导学案 向量减法运算及其几何意义

2.2.2向量减法运算及其几何意义自主学习知识梳理1．相反向量(1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝______.②若a，b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝______.③零向量的相反向量仍是__________．2.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的___________________________________________________________________．(2)作法：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝__________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝________.自主探究我们已经知道向量不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，若以向量－b去替换向量b就会得到向量不等式：________________________.当向量a、b共线同向且|a|≥|b|时，有________________；当向量a，b共线反向时，有________________________；当向量a，b不共线时，总有________________________．对点讲练知识点一作两向量的差向量例1任意画一对向量a，b，求作它们的差．回顾归纳需要根据不同的情况分别求解．我们首先要考虑向量a、b是否共线，如果共线是同向还是反向，(1)当两向量a、b共线时，如果它们同向，则|a－b|＝||a|－|b||(当|a|≥|b|时，为|a|－|b|；而当|a|<|b|时，为|b|－|a|)；如果它们反向，则|a－b|＝|a|＋|b|.(2)当两向量a、b不共线时，根据三角形中两边之和总是大于第三边，而两边之差总是小于第三边可得：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.变式训练1如图所示，在正五边形ABCDE中，Aeq\o(B,\s\up6(→))＝m，Beq\o(C,\s\up6(→))＝n，Ceq\o(D,\s\up6(→))＝p，Deq\o(E,\s\up6(→))＝q，Eeq\o(A,\s\up6(→))＝r，求作向量m－p＋n－q－r.知识点二向量减法的简单运算例2化简：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．回顾归纳方法一是将向量的减法转化为加法进行化简的；方法二是利用了eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))进行化简的；方法三是利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))进行化简的，要注意eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，而不是eq\o(BC,\s\up6(→)).变式训练2化简：(1)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))；(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．知识点三向量减法的几何意义及应用例3在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，先用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(DB,\s\up6(→))，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？回顾归纳向量的表示、向量的加减法的定义都是与图形相联系的，体会|a|，|b|，|a＋b|，|a－b|在相应图形中的含义是解题的关键．变式训练3如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，试作出下列向量并分别求出其长度．(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(AD,\s\up6(→))＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.课时作业一、选择题1.如图所示，在四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up6(→))等于()A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c2．化简eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的结果等于()\o(QP,\s\up6(→)) \o(OQ,\s\up6(→)) \o(SP,\s\up6(→)) \o(SQ,\s\up6(→))3．在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))等于()A．2eq\o(AB,\s\up6(→)) B．2eq\o(BA,\s\up6(→)) C．2eq\o(CD,\s\up6(→)) D．2eq\o(DB,\s\up6(→))4．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝8，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[3,8] B．(3,8)C．[3,13] D．(3,13)5．边长为1的正三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|的值为()A．1 B．2\f(\r(3),2) \r(3)二、填空题6．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.7.如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝__________.8．已知非零向量a，b满足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝______.三、解答题9.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(DA,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，求证：b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up6(→)).10.如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).2.2.2向量减法运算及其几何意义答案知识梳理1．(1)相等相反(2)①0②－b0③零向量2．(1)相反向量(2)eq\o(BA,\s\up6(→))(3)始点终点eq\o(BA,\s\up6(→))自主探究||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b||a－b|＝|a|－|b||a－b|＝|a|＋|b|||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|对点讲练例1解(1)当a、b共线时，有a、b同向和反向两种情况：①a、b共线同向：如图①，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－b，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－b；②a、b共线反向：如图②，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－b，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－b＝a＋(－b)．(2)若a、b不共线，有两种作法．第一种作法：如图甲，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，第二种作法如图乙，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OB′,\s\up6(→))＝－b，则由向量加法的平行四边形法则，可得eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.变式训练1解如图所示，延长AC到Q.使CQ＝AC，则m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝Aeq\o(C,\s\up6(→))－Ceq\o(A,\s\up6(→))＝Aeq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(Q,\s\up6(→))＝Aeq\o(Q,\s\up6(→)).例2解方法一(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.方法二(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.方法三设O为平面内任意一点，则(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.变式训练2解(1)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋(eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.例3解由向量加法的平行四边形法则，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b.则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．变式训练3解(1)由已知得a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，∴延长AC到E，使|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|.则a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up6(→))，且|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).∴|a＋b＋c|＝2eq\r(2).即eq\o(AE,\s\up6(→))为所求向量，其长度为2eq\r(2).(2)作eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，连接CF，则eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，而eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b，∴a－b＋c＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))且|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝2.∴|a－b＋c|＝2.即eq\o(DF,\s\up6(→))为所求向量，其长度为2.课时作业1．A3．A[eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).]4．C[∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|且||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||≤|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|≤|Aeq\o(C,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|.∴3≤|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|≤13.∴3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.]5．D[如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，则eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝eq\r(3)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(3).]\o(CA,\s\up6(→))7．a－b＋c解析eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋c－b＝a－b＋c.8．4解析如图所示．设Oeq\o(A,\s\up6(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up6(→))＝b，则|Beq\o(A,\s\up6(→))|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|Oeq\o(C,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42.故|Oeq\o(A,\s\up6(→))|2＋|Oeq\o(B,\s\up6(→))|2＝|Beq\o(A,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|Oeq\o(C,\s\up6(→))|＝|Beq\o(A,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4.9．证明方法一∵b＋c＝eq\o(DA,\s\