点),设为x1,

x2,…,xn;(2)求出相应的函数值(3)比较(2)中所有函数值的大小,其最大者为函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上的最大值,最小者为函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上的最小值.

求闭区间[a,b]上连续函数ƒ(x)最值的一般步骤是:5(1)求出函数ƒ(x)在区间(a,b)内所有可解(1)f(x)在[2，2]上连续,(2)(4)驻点和一阶导数不存在的点处的函数值分别为解之得驻点为例1

求函数在闭区间上的最值.(3)令6解(1)f(x)在[2，2]上连续,(2)(4)(5)比较大小,在[-2，2]上的最大值为最小值为区间端点的函数值分别为注1若ƒ(x)在[a,b]上为单调连续函数,则其最值只能在端点上达到.

注2若ƒ(x)在某区间内仅有一个可能极值点x0,则当x0为极大(小)值点时,x0就是该函数在此区间上的最大(小)值点;f(0)=

0.7(5)比较大小,在[-2，2]上的最大值为最小值为区证考虑函数解之得驻点为又故为函数f(x)的唯一极大值点,也就是最大值点.所以,当x<1时,即例2证明：当x<1时,得8证考虑函数解之得驻点为又故为函数f解决实际问题最值的步骤:二.实际问题的最值(1)根据已知条件和要解决的问题,引入变量,将需要求最大值或最小值的变量设为因变量,把影响因变量的变量设为自变量,用适当的字母表示.(2)建立目标函数,确定自变量的取值范围．(3)求出目标函数在自变量的取值范围上的最值．(4)用所得的结果解释原问题．9解决实际问题最值的步骤:二.实际问题的最值(1)

注2

在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值或最小值,而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点,那么这个点

就是函数在此区间上的最值点.例3用一个边长为厘米的正方形钢板,四角各截去一个大小相等的小正方形,做成一个无盖的盒子,问截掉的小正方形的边长为多少时,方盒的容积最大?设圆柱形的罐头筒,容积V为常数,求表面积为最小时,底半径r与高h之比.10注2在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值解设截去的小正方形的边长为x,做成的无盖方盒的容积因为为V,则目标函数为由而所以x=8是函数的极大值点,而且x=8又是唯一的驻点,故也是函数的最大值点.故当截掉的小正方形边长为8厘米时,(舍去)得方盒的容积最大．11解设截去的小正方形的边长为x,做成的无盖方盒的容积因三.函数最值在经济中的应用

在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.

在本小节的讨论之前,先对下面所涉及的经济函数作如下的假定:设函数y=ƒ(x)是定义在区间I上的函数,且满足(1)函数y=ƒ(x)在区间I上可导;(2)如果函数y=ƒ(x)在区间I上有最大(小)值,则最大(小)值点位于区间I

的内部.12三.函数最值在经济中的应用在经济管理中,需要寻求企1.平均成本最小设企业的总成本函数为C=C(Q)若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平,这就是求平均成本函数的最小值问题.平均成本函数为

假设在产量Q=Q0时,平均成本达到最小,则由极值存在的必要条件,有131.平均成本最小设企业的总成本函数为C=C(Q)其中,AC表示平均成本.即当平均成本达到最小时,MC=AC.从而,MC=AC是取得最小平均成本的必要条件.例4某工厂生产产量为Q(件)时,生产成本函数(元)为求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小?并求出其最小平均成本和相应的边际成本.14其中,AC表示平均成本.即当平均成本达到最小时,且驻点唯一.解于是当Q=3时,平均成本达到最小,且最小平均成本为平均成本函数是则令得唯一的极小值点.故是15且驻点唯一.解于是当Q=3时,平均成本达到最小,且而边际成本函数为故当Q=3时,相应的边际成本为显然有平均成本(用AC表示)最小时,MC=AC16而边际成本函数为故当Q=3时,相应的边际成本为显然有平2.最大利润

设总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q),其中Q为销量,则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为=(Q)＝R(Q)–C(Q)

假设产量为Q0时,利润达到最大,则由极值的必要条件和极值的第二充分条件,

(Q0)必定满足:172.最大利润设总成本函数为C(Q),总收益函可见,当产量水平Q=Q0使得边际收益等于边际成本时,可获得最大利润.经济分析中,常用MR表示边际收益,MC表示边际成本.即当MR=MC时,可获得最大利润.18可见,当产量水平Q=Q0使得边际收益等于边这是因为,假设二者不等,当MR>MC时,则在产量Q=Q0的基础上再多生产一个单位产品,所增加的收益大于所增加的成本,因而利润有所增加.若MR<MC,则在产量Q=Q0的基础上再少生产一个单位产品,所减少的收益小于所减少的成本,因而利润有所增加.因此,MR=MC是取得最大利润的必要条件.19这是因为,假设二者不等,当MR>MC时,解

