北京市第四十四中学2023年高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．2．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（）A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）3．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．4．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（）A．0 B．1 C． D．5．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（）A． B． C． D．6．设集合，，若，则（）A． B． C． D．7．设、，数列满足，，，则（）A．对于任意，都存在实数，使得恒成立B．对于任意，都存在实数，使得恒成立C．对于任意，都存在实数，使得恒成立D．对于任意，都存在实数，使得恒成立8．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（）m．A．1 B． C． D．29．设，其中a，b是实数，则（）A．1 B．2 C． D．10．如图，四边形为正方形，延长至，使得，点在线段上运动.设，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列12．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B． C． D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______.14．已知点P是直线y=x+1上的动点，点Q是抛物线y=x2上的动点.设点M为线段PQ的中点，O为原点，则15．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________.16．的展开式中的常数项为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点是直线的一点，过点作曲线的切线，切点为，求的最小值.18．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数.20．（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.21．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程；②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式：，22．（10分）已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【答案解析】

利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【题目详解】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.故选D.【答案点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.2．D【答案解析】

求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.【题目详解】集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），∴A∩B＝（0，），∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.故选：D.【答案点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.3．B【答案解析】

因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案.【题目详解】将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，又和的图象都关于对称，由，得，，即，又，.故选：B.【答案点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．A【答案解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【题目详解】输入，，因为，所以由程序框图知，输出的值为.故选：A【答案点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.5．B【答案解析】

根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项.【题目详解】.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是.故选：B【答案点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.6．A【答案解析】

根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.【题目详解】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【答案点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.7．D【答案解析】

取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.【题目详解】取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，因为当时，数列单调递增，则；当时，数列单调递减，则；所以要使，只需要，故，化简得且.故选：D．【答案点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．8．C【答案解析】

由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解【题目详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得．所以物体在间的运动路程是．故选：C【答案点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.9．D【答案解析】

根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果.【题目详解】由题可知：，即，所以则故选：D【答案点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.10．C【答案解析】

以为坐标原点，以分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.【题目详解】以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为1，则，，设，则，所以，且，故.故选：C.【答案点睛】本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.11．D【答案解析】

由折线图逐项分析即可求解【题目详解】选项，显然正确；对于，，选项正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.故选：D【答案点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题12．B【答案解析】

，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．9【答案解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.【题目详解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案为:.【答案点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.14．3【答案解析】

过点Q作直线平行于y=x+1，则M在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.【题目详解】如图所示：过点Q作直线平行于y=x+1，则M在两条平行线的中间直线上，y=x2，则y'=2x=1，x=1点M为线段PQ的中点，故M在直线y=x+38时距离最小，故故答案为：32【答案点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.15．【答案解析】

求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程.【题目详解】，椭圆的方程为，的离心率为：，双曲线方程为，的离心率：，与的离心率之积为，，，的渐近线方程为：，即.故答案为：【答案点睛】本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.16．【答案解析】

写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.【题目详解】的展开式通项公式为：，令，所以，所以常数项为.

故答案为：.【答案点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），；（2）见解析【答案解析】

（1）消去t,得直线的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线的直角坐标方程；（2）判断与圆相离，连接，在中，，即可求解【题目详解】（1）将的参数方程（为参数）消去参数，得.因为，，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲线是以为圆心，3为半径的圆，设圆心为，则圆心到直线的距离，所以与圆相离，且.连接，在中，，所以，，即的最小值为.【答案点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题18．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【答案解析】

(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【题目详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.【答案点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19．（1）见解析（2）见解析【答案解析】

(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.(2),有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.【题目详解】（1）的定义域为,,当时,,所以在单调递减；当时,,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.（2）,有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为,令,.令,,∴,,,,,当时,,当时,.如图可知①当时,有唯一零点,即有唯一零点；②当时,有两个零点,即有两个零点；③当时,有唯一零点,即有唯一零点；④时,此时无零点,即此时无零点.【答案点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.20．另一个特征值为，对应的一个特征向量【答案解析】

根据特征多项式的一个零点为3，可得，再回代到方程即可解出另一个特征值为，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.【题目详解】矩阵的特征多项式为：，是方程的一个根，，解得，即方程即，，可得另一个特征值为：，设对应的一个特征向量为：则由，得得，令，则，所以矩阵另一个特征值为，对应的一个特征向量【答案点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.21．（1）见解析，12.5（2）①②20【答案解析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2)①由公式可计算的值，进而