2023版山西数学中考总复习第四章三角形第13节-特殊三角形

第13节特殊三角形1中考课标导航2必备知识梳理3中考考点精讲4课堂巩固提升中考课标导航有的放矢课标考点考情了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理探索并掌握等腰三角形的判定定理探索等边三角形的性质定理和判定定理1.等腰三角形的性质与判定5年5考续表课标考点考情了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理掌握有两个角互余的三角形是直角三角形探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题2.直角三角形的性质与判定5年5考续表本节复习目标1.能准确叙述特殊三角形的性质定理和判定定理2.能用特殊三角形的性质定理和判定定理进行计算与证明3.能理解推理过程，解释每一步的依据必备知识梳理深根固柢一、等腰三角形的性质与判定名称等腰三角形等边三角形（特殊的等腰三角形）概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形三条边都相等的三角形叫做__________性质（1）等腰三角形的两底角_____（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）（3）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，其对称轴是______________________________________________________（1）三边相等（2）三个内角都相等，并且每一个角都等于_____（3）等边三角形是轴对称图形，有_____条对称轴（4）等边三角形具有等腰三角形的全部性质相等顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线等边三角形360°名称等腰三角形等边三角形（特殊的等腰三角形）性质（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“_______________”（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角等于60°的_______________”是等边三角形等角对等边等腰三角形续表名称等腰三角形等边三角形（特殊的等腰三角形）重要结论（1）两腰上的高、中线、两底角的平分线的长度相等（2）顶角的邻补角的平分线与底边平行（如图1，AD∥BC）（3）底边（或其延长线）上一点到两腰的距离和（或差）等于任一腰上的高（如图2，ED+FD=BH）续表二、

直角三角形的性质与判定名称直角三角形概念有一个角是直角的三角形叫做直角三角形性质（1）直角三角形的两个锐角_____（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____

（3）勾股定理：________________________________________（4）等腰直角三角形：两腰相等，两底角的度数均为45°互余一半直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方名称直角三角形判定（高频考点）（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形（2）有两个角互余的三角形是直角三角形（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形续表名称直角三角形重要结论续表中考考点精讲深入浅出

考点一

等腰三角形的性质与判定1.（2022温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD=∠EDB．证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB.（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．解：CD=ED.理由如下：∵AC=AB，∴∠C=∠ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC.∴∠ADE=∠AED.∴AD=AE.∴AC-AD=AB-AE，即CD=BE.由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，∴CD=ED．2.如图，在△ABC中，AB

=

AC，点D是CA延长线上一点.（1）若过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F，求证：AF

=

AD.证明：如答图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，∴∠AGB=90°.∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.∴∠BAG=∠CAG.∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°.∴∠AGB=∠DEB，∴AG∥DE.∴∠BAG=∠AFD，∠CAG=∠D.∴∠D=∠AFD.∴AD=AF.（2）若点F是AB上一点，连接DF并延长交BC于点E，AD

=

AF，求证：DE⊥BC.证明：如答图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，∴∠AGB=90°.∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.∴∠BAG=∠CAG.∵AD=AF，∴∠AFD=∠D.∵∠DAF+∠D+∠AFD=180°，∠DAF+∠BAG+∠CAG=180°.∴∠BAG=∠AFD.∴AG∥DE.∴∠DEB=∠AGB=90°.∴DE⊥BC.3.（2022怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN

=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP

=

NP.证明：如答图，过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，在等边三角形ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ=∠B=60°，∠AQM=∠ACB=60°，∠QMP=∠N.∴△AMQ是等边三角形.∴AM=QM.∵AM=CN，∴QM=CN.3.（2022怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN

=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP

=

NP.在△QMP和△CNP中，∠QMP=∠N，∠QPM=∠CPN，QM=CN，∴△QMP≌△CNP（AAS）.∴MP=NP.（2）若AB

=

a，求线段PH的长．（结果用含a的代数式表示）

考点二

直角三角形的性质与判定4.可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称之为勾股数.下面一组数是勾股数的为（）D解：AD⊥BC.理由如下：∵AB=5，BD=3，AD=4，∴BD2+AD2=32+42=25，AB2=52=25.∴BD2+AD2=AB2.∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°.∴AD⊥BC.（2）求三角形ABC的面积.6.已知，在△ABC

中，BD是边AC

上的中线，AD

=

BD，判断△ABC的形状，并说明理由.解：△ABC是直角三角形.理由如下：∵AD

=

BD，∴∠A

=∠ABD.∵BD是边AC上的中线，∴AD

=CD.∴CD

=

BD.∴∠C

=∠CBD.∵∠A+∠ABD

+∠C

+∠CBD

=180°，∴∠ABD

+∠CBD

=90°，即∠ABC

=90°.∴△ABC是直角三角形.

1.在解决与直角三角形相关的问题时，要联想到与其相关的知识：（1）角的关系，两锐角互余.（2）边的关系——①勾股定理；②斜边上的中线等于斜边的一半.2.分数注意勾股数必须是满足勾股定理的正整数.3.在运用勾股定理逆定理证明直角三角形时，必须分别算出两边的平方和与第三边的平方，然后再判断它们是否相等.例如，第5题中必须计算BD2+AD2=32+42=25，AB2

=52

=25，再判断BD2

+AD2=AB2，最后才能得到△ABD是直角三角形.4.如图，过Rt△ABC直角顶点A作斜边BC的垂线，得到△BAD

∽△ACD

∽△BCA.随堂笔记课堂巩固提升举一反三1.（2022哈尔滨期末）如图，∠C=90°，AC=BC，AB=8

cm，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则△AED的周长是_____cm.82.

如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则PM的长是_____.73.如图，在等边三角形ABC中，点D是边AC上的动点（不与A，C重合），点E是边AB上的动点（不与A，B重合），连接BD，CE，且BD与CE交于