总成本函数为其中P为产品的价格.已知生产10件产品时的平

例5某产品的可变成本函数为需求函数为均成本为48(元/件),试求使利润最大的销售价．其中C0为固定成本.又因10件产品时的平均成本为48(元/件),即20解总成本函数为其中P为产品的价格.已知生产10件产品时总利润函数为解得固定成本C0=400,从而总收益函数为而故当价格P为17.57元时利润最大且驻点唯一.得驻点(元).21总利润函数为解得固定成本C0=400,从而总收益函数为而3.最优批量和批数当一个商场进一批货物时,除支付购买这批货物的成本外,还需一笔采购费.在货物没有出售完毕前,还需将部分货物库存起来,这需一笔库存费.最优批量问题是：如何决策每批的进货数量,即批量，使采购费与库存费之和达到最小.假设进货周期为t天,每次订货q吨,每次进货费用为

C1元,每天每吨货物库存费为C2元,每天对货物的需求量为

Q吨,库存量是均匀的,怎样订货才能使订货费和库存费之和最少？

例6223.最优批量和批数当一个商场进一批货物时,除

解显然,若将数量为q的货物库存t天,则库存费为在库存量均匀减少的情况下,库存费为23解显然,若将数量为q的货物库存t天,则库存费因此,一个周期内的总费用则每天的平均费用为从而24因此,一个周期内的总费用则每天的平均费用为从而24又而故为函数唯一的极小值点,即为最小值点.此时,每批的订货量为得令25又而故为函数唯一的极小值点,即为最小值点.此时,每批的

例7某商场每年销售某商品100万件,分批采购进货,每批进货数量相同.已知每批采购费为1000元,而未出售商品的库存费为每件0.05元/年.设库存商品数量是均匀的,问批量为多少时,才能使全年采购费与库存费之和达到最小?此时,采购费与库存费各是多少?解每年库存费为x,则库存量为每年采购费为设每年的库存费和定货的手续费为C,设每批进货数量为26例7某商场每年销售某商品100万件,分批采购一年的总费用函数为则得唯一驻点(舍去)由于此时则是总费用函数的极小值点,也是最小值点.故当批量为件时,采购费与库存费之和最小.27一年的总费用函数为则得唯一驻点(4.最优时间选择由于资金有时间价值,因而在分析投资问题时,必须把发生在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流.在经济分析中,一般的做法是将投资成本与投资收益先转化成投资成本的现值与投资收益的现值(经济学中称为贴现),然后再做投资决策分析.284.最优时间选择由于资金有时间价值,因而在分析投资解现值函数为

例8

设生长在某块土地上的木材价值y是时间t的函数其中t以年为单位,y以千元为单位,又树木生长期间的保养费不计.假设资金的年贴现率为r,按连续贴现计算,试确定伐木出售的最佳时间.于是29解现值函数为例8设生长在某块土地上的木材价令得唯一驻点可知,也是现值函数的最大值点,故伐木出售的最佳时间是当时,当时,于是,是现值函数的极大值点,由极值点的唯一性30令得唯一驻点可知,也是现值函数的最大值点,故伐木出售的最佳内容小结最值点应在极值点和闭区间端点上找;解决实际问题的最值，特别是利用最值理论解决经济分1.连续函数的最值建立目标函数及其取值区间求目标函数的最值.(关键)析中的问题.31内容小结最值点应在极值点和闭区间端点上找;解决实际问题的最思考练习

1.

某商家销售某种商品的价格满足关系p=7–0.2Q(万元/吨),且Q为销售量(单位:吨),产品的成本函数为

(1)若每销售一吨商品,政府要征税t

(万元),求该商家获最大利润时的销售量;(2)

t

为何值时,政府税收总额最大.C(Q)=3Q+1(万元)32思考练习1.某商家销售某种商品的价格满足关系p解

(1)当该商品的销售量为Q时,商品销售总收入为设政府征的总税额为T,则有T=tQ,且利润函数为是使商家获得最大利润的销售量.且驻点唯一.得驻点33解(1)当该商品的销售量为Q时,商品销售总收入为设(2)由(1)的结果知,政府税收总额为显然当t=2时,政府税收总额最大.但须指出的是:为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润,就应使Q=5/2(4–t)>0即

t满足限制0<t<4.显然t=2并未超出t的限制范围.34(2)由(1)的结果知,政府税收总额为显然当t=解故所求最大值为试求在[0,1]上2.设的最大值及因为令得(0,1)内的唯一驻点所以易判别x通过此点时由增变减,35解故所求最大值为试求在[0,1]上2第六节函数最值及其

