平面向量基本定理配套练习

平面向量基本定理一、选择题(每小题4分，共12分)1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()，e2-e1 ，e1-12e，6e1-4e2 +e2，e1-e2【解析】选D.选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.2.在△ABC中，∠C=90°，BC=12AB，则AB→° ° ° °【解析】选C.如图，作向量AD→=则∠BAD是AB→与B在△ABC中，因为∠C=90°，BC=12AB，所以∠ABC=60°所以∠BAD=120°.【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个向量共起点，导致误认为∠ABC是AB→与3.(2022·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→=3A.AD→=-13AB→+43C.AD→=43AB→+13【解析】选A.由题知AD→=AC→+CD→=AC→+13BC→=A二、填空题(每小题4分，共8分)4.若向量a与b的夹角为45°，则2a与-3b【解析】由于2a与a的方向相同，-3b与b的方向相反，因此2a与-3b的夹角和a与b的夹角互为补角，即2a与-3b答案：135°5.(2022·南京高一检测)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=23BC，若DE→=λ1AB→+λ2AC→(λ1，λ【解题指南】首先根据AD=12AB，BE=23BC确定点D，E的位置，从而确定DB→和AB→，BE→和【解析】由DE→=DB→+BE→=12AB→+23BC→=12AB→+23(答案：1三、解答题6.(10分)(教材P92A组T11改编)(2022·昆明高一检测)如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=13OB，设OA→=a，OB→=b，用a，b表示向量【解析】因为AC=BA，所以BC→=2BA→=2(所以OC→=OB→+BC→=b+2(a-因为DB=13OB，所以OD→所以DC→=OC→-OD→=2a-b-2一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知向量a与b是不共线的非零向量，实数x，y满足(2x-y)a+4b=5a+(x-2y)b B.1 【解析】选B.由已知得(2x-y-5)a+(-x+2y+4)b=0.因为a与b不共线，所以2所以x+y=1.2.已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若2PD→=(1-λ)PA→+边所在的直线上 边所在的直线上边所在的直线上 D.△ABC的内部【解题指南】根据点D是AB的中点得PA→+PB→=2PD→，在等式2PD→=(1-λ)PA→+CB→中，把2【解析】选C.因为边AB的中点为D，所以PA→+PB→=2PD→，因为2PD→=(1-λ)PA→+CB→，所以PA→+P二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知e1与e2不共线，a=e1+2e2，b=λe1+e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________.【解析】当a∥b时，设a=mb，则有e1+2e2=m(λe1+e2)，即e1+2e2=mλe1+me2，所以1=mλ,2=m,解得λ=12，即当λ=12时，又a与b是一组基底，所以a与b不共线，所以λ≠12答案：-∞,14.(2022·荆门高一检测)如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→.其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|=|OB→|=1，|OC【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC→=OD在Rt△OCD中，因为|OC→|=23，∠COD=30°，∠OCD=90°，所以|OD→|=4，|CDOE→=2OB→，即λ=4，μ=2，所以答案：6三、解答题5.(10分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底.(2)以a，b为基底，求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=λa+μb，求λ，μ的值.【解析】(1)若a，b共线，则存在λ∈R，使a=λb，则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1，e2不共线得，λ=1,3λ=-2,所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m，n∈R)，得3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2所以m+n=3,-2m+3n=-1,所以c=2a+b(