导学案：分期付款问题中的有关计算

分期付款问题中的有关计算课前预习导学目标导航学习目标重点难点1．知道分期付款的含义；2．能解决分期付款中的计算问题.重点：分期付款中的计算问题；难点：分期付款原理的理解.预习导引分期付款的含义及计算在分期付款中，每月的利息均按______计算；分期付款中规定每期所付款额______；分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；各期所付款额连同到最后一次付款所生的________等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．预习交流解决分期付款中的计算问题时，主要有哪两种方法？自我感悟在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：复利相同利息之和预习交流：提示：假设贷款额为a，年(月)利率为p，采用“等额本息还款法”，每年(月)还款数为x，则有以下两种方法：①可以把分期付款理解为零付整取，到最后一次付款时，一次冲掉应付款和利息，设每月等额还x元，则有等式：x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)n－1＝a(1＋p)n.可解得x＝eq\f(pa(1＋p)n,(1＋p)n－1).②还可以理解为每次付款后冲掉部分应付款及相应利息．设每次还款x元，每次还款后欠款所组成的数列为{an}，则有a1＝a(1＋p)－x，a2＝a1(1＋p)－x＝a(1＋p)2－x[1＋(1＋p)]，a3＝a(1＋p)3－x[1＋(1＋p)＋(1＋p)2]，…an＝a(1＋p)n－x[1＋(1＋p)＋(1＋p)2＋…＋(1＋p)n－1]．令an＝0，则化归为第①种情况．课堂合作探究问题导学一、分期付款方式一——等额本息还款法活动与探究1小明同学准备购买笔记本电脑，向银行贷款1万元，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(即利息按月以复利计算，每期付款数额相同，一个月为一期，购买后一个月付款一次，以后每月付款一次)，共付24期，月利率为5%，小明每月应还多少钱？思路分析：由于是月均等额还本付息方法分期付款，故可考虑每次还款后的欠款数，只须使第24次还款后的欠款数为零即可．迁移与应用张老师购买安居工程集资房92m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清．如果按年利率%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到1元)参考数据：≈，≈，≈.名师点津一般地，采用分期付款方式贷款a元，分m个月等额还清，贷款月利率为r，每月付款x元，则必有x＝eq\f(ar(1＋r)m,(1＋r)m－1)元．解决这类分期付款问题时，可从两种方法去思考解决，都要用到等比数列求和公式进行计算．二、分期付款方式二——等本加付欠款利息法活动与探究2某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？思路分析：在这种付款方式中，每月付款数不同，它分为两部分，一部分是相同的，就是每月应付贷款本金的平均数，不同的是每月还款的利息数不同，第一个月应付利息为1000×1%，第二个月应付利息为(1000－50)×1%，…，第n个月应付利息为[1000－50(n－1)]×1%.迁移与应用“五一”期间，某商场为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价格2150元．第一种付款方式：购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付200元，并加付欠款利息，每月利息按复利计算，月利率1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试计算两种付款方式每月所付金额及购买这件家电总共所付金额．≈名师点津等本加付欠款利息法分期付款时，每个月所付款额不相等，但它们构成等差数列，所以可用等差数列的通项公式求出每个月所付的款数，可用前n项和公式求出所付款的总数．当堂检测1．某人从2022年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2022年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位：元)为()．A．a(1＋r)7B．eq\f(a,r)[(1＋r)7－(1＋r)]C．a(1＋r)8D．eq\f(a,r)[(1＋r)8－(1＋r)]2．国家鼓励职工购买住房，在一次性交付一定金额后，不足部分可向银行贷款．按政策性贷款年息为%，可以分期付款，某职工根据自己的实际情况，每年最多可偿还1万元，计划5年还清(银行贷款按复利计算)，问该职工最多能贷多少万元？3．某牛奶厂2022年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率达到50%.每年年底扣除下一年的消费资金后，余下的资金投入再生产．问该牛奶厂每年最多扣除多少消费资金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标？4．某大学毕业生小刘年初向银行贷款20万元用于创业，银行为鼓励大学生创业，将贷款利率给其优惠，优惠后年利率为6%，按复利计算．若这笔借款要求分15年等额归还，每年还一次，15年还清，并在借款后下一年初开始归还，向小刘每年应还多少钱？(精确到1元，≈4，≈6，≈9)盘点收获提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：设每月还款x元，购买1个月后的欠款数为10000×(1＋5%)－x，购买2个月后的欠款数为[10000×(1＋5%)－x]×(1＋0.4575%)－x，即10000×5752－575x－x，购买3个月后的欠款数为(10000×5752－575x－x)×575－x，即10000×5753－5752x－575x－x，…购买24个月后的欠款数为10000×57524－57523x－57522x－…－575x－x，由题意：10000×57524－57523x－57522x－…－575x－x＝0，即x＋575x＋5752x＋…＋57522x＋57523x＝10000×57524，所以x·eq\f(1·(1－57524),1－575)＝10000×57524，解得x≈.故小明每月应还元．迁移与应用：解：设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购买十年后)，第一年付款及所生利息之和为x×元，第二年付款及所生利息之和为x×元，…第九年付款及所生利息之和为x×元，第十年付款为x元．而所购房余款的现价及其利息之和为[1000×92－(28800＋14400)]×＝48800×(元)．因此有x(1＋＋＋…＋＝48800×.所以x＝48800××eq\f－1,－1)≈48800××≈7141元．答：每年需交款7141元．活动与探究2：解：因购房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}．则a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝，…∴an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－eq\f(1,2)(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)．∴{an}是以60为首项，－eq\f(1,2)为公差的等差数列．∴a10＝60－9×eq\f(1,2)＝.∴第10个月应付(万元)．a20＝60－19×eq\f(1,2)＝.∴S20＝eq\f(1,2)×(a1＋a20)×20＝10×(60＋＝1105.∴实际共付1105＋150＝1255(万元)．迁移与应用：解：第一种付款方式：购买时付出150元，则欠款2000元，按要求共10次付清，则以后：第一次应付a1＝200＋2000×＝220(元)；第二次应付a2＝200＋(2000－200)×＝200＋1800×＝218(元)；…第n次应付an＝200＋[2000－(n－1)×200]×＝200＋20－(n－1)×2(元)．每次所付的款额顺次构成数列{an}，{an}是以220为首项，－2为公差的等差数列，10次付款总和为S10＝10×220＋eq\f(10×9,2)×(－2)＝2200－90＝2110(元)．2110＋150＝2260(元)．所以实际共付2260元．第二种付款方式：购买时付出150元，余款10个月后增值为2000(1＋1%)10.设每月付款x元．依题意可得x＋x(1＋1%)＋x(1＋1%)2＋…＋x(1＋1%)9＝2000(1＋1%)10.解之，得x＝eq\f(2000××,－1)≈210(元)，即每月付款210元，所以实际共付210×10＋150＝2250(元)．当堂检测1．B解析：2022年1月1日，2022年1月1日，…，2022年1月1日存入钱的本息分别为a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6.相加即可．2．解：设最多能贷x万元，则有1＋＋＋＋＝，

解得x≈万元．3．解：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费资金．2022年底剩余资金是a1＝1000(1＋50%)－x；2022年底剩余资金是a2＝[1000(1＋50%)－x]·(1＋50%)－x＝1000(1＋50%)2－(1＋50%)x－x；…5年后剩余资金是a5＝1000(1＋50%)5－(1＋50%)4x－(1＋50%)3x－(1＋50%)2x－(1＋50%)x－x.由题意知，a5≥2000，解得x≤(万元)．所以每年最多扣除424