在经济中的应用一.闭区间上函数的最值二.实际问题的最值三.函数最值在经济分析中的应用36第六节函数最值及其

在经济中的应用一.教学目标1.理解函数的极值与最值之间的联系与区别.2.能用函数的极值理论求闭区间上连续函数的最值.3.掌握实际问题,特别是经济中的实际问题的最值.37教学目标1.理解函数的极值与最值之间的联系与区别.2.能在许多经济理论与实际实际应用中,常常遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使:“产品成本最低”,“产品用料最省”,“效率最高”等问题.这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题.一.闭区间上函数的最值函数ƒ(x)的最值与极值是两个不同的概念,最值是对整个定义域而言的,是整体性的概念.最值不仅可以在[a,b]的内点38在许多经济理论与实际实际应用中,常常遇到这样一类由于闭区间上连续函数一定有最大与最小值.由此,求闭区间[a,b]上的连续函数f(x)的最值时,只需分别计算f(x)在开区间(a,b)内的驻点、导数不存在的点以及端点a和b处的函数值.然后加以比较,其中最大者就是函数ƒ(x)在[a,b]上的最大值,最小者就是函数ƒ(x)在[a,b]上的最小值.取得,也可以在[a,b]的端点取得;极值只可能在(a,b)的内点取得.最值最多只有一个最大值与最小值.而一个函数可能有若干个极大值或极小值.39由于闭区间上连续函数一定有最大与最小值.由此,求(1)求出函数ƒ(x)在区间(a,b)内所有可能的极值点(驻点和一阶导数不存在的点),设为x1,

x2,…,xn;(2)求出相应的函数值(3)比较(2)中所有函数值的大小,其最大者为函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上的最大值,最小者为函数ƒ(x)在闭区间[a,b]上的最小值.

求闭区间[a,b]上连续函数ƒ(x)最值的一般步骤是:40(1)求出函数ƒ(x)在区间(a,b)内所有可解(1)f(x)在[2，2]上连续,(2)(4)驻点和一阶导数不存在的点处的函数值分别为解之得驻点为例1

求函数在闭区间上的最值.(3)令41解(1)f(x)在[2，2]上连续,(2)(4)(5)比较大小,在[-2，2]上的最大值为最小值为区间端点的函数值分别为注1若ƒ(x)在[a,b]上为单调连续函数,则其最值只能在端点上达到.

注2若ƒ(x)在某区间内仅有一个可能极值点x0,则当x0为极大(小)值点时,x0就是该函数在此区间上的最大(小)值点;f(0)=

0.42(5)比较大小,在[-2，2]上的最大值为最小值为区证考虑函数解之得驻点为又故为函数f(x)的唯一极大值点,也就是最大值点.所以,当x<1时,即例2证明：当x<1时,得43证考虑函数解之得驻点为又故为函数f解决实际问题最值的步骤:二.实际问题的最值(1)根据已知条件和要解决的问题,引入变量,将需要求最大值或最小值的变量设为因变量,把影响因变量的变量设为自变量,用适当的字母表示.(2)建立目标函数,确定自变量的取值范围．(3)求出目标函数在自变量的取值范围上的最值．(4)用所得的结果解释原问题．44解决实际问题最值的步骤:二.实际问题的最值(1)

注2

在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值或最小值,而所讨论的区间内仅有一个可能的极值点,那么这个点

就是函数在此区间上的最值点.例3用一个边长为厘米的正方形钢板,四角各截去一个大小相等的小正方形,做成一个无盖的盒子,问截掉的小正方形的边长为多少时,方盒的容积最大?设圆柱形的罐头筒,容积V为常数,求表面积为最小时,底半径r与高h之比.45注2在实际问题中,若由分析得知确实存在最大值解设截去的小正方形的边长为x,做成的无盖方盒的容积因为为V,则目标函数为由而所以x=8是函数的极大值点,而且x=8又是唯一的驻点,故也是函数的最大值点.故当截掉的小正方形边长为8厘米时,(舍去)得方盒的容积最大．46解设截去的小正方形的边长为x,做成的无盖方盒的容积因三.函数最值在经济中的应用

在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定获得利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.

