新课标最高考系列数学总复习课时训练213函数模型及其应用(含答案详析)

第二章函数与导数第13课时函数模型及其应用1.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为________台．答案：150剖析：由题意可得25x－yy＝0.1x2＋5x－3000≥0，解得x≤－200或x≥150.2.物体在常温下的温度变化能够用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一准时间t(min)后的温度是1tT，则T－Ta＝(T0－Ta)·h，其中Ta称为环境温度，h称为半2衰期．现有一杯88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，若是咖啡降到40℃需要20min，那么这杯咖啡要从40℃降到32℃，还需________时间．答案：101t剖析：由题设知Ta＝24℃，令T0＝88，T＝40，t＝20，代入T－Ta＝(T0－Ta)·h，得2h＝10，令T0＝40，T＝32，代入可得t＝10.c，x<A，3.依照统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(min)为f(x)＝x(A、cc，x≥AA为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．答案：60，16cf（4）＝2＝30，解得c＝60,A＝16；剖析：当A>4时，f（A）＝c＝15，Af（4）＝c＝30，A当A≤4时，无解．f（A）＝c＝15，A4.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则最少需要过滤的次数为________．(参照数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4770)答案：141＋lg2剖析：由(1－20%)n<5%，n>log0.80.05，化简得n>，解得n>13.4，则n的最小值1－3lg2为14.5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备花销为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间x天，且每件产品每日的仓储花销为1元，为使平均到每件产品的生产准备花销8________件．与仓储花销之和最小，每批应生产产品答案：80x剖析：设平均到每件产品的生产准备花销与仓储花销之和为f(x)，则f(x)＝800＋8·x·1＝x800x≥2800x800x，即x＝80件时，取最小值．x＋·＝20，当且仅当x＝8x88用总长为14.8m的钢条做一个长方体容器的框架，若是所做容器有一边比另一边长0.5m，则它的最大容积为________．答案：1.8m31剖析：设长方体的宽为x，则长为(x＋0.5)，则高为4[14.8－4x－4（x＋0.5）]＝3.2－2x，于是容积V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，求导计算可得最大容积为1.8m3.7.商家平时依照“乐观系数准则”确定商品销售价格，即依照商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实质销售价格c＝a＋x(b－a)，这里x被称为乐观系数．经验表示，最正确乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，据此可得，最正确乐观系数x的值等于________．5－1答案：2剖析：由条件得，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，∴(c－a)2＝[(b－a)＋(a－c)](b－a)，由c＝a＋c－ax(b－a)，∴b－a＝x，(c－a)2＝∴x＝5－1.2

c－ac－a112＋x－1＝0，x＋（a－c），由题意，c－a≠0，∴1＝－1·，即xxxx8.如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则lS的最大值为________．5π答案：4剖析：设正方形的边长为a(a≥1)，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点1G的轨迹是由半径均为2的四段圆弧、长度均为a－1的四条线段围成的封闭图形，周长l＝π＋4(a－1)，面积S＝a2－1π，所以l－S＝－a2＋4a＋5π－4，a≥1，由二次函数知识合适a445π＝2时，l－S获取最大值4.渔场中鲜鱼的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实质养殖量不能够达到最大，必定留出合适的悠闲量．已知鱼群的年增加量y吨和实质养殖量x吨与悠闲率的乘积成正比，比率系数为k(k>0)(悠闲率：悠闲量与最大养殖量的比值)．写出y关于x的函数关系式，并求其定义域；求鱼群年增加量的最大值；(3)当鱼群的年增加量达到最大时，求k的取值范围．m－xx解：(1)y＝kx·＝kx1－m(0≤x<m)．m(2)y＝－kx－m2，当x＝m时，y取到最大值ymax＝km2＋km，即鱼群年增加量的最大kmm424值为4.km由题意，0≤x＋y<m，则有0≤2＋4<m，解得－2≤k<2，但k>0，所以0<k<2.在淘宝网上，某商店专卖当地某种特产．由过去的经验表示，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克，1<x≤5)满足：当1<x≤3时，y＝a(x－3)2＋b70x＋490.已知当销售价格为2元/千克时，每日x－1(a、b为常数)；当3<x≤5时，y＝－可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．求a、b的值，并确定y关于x的函数剖析式；(2)若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使商店每日销售该特产所赢收益f(x)最大(x精确到0.01元/千克)．解：(1)因为x＝2时，y＝700；x＝3时，y＝150，b所以2＝150，解得a＝400，b＝300.a＋b＝700，400（x－3）2＋300（1<x≤3），每日的销售量y＝x－170x＋490（3<x≤5）.(2)由(1)知，①当1<x≤3时，每日销售收益f(x)＝400（x－3）2＋300(x－1)＝x－1400·(x－3)2(x－1)＋300＝400(x3－7x2＋15x－9)＋300(1<x≤3)．由f′(x)＝400(3x2－14x＋15)，5令f′(x)＝0，得x＝3或x＝3.且当x∈1，53时f′(x)>0，f(x)单调递加；5当x∈3，3时f′(x)<0，f(x)单调递减．5所以，x＝3是函数

f(x)在(1，3]上的唯一极大值点，

532f3＝400×27＋300>700；②当3<x≤5

时，每日销售收益

f(x)＝(－70x＋490)(x－1)＝－70(x2－8x＋7)，f(x)在

x＝4有最大值，5且f(4)＝630<f3.综上，销售价格x＝53≈1.67元/千克时，每日收益最大．11.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获取10～1000万元的投资收益．现准备拟定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且奖金不高出9万元，同时奖金不高出投资收益的20%.现有两个奖励方案的函数模型：y＝x＋2；(2)y＝4lgx－3.150试问这两个函数模型可否吻合该公司要求，并说明原由．解：设奖励函数模型为y＝f(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足以下条件：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤15x恒成立.x①关于函数模型f(x)＝150＋2：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，100020则f(x)max＝f(1000)＝150＋2＝3＋2<9.所以f(x)≤9恒成立．因为函数f（x）＝1＋2在[10，1000]上是减函数，x150xf（x）1211所以xmax＝150＋10>5.从而f(x)≤5x不恒成立．故该函数模型不吻合公司要求．②关于函数模型f(x)＝4lgx－3：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9.所以f(x)