在本小节的讨论之前,先对下面所涉及的经济函数作如下的假定:设函数y=ƒ(x)是定义在区间I上的函数,且满足(1)函数y=ƒ(x)在区间I上可导;(2)如果函数y=ƒ(x)在区间I上有最大(小)值,则最大(小)值点位于区间I

的内部.47三.函数最值在经济中的应用在经济管理中,需要寻求企1.平均成本最小设企业的总成本函数为C=C(Q)若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平,这就是求平均成本函数的最小值问题.平均成本函数为

假设在产量Q=Q0时,平均成本达到最小,则由极值存在的必要条件,有481.平均成本最小设企业的总成本函数为C=C(Q)其中,AC表示平均成本.即当平均成本达到最小时,MC=AC.从而,MC=AC是取得最小平均成本的必要条件.例4某工厂生产产量为Q(件)时,生产成本函数(元)为求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小?并求出其最小平均成本和相应的边际成本.49其中,AC表示平均成本.即当平均成本达到最小时,且驻点唯一.解于是当Q=3时,平均成本达到最小,且最小平均成本为平均成本函数是则令得唯一的极小值点.故是50且驻点唯一.解于是当Q=3时,平均成本达到最小,且而边际成本函数为故当Q=3时,相应的边际成本为显然有平均成本(用AC表示)最小时,MC=AC51而边际成本函数为故当Q=3时,相应的边际成本为显然有平2.最大利润

设总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q),其中Q为销量,则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数为=(Q)＝R(Q)–C(Q)

假设产量为Q0时,利润达到最大,则由极值的必要条件和极值的第二充分条件,

(Q0)必定满足:522.最大利润设总成本函数为C(Q),总收益函可见,当产量水平Q=Q0使得边际收益等于边际成本时,可获得最大利润.经济分析中,常用MR表示边际收益,MC表示边际成本.即当MR=MC时,可获得最大利润.53可见,当产量水平Q=Q0使得边际收益等于边这是因为,假设二者不等,当MR>MC时,则在产量Q=Q0的基础上再多生产一个单位产品,所增加的收益大于所增加的成本,因而利润有所增加.若MR<MC,则在产量Q=Q0的基础上再少生产一个单位产品,所减少的收益小于所减少的成本,因而利润有所增加.因此,MR=MC是取得最大利润的必要条件.54这是因为,假设二者不等,当MR>MC时,解

总成本函数为其中P为产品的价格.已知生产10件产品时的平

例5某产品的可变成本函数为需求函数为均成本为48(元/件),试求使利润最大的销售价．其中C0为固定成本.又因10件产品时的平均成本为48(元/件),即55解总成本函数为其中P为产品的价格.已知生产10件产品时总利润函数为解得固定成本C0=400,从而总收益函数为而故当价格P为17.57元时利润最大且驻点唯一.得驻点(元).56总利润函数为解得固定成本C0=400,从而总收益函数为而3.最优批量和批数当一个商场进一批货物时,除支付购买这批货物的成本外,还需一笔采购费.在货物没有出售完毕前,还需将部分货物库存起来,这需一笔库存费.最优批量问题是：如何决策每批的进货数量,即批量，使采购费与库存费之和达到最小.假设进货周期为t天,每次订货q吨,每次进货费用为

C1元,每天每吨货物库存费为C2元,每天对货物的需求量为

Q吨,库存量是均匀的,怎样订货才能使订货费和库存费之和最少？

例6573.最优批量和批数当一个商场进一批货物时,除

解显然,若将数量为q的货物库存t天,则库存费为在库存量均匀减少的情况下,库存费为58解显然,若将数量为q的货物库存t天,则库存费因此,一个周期内的总费用则每天的平均费用为从而59因此,一个周期内的总费用则每天的平均费用为从而24又而故为函数唯一的极小值点,即为最小值点.此时,每批的订货量为得令60又而故为函数唯一的极小值点,即为最小值点.此时,每批的

例7某商场每年销售某商品100万件,分批采购进货,每批进货数量相同.已知每批采购费为1000元,而未出售商品的库存费为每件0.05元/年.设库存商品数量是均匀的,问批量为多少时,才能使全年采购费与库存费之和达到最小?此时,采购费与库存费各是多少?解每年库存费为x,则库存量为每年采购费为设每年的库存费和定货的手续费为C,设每批进货数量为61例7某商场每年销售某商品100万件,分批采购一年的总费用函数为则得唯一驻点(舍去)由于此时则是总费用函数的极小值点,也是最小值点.故当批量为件时,采购费与库存费之和最小.62一年的总费用函数为则得唯一驻点(4.最优时间选择由于资金有时间价值,因而在分析投资问题时,必须把发生在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流.在经济分析中